基于正交試驗的空心線圈偏心誤差影響因素敏感性分析

楊世海，胡 琛，焦 洋，李紅斌，趙雙雙，陳 剛

(1. 國網(wǎng)江蘇省電力有限公司電力科學(xué)研究院，江蘇 南京 211103；2. 國家電網(wǎng)公司電能計量重點實驗室，江蘇 南京 211103；3. 華中科技大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

0 引言

空心線圈具有無磁飽和、線性度好、測量范圍大、頻帶寬等優(yōu)良特性，在電力系統(tǒng)及其他工業(yè)控制領(lǐng)域得到了諸多應(yīng)用[1-4]。理論上，空心線圈的測量準確度不受載流體位置的影響，可以實現(xiàn)0.2級甚至更高的準確度等級。然而，一方面，由于一次載流體振動或者設(shè)計工藝等問題，實際中載流體可能出現(xiàn)偏心的現(xiàn)象；另一方面，理想空心線圈不可制造，由于不含集磁環(huán)鐵芯，故空心線圈易受到載流體偏心的影響[5]。非理想空心線圈的偏心誤差將對變電站保護、測量和計量單元的功能實現(xiàn)造成不利影響[6-8]。研究空心線圈偏心誤差的影響因素，可以為提高空心線圈測量精度的措施提供理論依據(jù)。

目前，相關(guān)研究成果主要集中于空心線圈誤差和偏心距離的關(guān)系。文獻[9]分析了一次導(dǎo)體偏離空心線圈中心時，空心線圈精度的變化，并對實際空心線圈進行了偏心試驗，得到了電磁屏蔽能夠減小偏心誤差影響的結(jié)論，但是該研究沒有考慮空心線圈繞組不均勻度的影響；文獻[10]推導(dǎo)了插板式空心線圈參數(shù)的計算方法，給出了偏心誤差的計算公式，然而該研究同樣沒有計及繞組不均勻度的影響。近年來，一些學(xué)者研究了一次導(dǎo)體位置變動對非理想空心線圈性能的影響，得到了理論情況下一次導(dǎo)體位置變動引起的誤差[11-12]，但是這些研究沒有對空心線圈偏心誤差影響因素的敏感性進行深入解析，對各個影響因素的作用程度還不夠明確。另一方面，由于空心線圈偏心誤差的影響因素較多，且各個影響因素之間交互作用，要區(qū)分各個影響因素的作用程度也非常復(fù)雜[13-14]。

正交試驗法是實現(xiàn)多影響因素作用重要性分析的手段之一，被廣泛應(yīng)用于電氣、煤炭、生物等領(lǐng)域[15-17]，可用于空心線圈偏心誤差影響因素敏感性的分析。本文首先提出了空心線圈的傳感模型，給出理想情況下空心線圈的互感系數(shù)；然后研究空心線圈偏心誤差，并分析各個誤差的影響因素；最后設(shè)計了正交試驗方法，通過統(tǒng)計分析對偏心誤差的影響因素進行敏感性分析。

1 空心線圈傳感模型

空心線圈的傳感方式基于全電流定律和法拉第電磁感應(yīng)定律，通過感知由一次電流產(chǎn)生的穿過線圈的磁場，在線圈兩端感應(yīng)電壓信號，根據(jù)電壓信號重構(gòu)一次電流信息。

空心線圈的基本等效電路如圖1所示。圖中，i為一次電流；is為二次電流；uo為空心線圈二次輸出；LP為載流導(dǎo)體自感；Ls為線圈自感；M為載流導(dǎo)體和線圈之間的互感；Rs為線圈電阻；Rb為負載電阻；C為線圈分布電容。

圖1 空心線圈基本等效電路Fig.1 Basic equivalent circuit of air-core coil

在工頻測量場合，一般不計及分布電容的影響，當Rb?Ls時，空心線圈的輸出可以近似為：

(1)

由式(1)可見，空心線圈輸出和互感系數(shù)M以及一次電流對時間的微分成正比，只要對Uo(s)做積分運算即可還原一次電流i。另一方面，i、Rs、Rb不會受載流體偏心的影響，故空心線圈偏心誤差實質(zhì)上可等效為載流體偏心對互感的影響。

矩形截面的空心線圈性能穩(wěn)定、易于制作、使用廣泛，其幾何結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示。圖中，r1為線圈繞組內(nèi)壁和圓心之間的距離；r2為線圈繞組外壁和圓心之間的距離；h為線圈的高度?？招木€圈的互感受線圈尺寸、結(jié)構(gòu)以及一次載流體位置的影響。當空心線圈滿足理想空心線圈的條件(截面均勻、繞組分布均勻)時，有以下關(guān)系式成立：

(2)

其中，μ0為真空磁導(dǎo)率；x為距離載流體中心的距離；φ1為穿過線圈的磁鏈；N為線圈匝數(shù)；S為線圈截面積。根據(jù)式(2)可以求得理想情況下空心線圈互感M1為：

(3)

圖2 空心線圈幾何結(jié)構(gòu)Fig.2 Geometrical structure of air-core coil

2 空心線圈偏心誤差影響因素

實際應(yīng)用中，空心線圈要實現(xiàn)繞組均勻分布是非常困難的，首先由于線圈制作工藝的局限性，空心線圈各繞組很難做到均勻分布；其次即使線圈通過數(shù)字印刷板設(shè)計技術(shù)實現(xiàn)了精確制造[18]，但是在線圈的第一匝和最后一匝之間由于要接入線圈負載，繞組必然存在不連續(xù)性。為了深入解析空心線圈偏心誤差的影響因素，本節(jié)區(qū)分線圈繞組均勻和繞組不均勻2種情況，研究空心線圈的偏心誤差及其影響因素。

2.1 繞組均勻情況下線圈誤差

首先研究載流體偏心且繞組均勻情況下空心線圈互感的變化，磁場計算示意圖如圖3所示。圖中，d為偏心距離；r、x1、θ、δ的定義見圖3；B為電流產(chǎn)生的平均磁感應(yīng)強度；B1為在線圈切向方向的磁感應(yīng)強度。

圖3 繞組均勻情況下空心線圈示意圖Fig.3 Schematic diagram of air-core coil with even windings

根據(jù)安培環(huán)路定理以及圖3中的幾何關(guān)系，可以得到：

(4)

其中，φ2為此時穿過線圈的磁鏈；M2為線圈的互感器系數(shù)，由式(4)求得空心線圈互感如式(5)所示。

(5)

化簡式(5)可以得到：

(6)

再求解式(6)所示積分，得到載流體偏心繞組均勻情況下空心線圈的互感為：

(7)

比較式(3)和式(7)可見：只要空心線圈的繞組均勻分布，即使載流體出現(xiàn)偏心情況，空心線圈的互感也不發(fā)生變化，即沒有測量誤差。

2.2 繞組不均勻情況下線圈誤差

本節(jié)考慮載流體偏心且繞組不均勻情況下空心線圈互感的誤差。為了簡化分析，假設(shè)空心線圈不均勻繞組部分集中在圖4所示的一個弧度為α的陰影區(qū)域，下文用α表示線圈的不均勻度。當載流體所在平面和不均勻繞組所在平面的相對位置為τ時，磁場求解依然可按照2.1節(jié)的思路，但此時沿線圈的積分路徑不再是2π，而為τ+α/2～2π+τ-α/2。根據(jù)安培環(huán)路定理以及圖4所示的幾何關(guān)系可以得到：

(8)

其中，φ3為此時穿過線圈的磁鏈；M3為線圈的互感器系數(shù)，化簡式(8)可以得到載流體偏心且繞組不均勻情況下空心線圈的互感M3，如式(9)所示。

(9)

圖4 繞組不均勻情況下空心線圈示意圖Fig.4 Schematic diagram of air-core coil with uneven winding

實際中考慮制造工藝或制造水平的問題，空心線圈可能存在多個不均勻區(qū)域。圖5中的陰影區(qū)域表示空心線圈的2個不均勻區(qū)域，且不均勻度均為α，載流體平面和2個不均勻繞組所在平面的相對位置分別為τ1、τ2時，積分路徑分別改變?yōu)棣?+α/2～τ2以及τ2+α～2π+τ1-α/2，從而可得到以下關(guān)系：

圖5 存在2個繞組不均勻情況下空心線圈示意圖Fig.5 Schematic diagram of air-core coil with two uneven windings

(10)

其中，φ4為此時穿過線圈的磁鏈；M4為線圈的互感器系數(shù)，化簡式(10)可得到此時線圈互感M4如式(11)所示。

(11)

由式(9)和式(11)可見：當繞組分布不均勻且載流體出現(xiàn)偏心現(xiàn)象時，空心線圈互感不再等于式(3)的計算結(jié)果，兩者之間的誤差e定義如式(12)所示。

(12)

2.3 影響因素分析

當線圈結(jié)構(gòu)參數(shù)固定而繞組分布不均勻時，空心線圈偏心誤差的影響因素包括3個因素：載流體偏心距離d；空心線圈繞組不均勻度α(以下簡稱為不均勻度)；載流體和不均勻繞組的相對位置τ1以及τ2(以下簡稱為相對位置，為了簡化分析，固定τ2=90°)。

假設(shè)空心線圈的尺寸參數(shù)如下：內(nèi)半徑r1=40 mm，外半徑r2=60 mm，厚度h=20 mm；線圈匝數(shù)N=500匝。固定不均勻度α=0.5°，載流體偏心距離d在0～0.8r1范圍內(nèi)變化、相對位置τ1在0°～180° 范圍內(nèi)變化時，空心線圈偏心誤差e和偏心距離、相對位置的關(guān)系如圖6所示。

圖6 偏心誤差和偏心距離、相對位置的關(guān)系Fig.6 Relationship among eccentricity error,eccentric distance and relative position

當固定載流體偏心距離d=0.25r1、不均勻度α在0.1°～1° 范圍變化、相對位置τ1在0°～180° 范圍內(nèi)變化時，空心線圈偏心誤差e和不均勻度、相對位置的關(guān)系如圖7所示。

圖7 偏心誤差和不均勻度、相對位置的關(guān)系Fig.7 Relationship among eccentricity error,inhomogeneity and relative position

當固定相對位置τ1=0°、載流體偏心距離d在0～0.8r1范圍內(nèi)變化、不均勻度α在0.1°～1° 范圍內(nèi)變化時，偏心距離、不均勻度對空心線圈偏心誤差e的影響如圖8所示。

圖8 偏心誤差和偏心距離、不均勻度的關(guān)系Fig.8 Relationship among eccentricity error,eccentric distance and inhomogeneity

根據(jù)以上理論分析及仿真結(jié)果可知：當線圈不均勻度α固定時，偏心距離d越大，則偏心誤差越大，如果不偏心，相對位置不會對偏心誤差造成影響；當偏心距離d固定時，偏心誤差在相對位置168°附近出現(xiàn)最大值，最大相對誤差約為0.18%；當相對位置τ1固定時，偏心距離越大，則偏心誤差越大，如果不偏心，不均勻度不會對偏心誤差造成影響。

3 影響因素敏感性分析

本節(jié)分析偏心距離、不均勻度和相對位置這3個主要影響因素對空心線圈偏心誤差的影響程度。由于影響因素較多，且各影響因素存在相互作用，如果逐個方案試驗，則試驗次數(shù)較多，數(shù)據(jù)處理復(fù)雜。為此，本文基于正交試驗法，以偏心誤差為指標，通過正交試驗表確定試驗方案，對3個影響因素的敏感程度進行分析。

3.1 正交試驗方案

設(shè)計了一個矩形截面空心線圈，樣品骨架尺寸為40 mm×60 mm×20 mm(內(nèi)徑×外徑×厚度)，線圈由0.5 mm漆包銅線繞成，匝數(shù)N=500匝，線圈的變比為100 A/4 V。測試系統(tǒng)原理圖如圖9所示，在額定電流100 A情況下，將空心線圈輸出和標準電磁式互感器(TA)輸出接至電子式互感器校驗儀[19]，標準電流轉(zhuǎn)換器包括一個5 A/0.05 A的小互感器以及一個10 Ω高精度的無感電阻，0.02級標準TA變比為100 A/5 A?？招木€圈輸出經(jīng)過積分環(huán)節(jié)[20]后，和標準TA的數(shù)據(jù)同時被NI PCI-4474采集卡采集，采集卡將采集后的數(shù)字信號通過RTSI接口發(fā)送給上位機，上位機基于LabVIEW環(huán)境[21]實現(xiàn)數(shù)據(jù)基波分量的提取、空心線圈誤差計算、結(jié)果顯示等功能。

圖9 測試系統(tǒng)原理圖Fig.9 Schematic diagram of testing system

由前文理論分析可知，空心線圈偏心誤差有3個影響因素，本試驗中每個影響因素選取了5個水平值，本試驗為3因素5水平試驗。正交試驗方案首先需要明確影響因素的水平值。試驗過程中，偏心距離和相對位置通過調(diào)整載流體位置進行改變，不均勻度通過改變繞組匝數(shù)的方式進行調(diào)節(jié)。對于偏心距離而言，由仿真結(jié)果可知，偏心距離越大，則誤差越大，為了得到顯著的試驗結(jié)果，應(yīng)當盡量增大偏心距離，又考慮到空心線圈內(nèi)徑(40 mm)的約束，偏心距離調(diào)整范圍在4～32 mm之間，本試驗選擇4 mm、10 mm、16 mm、22 mm、32 mm這5個水平；對于相對位置而言，由于對稱性，只需要考慮0°～180°水平，而180°～360°的結(jié)果和0°～180°一致，本試驗選取0°、45°、90°、135°、180°這5個水平；對于不均勻度而言，雖然實際運行過程中不均勻度非常小(如前文數(shù)值仿真選取的1°)，但是一方面為了得到更大的空心線圈輸出，有利于減少采集卡的量化誤差以及上位機計算誤差，另一方面1° 的不均勻度難以控制，故試驗中增大了不均勻度水平，本試驗選取了0°～60° 區(qū)間內(nèi)的0°、15°、30°、45°、60° 這5個水平。表1列出了各影響因素的水平值。

表1 影響因素水平值Table 1 Level values of influencing factors

采用L25(5∧6)正交試驗表進行正交試驗方案設(shè)計，試驗方案如表2所示，其中空列表示沒有影響因素作用，反映隨機因素引起的誤差。以此為依據(jù)建立各影響因素的試驗方案，試驗計算結(jié)果如表3所示。表中，Kjl為第j(j=2，3，4，5)列中影響因素相應(yīng)于l水平的5個試驗結(jié)果之和，記：

(13)

其中，K為全體試驗結(jié)果之和，與列數(shù)無關(guān)。又令：

(14)

其中，Yi為各次試驗結(jié)果。由式(14)可以得到：

(15)

3.2 方差分析

根據(jù)正交試驗理論，對表2中25次試驗的結(jié)果進行方差分析，各中間變量計算結(jié)果見表4。表中，平方和為式(14)中的Sj，偏差的平方和與空列Sj之和對應(yīng)；自由度由影響因素所取的水平數(shù)減1得到；均方和為平方和除以自由度后的值；F值由各影響因素的均方和除以偏差均方和得到。

表2 正交試驗方案表Table 2 Schemes of orthogonal test

表3 正交試驗結(jié)果Table 3 Results of orthogonal test

表4 方差分析結(jié)果Table 4 Results of variance analysis

假設(shè)各影響因素對空心線圈偏心誤差影響不顯著，查表可得F的臨界值為：

(16)

其中，F(xiàn)0.90(4,12)和F0.95(4,12)分別為顯著性水平0.1和顯著性水平0.05時的臨界值；“顯著性”一列符號“(*)”、“*”分別表示在顯著性水平0.1、0.05下檢驗的結(jié)果是拒絕原假設(shè)的，即該因素所處水平對空心線圈誤差情況的影響顯著。根據(jù)F分布檢驗結(jié)果得到如下結(jié)論：

a. 偏心距離對空心線圈誤差情況的影響最顯著，不均勻度和相對位置對空心線圈誤差情況的影響比較顯著；

b. 對比不均勻度和相對位置因素的F值可得，3個因素中不均勻度對空心線圈誤差情況的影響程度最?。?/p>

c. 為了控制空心線圈偏心誤差，應(yīng)優(yōu)先保證導(dǎo)體中心與線圈中心的一致性。

4 結(jié)論

a. 繞組均勻的情況下，即使載流體出現(xiàn)偏心情況，空心線圈也不會產(chǎn)生誤差；

b. 繞組不均勻的情況下，偏心距離、不均勻度、相對位置將影響空心線圈偏心誤差；

c. 3個影響因素對偏心誤差均有顯著影響(0.1顯著性水平)，其中偏心距離對空心線圈誤差的影響程度最大，其次為相對位置，不均勻度的影響程度最低，實際運行過程中應(yīng)考慮固定載流體位置以減小偏心誤差；

d. 結(jié)構(gòu)參數(shù)對空心線圈偏心誤差也有較大的影響，但是由于試驗中線圈結(jié)構(gòu)參數(shù)(內(nèi)徑、外徑、厚度)難以調(diào)整，故本文沒有計及結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響。今后的研究中將考慮利用PCB制作技術(shù)生產(chǎn)多種不同規(guī)格的空心線圈，分析結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響程度。