一類離散不確定切換系統(tǒng)的滑?？刂?/h1>
2018-08-21 04:52:00劉永慧蘇慶堂韓美杰
東華大學學報(自然科學版) 2018年3期
劉永慧， 蘇慶堂， 韓美杰
(1.上海電機學院 電氣學院， 上海 201306;2.魯東大學 信息與電氣工程學院， 山東 煙臺 264025)
在過去的20年中，切換系統(tǒng)作為一類特殊的混合動態(tài)系統(tǒng)一直備受關(guān)注。這主要是由于很多實際工程系統(tǒng)，如航空航天控制系統(tǒng)、化工過程控制和網(wǎng)絡控制系統(tǒng)等，都可以用這類系統(tǒng)進行描述[1]。此外，切換信號的存在使得切換系統(tǒng)動態(tài)性能變得更復雜。切換系統(tǒng)有一個典型特征，即當所有的子模態(tài)均穩(wěn)定時切換系統(tǒng)不一定滿足穩(wěn)定。因此，切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和鎮(zhèn)定問題得到了學者們的廣泛關(guān)注[2-5]。
隨著計算機技術(shù)的迅猛發(fā)展，基于離散采樣的數(shù)字控制器被廣泛應用，因此很多經(jīng)典的控制方法被推廣到離散系統(tǒng)。近年來，關(guān)于離散切換的穩(wěn)定性分析和鎮(zhèn)定問題的研究也得到了很多重要結(jié)論[6-8]。其中，文獻[6]在子系統(tǒng)均穩(wěn)定的情況下采用平均駐留時間方法研究了離散線性切換系統(tǒng)的定性。之后，這一結(jié)論又被進一步推廣到文獻[7]，文中考慮的切換系統(tǒng)不再約束每個子系統(tǒng)滿足穩(wěn)定。在此基礎上，Zhai[8]進一步討論了當子系統(tǒng)均不穩(wěn)定時離散切換系統(tǒng)的狀態(tài)反饋和輸出反饋控制。
眾所周知，滑?？刂剖且环N有效的魯棒控制方法，它具有快速響應、對不確定參數(shù)和外界擾動有強魯棒性等優(yōu)良特性。因此，滑?？刂品椒ū粡V泛應用于離散系統(tǒng)[9-10]、隨機系統(tǒng)[11-12]和馬爾科夫切換系統(tǒng)[13-14]中。近年來，切換系統(tǒng)的滑?？刂浦饾u受到關(guān)注[15-18]。其中，Wu等[15]討論了帶有狀態(tài)時滯的切換系統(tǒng)的滑?？刂疲@一結(jié)論又進一步被推廣到隨機切換系統(tǒng)[16]。此外，文獻[17]研究了一類不確定切換系統(tǒng)的魯棒H∞控制。上述文獻中考慮的切換系統(tǒng)均是約束輸入矩陣相同。筆者課題組近期在輸入通道不同的情況下提出了一種輸入矩陣加權(quán)方法，設計了一個公共滑模面[18]，然而，關(guān)于離散切換系統(tǒng)的滑模控制未被考慮。這主要是由于離散滑?？刂破髟O計中，系統(tǒng)離散采樣導致系統(tǒng)狀態(tài)軌跡不能一直維持在滑模面上滑動，而是在滑模面上不斷地進行切換，從而形成準滑動模態(tài)，這給滑模控制器的設計帶來了一定的困難。此外，由于切換系統(tǒng)動態(tài)性能的復雜性，已有的切換系統(tǒng)滑?？刂频墓ぷ鞑荒芎唵蔚赝茝V到離散切換系統(tǒng)。
基于以上論述，本文將討論一類不確定離散切換系統(tǒng)的滑?？刂啤Ｅc已有工作[15-17]相比較，本文不要求子系統(tǒng)具有相同的輸入通道。首先，采用輸入矩陣加權(quán)方法設計一個公共滑模面；接著，運用平均駐留時間方法研究了滑動模態(tài)的穩(wěn)定性；最后，設計滑?？刂坡煞治隽藴驶瑒幽B(tài)的可達性。
符號：對于任意向量x∈Rn， ‖x‖表示歐式范數(shù)；Rm×n表示m×n維矩陣空間；對于任意對稱矩陣M，M>0(<0)表示正定矩陣；I表示單位矩陣，向量ln∈Rn是由元素1組成的，ei∈Rn表示第i個基向量；?表示積克羅內(nèi)克積；λmax(·)和λmin(·)表示對稱矩陣的最大特征值和最小特征值；diag(·)表示對角矩陣；rank(·)表示矩陣的秩，矩陣中對稱部分用*表示。
1 系統(tǒng)描述
考慮不確定離散切換系統(tǒng)如式(1)所示。
x(k+1)=(Aσ+ΔAσ(k))x(k)+
Bσ(u(k)+fσ(x(k)))
(1)
式中：x(k)∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)；u(k)∈Rm是控制輸入；Ασ和Bσ是已知矩陣；ΔAi(k)是不確定參數(shù)；fσ(x(k))是外部擾動；{Aσ，Bσ：σ∈Γ}是一組取決于指標集σ的分段常值函數(shù)，稱作切換信號。
本文中假設不確定參數(shù)ΔAσ(k)，則σ∈Γ滿足
ΔAσ(k)=EσFσ(k)Nσ
此外，假設擾動fσ(x(k))范數(shù)有界，即
‖fσ(x(k))‖式中：dσ>0為已知參數(shù)。
為了便于推導，當σ(k)=i，i∈Γ時， 系統(tǒng)的參數(shù)簡記為
Aσ=Ai，ΔAσ(k)=ΔAi，Bσ=Bi，fσ(x(k))=fi(k)
因此，對于σ(k)=i，系統(tǒng)(1)可以表示為
x(k+1)=(Ai+ΔAi)x(k)+Bi(u(k)+fi(k))
(2)
值得注意的是，本文不要求子系統(tǒng)的輸入矩陣Bi∈Rn×m相同，這給設計共滑模面帶來困難。為了克服這個困難，引入如下矩陣加權(quán)方法[18]：
式中：αi∈R為界參數(shù)，并滿足
(3)
假設1：矩陣Bi列滿秩，即rank(Bi)=m。
為了實現(xiàn)系統(tǒng)(1)的滑模控制，給出引理1。
引理1：令D，H和F(t)為適當維數(shù)的矩陣，且F(t)滿足F(t)TF(t)≤I，則對于任意的參數(shù)ε>0，有下式成立。
DF(t)H+HTFT(t)DT≤ε-1DDT+εHTH
為便于后面的推導， 給出下面的定義。
定義1[19]：在滑模面S(k)=0的δ鄰域內(nèi)，如果下式成立：
‖S(k)‖≤δ
則稱此滑動模態(tài)為準滑動模態(tài)。其中，參數(shù)δ>0定義為準滑動模態(tài)的帶寬。
定義2[20]：對于任意的kv>ks>k0，令Nσ(k)(ks，kv)表示σ在區(qū)間[ks，kv]上的切換次數(shù)。如果下式成立：
則Nσ稱作平均駐留時間，N0為初始的切換次數(shù)。不失一般性， 本文亦假設N0=0。
定義3：系統(tǒng)(1)的平衡點x*=0在切換信號σ(k)的作用下稱作指數(shù)穩(wěn)定，如果存在參數(shù)ρ>0， 0<β<1使得系統(tǒng)的解x(k)滿足
‖x(k)‖≤ρβ(k-k0)‖x(k0)‖， ?k≥k0
2 滑模面和準滑動模態(tài)
本文考慮設計一個不依賴于模態(tài)的公共滑模面。公共滑模面設計為
S(k)=Dx(k)
(4)
注3：如果設計依賴于模態(tài)的多滑模面，那么當狀態(tài)軌跡在不同的模態(tài)間進行切換時滑模面的可達性分析將變得非常復雜，因此本文設計一種不依賴于模態(tài)的公共滑模面，有效地避免上述問題。
由離散系統(tǒng)的滑?？刂评碚摽芍硐牖Ｃ鏉M足
S(k+1)=S(k)=0
(5)
由式(4)和(5)可得
D(Ai+ΔAi)x(k)+DBi(ui(k)+fi(k))=0
(6)
則等價控制ueq(k)為
ueq(k)=-(DBi)-1D(Ai+ΔAi)x(k)-fi(k)
(7)
將式(7)代入系統(tǒng)(2)得到理想滑動模態(tài)為
x(k+1)=(I-Bi(DBi)-1D)(Ai+ΔAi)x(k)
(8)
通過設計滑模面，得到了相應的理想滑動模態(tài)(8)。為分析滑動模態(tài)的指數(shù)穩(wěn)定性，本文采用了平均駐留時間方法。
定理1考慮滿足假設條件的系統(tǒng)(1)，給定參數(shù)0<γ<1，如果存在矩陣Pi>0和參數(shù)εi1>0，εi2>0，i∈Γ，則線性矩陣不等式：
(9)
(10)
式中：
則對于參數(shù)
(11)
平均駐留時間Tσ滿足
(12)
切換系統(tǒng)(8)指數(shù)穩(wěn)定，并且系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡滿足
‖x(k)‖≤ρβk-k0‖x(k0)‖
(13)
式中：
(14)
證明：對于切換系統(tǒng)(8)，考慮第i個子系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為
Vi(k)=xT(k)Pix(k)
(15)
則由式(2)可得
(16)
由式(16)和 Schur’s補可知
Vi(k+1)-γVi(k)<0
(17)
可由
(18)
推導得到，其中
由引理1可知，式(18)可以重新表示為
(19)
由 Schur’s補可知，式(19)可由式(9)和(10)推導得到。
由式(17)可知
Vi(k+1)≤γVi(k)
(20)
則對于任意的k∈[kl，kl+1]，由式(20)可知
Vσ(k)(k)≤γ(k-kl)Vσ(kl)(kl)
(21)
由式(11)和(21)可以推導得
Vσ(k)(k) ≤γ(k-kl)μVσ(kl-1)(kl) ? ≤γ(k-k0)μ(k-k0)/TσVσ(k0)(k0) ≤(γμ1/Tσ)(k-k0)Vσ(k0)(k0)
(22)
考慮到式(14)，可得
a‖x(k)‖2≤Vσ(k)(k)
(23)
且
Vσ(k0)(k0)≤b‖x(k0)‖2
(24)
由式(12)可知
αμ1/Tσ≤γμ-lnγ/lnμ≤1
(25)
結(jié)合式(22)～(25)，可以得到
(26)
因此，理想滑動模態(tài)滿足指數(shù)穩(wěn)定。證畢。
3 滑?？刂破髟O計
為了保證準滑動模態(tài)的可達性，這一節(jié)將設計滑?？刂破鳌榱藢崿F(xiàn)控制目的，設計如下的基于指數(shù)型趨近律的滑?？刂破?。
S(k+1)-S(k)=-εTsgn(S(k))-qTS(k)
(27)
式中：T為系統(tǒng)采樣時間；ε和q為已知參數(shù)且滿足0<ε<1和1-qT>0。
由式(8)和(27)可以得到滑模控制律為
u(k)=-(DBi)-1(DAi-(1-qT)D)x(k)-
(DBi)-1εTsgn(S(k))-Gi(k)
(28)
式中：Gi(k)=(DBi)-1DΔAix(k)+fi(k)。
由于控制器(29)中含有不確定項Gi(k)，實際控制系統(tǒng)中無法實現(xiàn)。因此構(gòu)造如下的滑模控制器：
(29)
式中：
(30)
式(30)中參數(shù)η>0。
接下來，本文將給出準滑動模態(tài)的可達性分析。
定理2考慮滿足假設條件1的切換系統(tǒng)(1)，設計滑模控制器(29)，則準滑動模態(tài)區(qū)域
(31)
于有限時間內(nèi)可達。此外，系統(tǒng)狀態(tài)軌跡一旦進入該區(qū)域?qū)⑹冀K在其內(nèi)部滑動。
證明： 選擇如下Lyapunov函數(shù)
V(k)=ST(k)S(k)。
(32)
由式(5)和滑?？刂坡?29)可得
(33)
由式(30)進一步得到
(34)
(35)
結(jié)合式(34)～(36)可知
ΔV(k) =(1-qT)2ST(k)S(k)-2εT(1-qT)‖S(k)‖+(εT)2-ST(k)S(k)- 2ηi(1-qT)‖DBi‖‖S(k)‖+ηi‖DBi‖(2εT+ηi‖DBi‖)= ((1-qT)2-1)ST(k)S(k)-[2εT(1-qT)+2ηi(1-qT)‖DBi‖]‖S(k)‖+ (εT)2+ηi‖DBi‖(2εT+ηi‖DBi‖)。
(36)
由式(32)～(37)式可知，當‖S(k)‖>ζ時
ΔV(k)≤0
(37)
這意味著準滑動模態(tài)于有限時間可達，并且系統(tǒng)狀態(tài)軌跡將一直維持在準滑動模態(tài)區(qū)域內(nèi)。
注5： 由定理2可知，在準滑動模態(tài)區(qū)域外有‖S(k+1)‖<‖S(k)‖，即系統(tǒng)狀態(tài)軌跡將于有限時間內(nèi)到達準滑動模態(tài)，并且準滑動模態(tài)的帶寬
滿足下式
4 數(shù)值仿真
考慮含有兩個模態(tài)的切換系統(tǒng)(1)， 系統(tǒng)參數(shù)如下：
子系統(tǒng)1：
子系統(tǒng)2：
ε11=32.849 7， ε12=32.246 2 ε21=37.779 4， ε22=37.260 9
因此，滑模面設計為
由定理1可知，參數(shù)μ和Tσ分別設計為
因此，可以得到參數(shù)μ=1.163 5
平均駐留時間設計為Tσ=1.5。
選擇參數(shù)ε=0.5、q=2，系統(tǒng)采樣時間選為T=0.1 s。由式(30)和(31)得滑?？刂坡蔀?/p>
(a) 切換信號σ(k) (b) 狀態(tài)軌跡x(k)
(c) 滑模面S(k) (d) 控制信號u(k)
5 結(jié) 語
本文采用輸入矩陣加權(quán)方法設計了一個公共滑模面，考慮了一類不確定離散切換系統(tǒng)的滑?？刂疲捎闷骄v留時間方法分析了系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性。結(jié)果表明，在采樣時間、參數(shù)不確定性以及外界擾動的不良影響下，設計的滑?？刂坡赡鼙ＷC系統(tǒng)狀態(tài)軌跡于有限時間內(nèi)被趨使到準滑動模態(tài)上并一直維持在該區(qū)域運動。
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隨著計算機技術(shù)的迅猛發(fā)展，基于離散采樣的數(shù)字控制器被廣泛應用，因此很多經(jīng)典的控制方法被推廣到離散系統(tǒng)。近年來，關(guān)于離散切換的穩(wěn)定性分析和鎮(zhèn)定問題的研究也得到了很多重要結(jié)論[6-8]。其中，文獻[6]在子系統(tǒng)均穩(wěn)定的情況下采用平均駐留時間方法研究了離散線性切換系統(tǒng)的定性。之后，這一結(jié)論又被進一步推廣到文獻[7]，文中考慮的切換系統(tǒng)不再約束每個子系統(tǒng)滿足穩(wěn)定。在此基礎上，Zhai[8]進一步討論了當子系統(tǒng)均不穩(wěn)定時離散切換系統(tǒng)的狀態(tài)反饋和輸出反饋控制。
眾所周知，滑?？刂剖且环N有效的魯棒控制方法，它具有快速響應、對不確定參數(shù)和外界擾動有強魯棒性等優(yōu)良特性。因此，滑?？刂品椒ū粡V泛應用于離散系統(tǒng)[9-10]、隨機系統(tǒng)[11-12]和馬爾科夫切換系統(tǒng)[13-14]中。近年來，切換系統(tǒng)的滑?？刂浦饾u受到關(guān)注[15-18]。其中，Wu等[15]討論了帶有狀態(tài)時滯的切換系統(tǒng)的滑?？刂疲@一結(jié)論又進一步被推廣到隨機切換系統(tǒng)[16]。此外，文獻[17]研究了一類不確定切換系統(tǒng)的魯棒H∞控制。上述文獻中考慮的切換系統(tǒng)均是約束輸入矩陣相同。筆者課題組近期在輸入通道不同的情況下提出了一種輸入矩陣加權(quán)方法，設計了一個公共滑模面[18]，然而，關(guān)于離散切換系統(tǒng)的滑模控制未被考慮。這主要是由于離散滑?？刂破髟O計中，系統(tǒng)離散采樣導致系統(tǒng)狀態(tài)軌跡不能一直維持在滑模面上滑動，而是在滑模面上不斷地進行切換，從而形成準滑動模態(tài)，這給滑模控制器的設計帶來了一定的困難。此外，由于切換系統(tǒng)動態(tài)性能的復雜性，已有的切換系統(tǒng)滑?？刂频墓ぷ鞑荒芎唵蔚赝茝V到離散切換系統(tǒng)。
基于以上論述，本文將討論一類不確定離散切換系統(tǒng)的滑?？刂啤Ｅc已有工作[15-17]相比較，本文不要求子系統(tǒng)具有相同的輸入通道。首先，采用輸入矩陣加權(quán)方法設計一個公共滑模面；接著，運用平均駐留時間方法研究了滑動模態(tài)的穩(wěn)定性；最后，設計滑?？刂坡煞治隽藴驶瑒幽B(tài)的可達性。
符號：對于任意向量x∈Rn， ‖x‖表示歐式范數(shù)；Rm×n表示m×n維矩陣空間；對于任意對稱矩陣M，M>0(<0)表示正定矩陣；I表示單位矩陣，向量ln∈Rn是由元素1組成的，ei∈Rn表示第i個基向量；?表示積克羅內(nèi)克積；λmax(·)和λmin(·)表示對稱矩陣的最大特征值和最小特征值；diag(·)表示對角矩陣；rank(·)表示矩陣的秩，矩陣中對稱部分用*表示。
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本文中假設不確定參數(shù)ΔAσ(k)，則σ∈Γ滿足
ΔAσ(k)=EσFσ(k)Nσ
此外，假設擾動fσ(x(k))范數(shù)有界，即
‖fσ(x(k))‖ 式中：dσ>0為已知參數(shù)。 為了便于推導，當σ(k)=i，i∈Γ時， 系統(tǒng)的參數(shù)簡記為 Aσ=Ai，ΔAσ(k)=ΔAi，Bσ=Bi，fσ(x(k))=fi(k) 因此，對于σ(k)=i，系統(tǒng)(1)可以表示為 x(k+1)=(Ai+ΔAi)x(k)+Bi(u(k)+fi(k)) (2) 值得注意的是，本文不要求子系統(tǒng)的輸入矩陣Bi∈Rn×m相同，這給設計共滑模面帶來困難。為了克服這個困難，引入如下矩陣加權(quán)方法[18]： 式中：αi∈R為界參數(shù)，并滿足 (3) 假設1：矩陣Bi列滿秩，即rank(Bi)=m。 為了實現(xiàn)系統(tǒng)(1)的滑模控制，給出引理1。 引理1：令D，H和F(t)為適當維數(shù)的矩陣，且F(t)滿足F(t)TF(t)≤I，則對于任意的參數(shù)ε>0，有下式成立。 DF(t)H+HTFT(t)DT≤ε-1DDT+εHTH 為便于后面的推導， 給出下面的定義。 定義1[19]：在滑模面S(k)=0的δ鄰域內(nèi)，如果下式成立： ‖S(k)‖≤δ 則稱此滑動模態(tài)為準滑動模態(tài)。其中，參數(shù)δ>0定義為準滑動模態(tài)的帶寬。 定義2[20]：對于任意的kv>ks>k0，令Nσ(k)(ks，kv)表示σ在區(qū)間[ks，kv]上的切換次數(shù)。如果下式成立： 則Nσ稱作平均駐留時間，N0為初始的切換次數(shù)。不失一般性， 本文亦假設N0=0。 定義3：系統(tǒng)(1)的平衡點x*=0在切換信號σ(k)的作用下稱作指數(shù)穩(wěn)定，如果存在參數(shù)ρ>0， 0<β<1使得系統(tǒng)的解x(k)滿足 ‖x(k)‖≤ρβ(k-k0)‖x(k0)‖， ?k≥k0 本文考慮設計一個不依賴于模態(tài)的公共滑模面。公共滑模面設計為 S(k)=Dx(k) (4) 注3：如果設計依賴于模態(tài)的多滑模面，那么當狀態(tài)軌跡在不同的模態(tài)間進行切換時滑模面的可達性分析將變得非常復雜，因此本文設計一種不依賴于模態(tài)的公共滑模面，有效地避免上述問題。 由離散系統(tǒng)的滑?？刂评碚摽芍硐牖Ｃ鏉M足 S(k+1)=S(k)=0 (5) 由式(4)和(5)可得 D(Ai+ΔAi)x(k)+DBi(ui(k)+fi(k))=0 (6) 則等價控制ueq(k)為 ueq(k)=-(DBi)-1D(Ai+ΔAi)x(k)-fi(k) (7) 將式(7)代入系統(tǒng)(2)得到理想滑動模態(tài)為 x(k+1)=(I-Bi(DBi)-1D)(Ai+ΔAi)x(k) (8) 通過設計滑模面，得到了相應的理想滑動模態(tài)(8)。為分析滑動模態(tài)的指數(shù)穩(wěn)定性，本文采用了平均駐留時間方法。 定理1考慮滿足假設條件的系統(tǒng)(1)，給定參數(shù)0<γ<1，如果存在矩陣Pi>0和參數(shù)εi1>0，εi2>0，i∈Γ，則線性矩陣不等式： (9) (10) 式中： 則對于參數(shù) (11) 平均駐留時間Tσ滿足 (12) 切換系統(tǒng)(8)指數(shù)穩(wěn)定，并且系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡滿足 ‖x(k)‖≤ρβk-k0‖x(k0)‖ (13) 式中： (14) 證明：對于切換系統(tǒng)(8)，考慮第i個子系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為 Vi(k)=xT(k)Pix(k) (15) 則由式(2)可得 (16) 由式(16)和 Schur’s補可知 Vi(k+1)-γVi(k)<0 (17) 可由 (18) 推導得到，其中 由引理1可知，式(18)可以重新表示為 (19) 由 Schur’s補可知，式(19)可由式(9)和(10)推導得到。 由式(17)可知 Vi(k+1)≤γVi(k) (20) 則對于任意的k∈[kl，kl+1]，由式(20)可知 Vσ(k)(k)≤γ(k-kl)Vσ(kl)(kl) (21) 由式(11)和(21)可以推導得 Vσ(k)(k) ≤γ(k-kl)μVσ(kl-1)(kl) ? ≤γ(k-k0)μ(k-k0)/TσVσ(k0)(k0) ≤(γμ1/Tσ)(k-k0)Vσ(k0)(k0) (22) 考慮到式(14)，可得 a‖x(k)‖2≤Vσ(k)(k) (23) 且 Vσ(k0)(k0)≤b‖x(k0)‖2 (24) 由式(12)可知 αμ1/Tσ≤γμ-lnγ/lnμ≤1 (25) 結(jié)合式(22)～(25)，可以得到 (26) 因此，理想滑動模態(tài)滿足指數(shù)穩(wěn)定。證畢。 為了保證準滑動模態(tài)的可達性，這一節(jié)將設計滑?？刂破鳌榱藢崿F(xiàn)控制目的，設計如下的基于指數(shù)型趨近律的滑?？刂破?。 S(k+1)-S(k)=-εTsgn(S(k))-qTS(k) (27) 式中：T為系統(tǒng)采樣時間；ε和q為已知參數(shù)且滿足0<ε<1和1-qT>0。 由式(8)和(27)可以得到滑模控制律為 u(k)=-(DBi)-1(DAi-(1-qT)D)x(k)- (28) 式中：Gi(k)=(DBi)-1DΔAix(k)+fi(k)。 由于控制器(29)中含有不確定項Gi(k)，實際控制系統(tǒng)中無法實現(xiàn)。因此構(gòu)造如下的滑模控制器： (29) 式中： (30) 式(30)中參數(shù)η>0。 接下來，本文將給出準滑動模態(tài)的可達性分析。 定理2考慮滿足假設條件1的切換系統(tǒng)(1)，設計滑模控制器(29)，則準滑動模態(tài)區(qū)域 (31) 于有限時間內(nèi)可達。此外，系統(tǒng)狀態(tài)軌跡一旦進入該區(qū)域?qū)⑹冀K在其內(nèi)部滑動。 證明： 選擇如下Lyapunov函數(shù) V(k)=ST(k)S(k)。 (32) 由式(5)和滑?？刂坡?29)可得 (33) 由式(30)進一步得到 (34) (35) 結(jié)合式(34)～(36)可知 ΔV(k) =(1-qT)2ST(k)S(k)-2εT(1-qT)‖S(k)‖+(εT)2-ST(k)S(k)- 2ηi(1-qT)‖DBi‖‖S(k)‖+ηi‖DBi‖(2εT+ηi‖DBi‖)= ((1-qT)2-1)ST(k)S(k)-[2εT(1-qT)+2ηi(1-qT)‖DBi‖]‖S(k)‖+ (εT)2+ηi‖DBi‖(2εT+ηi‖DBi‖)。 (36) 由式(32)～(37)式可知，當‖S(k)‖>ζ時 ΔV(k)≤0 (37) 這意味著準滑動模態(tài)于有限時間可達，并且系統(tǒng)狀態(tài)軌跡將一直維持在準滑動模態(tài)區(qū)域內(nèi)。 注5： 由定理2可知，在準滑動模態(tài)區(qū)域外有‖S(k+1)‖<‖S(k)‖，即系統(tǒng)狀態(tài)軌跡將于有限時間內(nèi)到達準滑動模態(tài)，并且準滑動模態(tài)的帶寬 滿足下式 考慮含有兩個模態(tài)的切換系統(tǒng)(1)， 系統(tǒng)參數(shù)如下： 子系統(tǒng)1： 子系統(tǒng)2： ε11=32.849 7， ε12=32.246 2 ε21=37.779 4， ε22=37.260 9 因此，滑模面設計為 由定理1可知，參數(shù)μ和Tσ分別設計為 因此，可以得到參數(shù)μ=1.163 5 平均駐留時間設計為Tσ=1.5。 選擇參數(shù)ε=0.5、q=2，系統(tǒng)采樣時間選為T=0.1 s。由式(30)和(31)得滑?？刂坡蔀?/p> (a) 切換信號σ(k) (b) 狀態(tài)軌跡x(k) (c) 滑模面S(k) (d) 控制信號u(k) 本文采用輸入矩陣加權(quán)方法設計了一個公共滑模面，考慮了一類不確定離散切換系統(tǒng)的滑?？刂疲捎闷骄v留時間方法分析了系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性。結(jié)果表明，在采樣時間、參數(shù)不確定性以及外界擾動的不良影響下，設計的滑?？刂坡赡鼙ＷC系統(tǒng)狀態(tài)軌跡于有限時間內(nèi)被趨使到準滑動模態(tài)上并一直維持在該區(qū)域運動。2 滑模面和準滑動模態(tài)
3 滑?？刂破髟O計
(DBi)-1εTsgn(S(k))-Gi(k)4 數(shù)值仿真
5 結(jié) 語
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