淺談類比教學(xué)法在空間解析幾何教學(xué)中的作用

任新安

一、引言

空間解析幾何也稱高等解析幾何，是高校數(shù)學(xué)專業(yè)非常重要的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，它與數(shù)學(xué)分析（也叫做高等微積分）、高等代數(shù)并稱為“三高”，它在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和直觀想象能力等方面起到十分重要的作用。在課程設(shè)置上，我們學(xué)校的空間解析幾何是在大一的第二學(xué)期開設(shè)的，這時學(xué)生已經(jīng)學(xué)過高等代數(shù)中的矩陣和行列式等相關(guān)內(nèi)容，這就為我們空間解析幾何這門課程提供了代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)?？臻g解析幾何是利用向量作為工具來研究空間中的幾何問題，主要討論平面與直線的方程、常見曲面以及二次曲線和二次曲面等內(nèi)容。因為學(xué)生在高中都學(xué)過平面解析幾何，它所研究的內(nèi)容是平面的幾何問題。從坐標系來看，平面解析幾何用的平面直角坐標系，其坐標只有兩個分量，而空間直角坐標系的坐標有三個分量，所以空間直角坐標系就是平面直角坐標系上再加上一個坐標，因此有些空間解析幾何的問題與平面解析幾何的問題是極為類似的。對于這種情況下類比教學(xué)法無疑是一種十分合適的教學(xué)方法，這樣學(xué)生學(xué)起來就會感覺不陌生，能夠起到事半功倍的效果。但是有些情況就就不是平面解析幾何的內(nèi)容可以簡單推廣或類比的，這時我們需要用抓住平面解析幾何與空間解析幾何最本質(zhì)的內(nèi)容，在本質(zhì)的層面上去進行類比教學(xué)。

因此，指出聯(lián)系、抓住本質(zhì)，采用類比教學(xué)法講授相關(guān)內(nèi)容是空間解析幾何教學(xué)的重要方法之一。

二、舉例

在空間解析幾何的教學(xué)過程中要注意到空間解析幾何中的很多內(nèi)容與平面解析幾何中的內(nèi)容是類似的，這時用類比法教學(xué)會起到事半功倍的效果。這里我們舉幾個例子。

1. 平面解析幾何中講述的向量是一個二元有序數(shù)組 ，而空間解析幾何中的向量是一個有序的三元數(shù)組 ，它們之間就很類似，只不過空間中的向量的分量比平面中的多了一個分量，其原因在于空間解析幾何中的空間是一個三維空間，而平面解析幾何講述的空間是一個二維空間。

1.平面解析幾何中講述的向量是一個二元有序數(shù)組 ，而空間解析幾何中的向量是一個有序的三元數(shù)組 ，它們之間就很類似，只不過空間中的向量的分量比平面中的多了一個分量，其原因在于空間解析幾何中的空間是一個三維空間，而平面解析幾何講述的空間是一個二維空間。

而空間解析幾何中的兩點 、 間的距離公式為 從這里面也可以看出，三維空間中的兩點間的距離公式只是比平面上兩點間距離公式多了一個相應(yīng)的分量。它們都是非常相似的。

在講授坐標變換時，平面的坐標表換幾何上比較簡單，也比較容易理解。比如平面上將右手直角坐標變換為右手直角坐標的變換為

其中，矩陣為行列式為1的正交矩陣。從該變換形式上很難理解變換的幾何意義，但是我們利用矩陣的正交性可以將該變換重新改寫為

這樣它的幾何意義就十分清楚了，它是以原點為中心將點逆時針方向作一個旋轉(zhuǎn)，然后再做一個平移。特別地，當 時，該變換為平移，而當 ， 時，該變換為旋轉(zhuǎn)。在空間中，右手直角坐標系間的坐標變換就更復(fù)雜了，如

其中的矩陣也是行列式為1的正交矩陣，這時候更難看出該變換的幾何意義了，但是我們可以類比的去考慮它的幾何意義。平面上的旋轉(zhuǎn)只有一種，但是空間中有三個互相垂直的平面，每個平面內(nèi)都有一個旋轉(zhuǎn)，所以空間中的旋轉(zhuǎn)就有三種，分別是三個平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)。行列式為1的正交陣對應(yīng)的變換可以由三種旋轉(zhuǎn)復(fù)合而來，所以上面的變換中正交矩陣這一部分事實上是三個坐標面內(nèi)旋轉(zhuǎn)的復(fù)合，而后面的變換就是平移。

類比教學(xué)法在空間解析幾何的教學(xué)中非常重要，但是并非所有內(nèi)容都是可以簡單類比的，比如我們知道平面上一條直線的一般式方程為 ，

這是一個二元一次方程，如果按照這個邏輯，空間中的直線方程似乎應(yīng)該是三元一次方程 。

但是遺憾的是，這并不表示一條直線，如果考慮它的圖像的話，其實它是一個平面，這樣一來很多同學(xué)就會很疑惑，為什么平面上的二元一次方程表示直線，而空間中的三元一次方程就不表示直線，而表示一個平面了呢？事實上，直線是1維的幾何體，而平面是2維的幾何體，所以平面上的直線應(yīng)該由一個一次方程定義，即是由一個二元一次方程所定義，但是空間是一個3維的幾何體，所以上面的直線必須需要兩個一次方程定義，因此空間中直線的一般方程應(yīng)為

其中兩個方程的系數(shù)不成比例，求解該方程組我們得到該方程組等價于

這就是空間直線方程的標準形式，而平面上直線方程事實上也可以改寫為類似的形式

.

理解了這一點之后，空間中直線的方程是由兩個方程定義的也就可以理解了。

三、結(jié)語

總之，在空間解析幾何教學(xué)過程中要帶領(lǐng)學(xué)生不斷回憶平面解析幾何的內(nèi)容，并從中聯(lián)想到如何把這些內(nèi)容推廣到空間解析幾何中，要弄清楚哪些內(nèi)容是可以推廣的，哪些內(nèi)容不能簡單的推廣。反之，學(xué)習(xí)了空間解析幾何的內(nèi)容后要回想這些內(nèi)容在平面解析幾何中是否有對應(yīng)？只有通過這樣類比才能讓學(xué)生更加輕松地學(xué)習(xí)該課程并達到事半功倍的效果。

參考文獻：

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[3]廖華奎，王寶富.《解析幾何教程》[M].科學(xué)出版社.

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