非正弦周期性負(fù)荷擾動(dòng)引發(fā)強(qiáng)迫振蕩機(jī)理分析

伍雙喜，徐衍會(huì)，宮曉珊

(1. 廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司 電力調(diào)度控制中心，廣東 廣州 510600；2. 華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，北京 102206)

0 引言

近年來(lái)強(qiáng)迫振蕩在電力系統(tǒng)中時(shí)有發(fā)生，嚴(yán)重影響了電力系統(tǒng)的安全、穩(wěn)定運(yùn)行。強(qiáng)迫功率振蕩從產(chǎn)生機(jī)理到振蕩特征均與經(jīng)典弱阻尼自由振蕩有較大的區(qū)別，于是國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)強(qiáng)迫振蕩的機(jī)理、特性、振蕩源定位以及抑制方法等進(jìn)行了豐富的研究。強(qiáng)迫功率振蕩的概念在1990年被提出[1]，文獻(xiàn)[1]指出即使安裝了電力系統(tǒng)穩(wěn)定器(PSS)，在聯(lián)系較弱的系統(tǒng)中仍然可能發(fā)生低頻振蕩。文獻(xiàn)[2-4]通過求解線性化電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程分析強(qiáng)迫振蕩的機(jī)理，并得出結(jié)論：當(dāng)系統(tǒng)持續(xù)的周期性功率擾動(dòng)的頻率接近系統(tǒng)功率振蕩的固有頻率時(shí)，會(huì)引起大幅度的功率振蕩。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[5]引入多自由度強(qiáng)迫振動(dòng)理論推導(dǎo)得到多機(jī)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振蕩方程；文獻(xiàn)[6]拓展了傳統(tǒng)的狹義強(qiáng)迫振蕩的研究，研究在模式間非線性相互作用的影響下廣義強(qiáng)迫振蕩的理論。通過對(duì)機(jī)理的深入研究，文獻(xiàn)[7-9]分別通過能量法、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)理論、時(shí)延估計(jì)法對(duì)振蕩源進(jìn)行定位，從而進(jìn)一步對(duì)強(qiáng)迫振蕩進(jìn)行抑制。

電力系統(tǒng)中存在著持續(xù)的周期性負(fù)荷擾動(dòng)[10]，因此負(fù)荷側(cè)能否引起電網(wǎng)強(qiáng)迫功率振蕩非常值得研究。當(dāng)負(fù)荷擾動(dòng)的頻率與系統(tǒng)固有頻率相同或相近時(shí)，同樣會(huì)引發(fā)系統(tǒng)的強(qiáng)迫功率振蕩，表現(xiàn)為機(jī)組間轉(zhuǎn)子角的劇烈搖擺、輸電線傳輸功率的大幅波動(dòng)[11-13]。文獻(xiàn)[11]對(duì)2機(jī)模型進(jìn)行推導(dǎo)，闡述了原動(dòng)機(jī)功率與負(fù)荷兩者持續(xù)周期性擾動(dòng)引發(fā)電網(wǎng)強(qiáng)迫功率振蕩的區(qū)別。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[12-13]分析了周期性負(fù)荷擾動(dòng)引發(fā)多機(jī)電力系統(tǒng)強(qiáng)迫功率振蕩的機(jī)理，并分析了負(fù)荷擾動(dòng)引發(fā)強(qiáng)迫功率振蕩的主要影響因素；文獻(xiàn)[14]通過仿真驗(yàn)證了強(qiáng)迫振蕩程度受振蕩源位置的影響。

然而，現(xiàn)有的針對(duì)負(fù)荷側(cè)強(qiáng)迫振蕩的研究大多基于在負(fù)荷節(jié)點(diǎn)引入正弦波擾動(dòng)，根據(jù)強(qiáng)迫功率振蕩實(shí)例，能夠引發(fā)強(qiáng)迫振蕩的負(fù)荷為具有主動(dòng)性的沖擊性負(fù)荷，該類負(fù)荷波形具有類似方波或三角波的特征，而并非正弦波。2015年3月廣州增城站由于聯(lián)眾鋼鐵廠負(fù)荷波動(dòng)引起強(qiáng)迫功率振蕩，同年9月柏山站因用戶側(cè)的軋鋼機(jī)、精煉爐等設(shè)備的沖擊性負(fù)荷引發(fā)強(qiáng)迫功率振蕩。從現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)錄波可見，增城站的增寧甲線和增荔甲線發(fā)生振蕩時(shí)的有功功率波形不同于發(fā)生一般振蕩時(shí)的正弦波形，而更接近于有平頂?shù)姆讲?，柏山站的馬柏線發(fā)生振蕩時(shí)的有功功率波形也并非正弦波形而更接近于有尖頂?shù)娜遣āＲ虼搜芯糠钦抑芷谛载?fù)荷擾動(dòng)引發(fā)強(qiáng)迫振蕩的機(jī)理更具有工程實(shí)踐的意義，同時(shí)也為進(jìn)一步研究負(fù)荷側(cè)引發(fā)的強(qiáng)迫振蕩的傳播與抑制奠定了基礎(chǔ)。

本文將沖擊性負(fù)荷擾動(dòng)通過傅里葉分解為若干正弦波的疊加，完善了沖擊性負(fù)荷引發(fā)電網(wǎng)強(qiáng)迫功率振蕩機(jī)理的理論推導(dǎo)，對(duì)比了沖擊性負(fù)荷擾動(dòng)與正弦波負(fù)荷擾動(dòng)引發(fā)系統(tǒng)強(qiáng)迫振蕩的區(qū)別，并分析了影響強(qiáng)迫振蕩幅值的主要因素，對(duì)負(fù)荷側(cè)引發(fā)強(qiáng)迫振蕩的相關(guān)研究具有更多的工程指導(dǎo)意義。

1 單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)非正弦負(fù)荷擾動(dòng)分析

1.1 沖擊性負(fù)荷

沖擊性負(fù)荷泛指功率變化速度很快的負(fù)荷，如核物理研究中電子加速器的用電負(fù)荷、軋鋼用電負(fù)荷等。鋼鐵廠中的開坯軋機(jī)、厚板軋機(jī)、型鋼軋機(jī)和熱連軋的粗軋部分等的生產(chǎn)用電都具有沖擊性負(fù)荷的特性。一般而言，沖擊性負(fù)荷具備如下特點(diǎn)[15]：

a. 具有主動(dòng)性，沖擊性負(fù)荷由自身的生產(chǎn)特性決定了其從系統(tǒng)吸收的功率；

b. 功率變化速度快，通常在短時(shí)間內(nèi)負(fù)荷急劇上升或下降；

c. 具有連續(xù)周期性，周期為幾秒到幾分鐘；

d. 有功沖擊幅值大，可達(dá)100 MW以上，當(dāng)采用整流裝置供電時(shí)，無(wú)功沖擊幅值可達(dá)100 Mvar；

e. 沖擊歷時(shí)長(zhǎng)，可達(dá)幾分鐘。

2015年3月廣州增城站發(fā)生負(fù)荷擾動(dòng)引起的強(qiáng)迫振蕩，增寧甲線的有功功率實(shí)測(cè)錄波如圖1所示。

圖1 沖擊性負(fù)荷擾動(dòng)引發(fā)的強(qiáng)迫振蕩Fig.1 Forced oscillation caused by impulsive load disturbance

從圖1可以看出，實(shí)測(cè)沖擊性負(fù)荷引起的強(qiáng)迫振蕩有功功率波形不同于一般振蕩的正弦波形，而更接近于有平頂?shù)姆讲?。正常生產(chǎn)情況下，鋁材廠與爐卷軋機(jī)及其供電母線上的負(fù)荷變化情況錄波[16-17]波形也均和圖1類似，可看作帶有平頂?shù)姆讲?。因此，本文后續(xù)將沖擊性負(fù)荷簡(jiǎn)化為方波進(jìn)行分析。下文將分析沖擊性負(fù)荷對(duì)電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

1.2 單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)分析

單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)如圖2所示，發(fā)電機(jī)采用經(jīng)典模型(E′恒定)，發(fā)電機(jī)內(nèi)電勢(shì)為Eg∠δ，節(jié)點(diǎn)1為發(fā)電機(jī)與變壓器的連接節(jié)點(diǎn)，電壓記為Vt;節(jié)點(diǎn)2為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)，引入的周期性負(fù)荷擾動(dòng)為ΔPd、ΔQd，節(jié)點(diǎn)電壓為Vd∠θd;節(jié)點(diǎn)3為無(wú)窮大節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)電壓為Vs∠0°。

圖2 單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)Fig.2 Single-machine infinite-bus system

線性化后的節(jié)點(diǎn)注入功率方程為：

(1)

其中，H、N、M、L分別為Pe、Qe、Pd、Qd對(duì)δ、Eg、θd、Vd的偏導(dǎo)數(shù)，Pe、Qe分別為發(fā)電機(jī)輸出的有功功率、無(wú)功功率；Δ表示相應(yīng)變量的變化量。經(jīng)典模型情況下，ΔEg=0，消除Δθd、ΔVd可以求得：

ΔPe=KSΔδ+KPΔPd+KQΔQd

(2)

其中，KS為同步系數(shù)；KP和KQ分別為有功負(fù)荷擾動(dòng)與無(wú)功負(fù)荷擾動(dòng)的相關(guān)系數(shù)。

為了方便分析，假設(shè)擾動(dòng)負(fù)荷的有功功率是幅值為ΔPdm、占空比為50%的方波，如圖3所示。

圖3 周期性方波負(fù)荷擾動(dòng)曲線Fig.3 Square wave of periodical load disturbance

圖3所示方波的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

ΔQd=0

任何周期為T的波函數(shù)f(t)都可以表示為三角函數(shù)所構(gòu)成的級(jí)數(shù)之和，則該方波可傅里葉分解為：

(3)

其中，ω=2π/T，為基波三角函數(shù)f(t)的角頻率。

發(fā)電機(jī)的線性化轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程為：

(4)

其中，ω0為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的額定轉(zhuǎn)速；ωr為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；TJ為發(fā)電機(jī)慣性時(shí)間常數(shù)；PT為發(fā)電機(jī)的輸入機(jī)械功率；KD為發(fā)電機(jī)阻尼系數(shù)。

(5)

即：

(6)

當(dāng)ΔPd=ΔPdmsin(ωt)時(shí)，式(4)的特解為Δδ(t)=Bsin(ωt-φ)，根據(jù)線性方程解的可疊加性，式(5)的解可看作若干非齊次項(xiàng)為正弦量的方程解的疊加，當(dāng)只取ΔPd傅里葉分解的前3項(xiàng)時(shí)，可得強(qiáng)迫振蕩的振幅和相位分別為：

(7)

(8)

在如今的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展中出現(xiàn)的最常見的安全隱患就是網(wǎng)絡(luò)病毒的入侵和黑客的攻擊，其中網(wǎng)絡(luò)病毒由于自身具備一定程度上的傳染性和隱蔽性，對(duì)網(wǎng)絡(luò)信息的破壞能力極強(qiáng)，是網(wǎng)絡(luò)信息安全的重要隱患。特別是如今科學(xué)技術(shù)不斷發(fā)展，各種網(wǎng)絡(luò)病毒也層出不窮，能夠輕易的對(duì)一些使用不規(guī)范或者安全軟件不完善的計(jì)算機(jī)進(jìn)行入侵，影響計(jì)算機(jī)的正常使用。

2 多機(jī)系統(tǒng)非正弦負(fù)荷擾動(dòng)分析

對(duì)于含有M臺(tái)發(fā)電機(jī)、N個(gè)節(jié)點(diǎn)的多機(jī)系統(tǒng)，在發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)增加內(nèi)電勢(shì)節(jié)點(diǎn)，其編號(hào)為1、2、…、M，原網(wǎng)絡(luò)發(fā)電機(jī)和負(fù)荷節(jié)點(diǎn)編號(hào)依次為M+1、M+2、…、M+N，則各節(jié)點(diǎn)的注入功率可以表示為：

(9)

其中，i=1，2，…，N+M；φ=[δT，θT]為所有節(jié)點(diǎn)相角，δ=[δ1，δ2，…，δM]T為發(fā)電機(jī)功角，θ=[θ1，θ2，…，θN]T為原網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)電壓相角。

將式(9)在穩(wěn)定平衡點(diǎn)處線性化，可得：

(10)

其中，i=1，2，…，N+M。

可將式(10)寫為矩陣形式：

(11)

假設(shè)只考慮負(fù)荷的電壓靜特性，則有：

(12)

發(fā)電機(jī)用經(jīng)典模型表示，內(nèi)電勢(shì)保持恒定，即ΔVM=0，因此忽略雅可比矩陣的第2列，并且可以不考慮發(fā)電機(jī)的無(wú)功功率偏移ΔQM，則式(11)可以整理為：

(13)

KSΔδM+KdΔSN

(14)

(15)

取Kd中與有功負(fù)荷擾動(dòng)相關(guān)的元素，即其第l列，記為KP=[KP1，KP2，…，KPM]T，則發(fā)電機(jī)的電磁功率變化可以表示為：

ΔPei=KSiΔδMi+KPiΔPli=1,2,…,M

(16)

KSi仍可以認(rèn)為是同步系數(shù)，KPi為負(fù)荷擾動(dòng)有功功率相關(guān)因子，表示機(jī)組電磁功率變化中與負(fù)荷擾動(dòng)直接相關(guān)部分的系數(shù)，這樣便將發(fā)電機(jī)的電磁功率變化表示為轉(zhuǎn)子角偏移和負(fù)荷擾動(dòng)的函數(shù)。其中KPi為實(shí)數(shù)，即負(fù)荷擾動(dòng)與由其引起的各機(jī)組電磁功率擾動(dòng)分量是同步變化的，其大小由負(fù)荷與機(jī)組間的電氣距離決定。

發(fā)電機(jī)的線性化轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程為：

(17)

考慮周期性負(fù)荷擾動(dòng)引發(fā)的強(qiáng)迫功率振蕩，忽略發(fā)電機(jī)的機(jī)械功率變化，即ΔPTi=0，將式(16)中的ΔPei代入式(17)，得到強(qiáng)迫項(xiàng)為 -KPiΔPl的常系數(shù)線性非齊次微分方程組，如式(18)所示。

(18)

線性化的狀態(tài)方程可以寫為矩陣形式：

(19)

為了消除方程間的耦合，采用模態(tài)坐標(biāo)，可令x=Φz(mì)，代入式(19)可得系統(tǒng)新的坐標(biāo)方程為：

(20)

其中，Φ為A的右特征向量矩陣；Λ=Φ-1AΦ。

采用模態(tài)坐標(biāo)后，系統(tǒng)解耦方程可以寫成：

(21)

因此，系統(tǒng)第r階振蕩模式的解耦方程為：

(22)

(23)

系統(tǒng)發(fā)生強(qiáng)迫振蕩的穩(wěn)態(tài)解為N-1對(duì)共軛模態(tài)響應(yīng)的疊加，其解為：

(24)

第i個(gè)狀態(tài)變量的解為：

xi(t)=

(25)

頻率比υr=ω/ωnr，則第r階振蕩模式的時(shí)域響應(yīng)為：

(26)

當(dāng)擾動(dòng)頻率ω與系統(tǒng)第r階模式的固有頻率ωnr相近時(shí)，第r階振蕩模式的穩(wěn)態(tài)振幅比其他階模式的穩(wěn)態(tài)振幅大得多，可以近似將其認(rèn)為是系統(tǒng)的總響應(yīng)。

(27)

弱阻尼模式下，阻尼比ζr較小，即特征值實(shí)部遠(yuǎn)小于虛部，φr≈π/2。則式(27)可以整理為：

[sin(γir+σrl+ωnrt)+sin(γir+σrl+3ωnrt)/3+

sin(γir+σrl+5ωnrt)/5]

(28)

3 算例分析

3.1 單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)算例

以圖2所示單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)系統(tǒng)為例[18]，系統(tǒng)基準(zhǔn)頻率為50 Hz，系統(tǒng)振蕩頻率為0.927 Hz，阻尼比為2.45%，變壓器阻抗為j0.15 p.u.，低壓側(cè)母線與無(wú)窮大母線間的線路阻抗為j0.5 p.u.。

在低壓側(cè)母線處分別施加10 MW周期性方波與正弦波負(fù)荷擾動(dòng)，擾動(dòng)頻率為固有振蕩頻率0.927 Hz，如圖4所示。

圖4 周期性方波與正弦波負(fù)荷擾動(dòng)Fig.4 Periodic square wave and sinusoidal load disturbance

圖5展示了發(fā)電機(jī)在正弦波負(fù)荷擾動(dòng)與方波負(fù)荷擾動(dòng)下的功角對(duì)比，方波負(fù)荷擾動(dòng)引發(fā)的強(qiáng)迫功率振蕩下狀態(tài)變量穩(wěn)態(tài)時(shí)域響應(yīng)比正弦波負(fù)荷擾動(dòng)更大，經(jīng)仿真可看出方波擾動(dòng)下強(qiáng)迫振蕩的幅值明顯高于正弦波擾動(dòng)并且相位稍有滯后。

圖5 發(fā)電機(jī)功角Fig.5 Power angle of generator

3.2 IEEE 9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)算例

IEEE 9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)如圖6所示，系統(tǒng)有2個(gè)振蕩模式，振蕩頻率分別為1.985 Hz、1.259 Hz，阻尼比分別為9.29%、3.86%。其中模式1為G3的本地振蕩模式，模式2為G2的本地振蕩模式。

圖6 IEEE 9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.6 IEEE 9-bus system

在母線BUS C處施加圖4所示的10 MW周期性方波與正弦波負(fù)荷擾動(dòng)，擾動(dòng)頻率為模式2的固有頻率1.259 Hz。該系統(tǒng)在此頻率負(fù)荷擾動(dòng)下發(fā)生強(qiáng)迫振蕩，圖7為3臺(tái)發(fā)電機(jī)在正常運(yùn)行、正弦波負(fù)荷擾動(dòng)和方波負(fù)荷擾動(dòng)下的功角(因2種振蕩模式均無(wú)G1參與，于是將G1的功角作為參考)。該振蕩模式為G2的本地模式，由圖7可以看出無(wú)論是在正弦波負(fù)荷擾動(dòng)還是在方波負(fù)荷擾動(dòng)下，G2的振蕩均比G3更加劇烈。

圖7 3種情況下發(fā)電機(jī)功角Fig.7 Power angle of generators in three situations

圖8展示了發(fā)電機(jī)在正弦波負(fù)荷擾動(dòng)與方波負(fù)荷擾動(dòng)下的功角對(duì)比，方波負(fù)荷擾動(dòng)引發(fā)的強(qiáng)迫功率振蕩下狀態(tài)變量穩(wěn)態(tài)時(shí)域響應(yīng)比正弦波負(fù)荷擾動(dòng)更大，經(jīng)仿真可看出方波擾動(dòng)下強(qiáng)迫振蕩的幅值明顯高于正弦波擾動(dòng)。

同理，在母線BUS C處施加10 MW周期性方波與正弦波負(fù)荷擾動(dòng)，擾動(dòng)頻率為模式1的固有頻率1.985 Hz。圖9展示了振蕩模式1下發(fā)電機(jī)在正弦波負(fù)荷擾動(dòng)與方波負(fù)荷擾動(dòng)下的功角對(duì)比，可以得出與上述相同的結(jié)論，并可看出在G3的本地模式下，無(wú)論是正弦波負(fù)荷擾動(dòng)還是方波負(fù)荷擾動(dòng)，G3的振蕩均比G2更加劇烈。

圖9 G2、G3功角(模式1)Fig.9 Power angle of G2 and G3(Mode 1)

4 結(jié)論

本文在現(xiàn)有的負(fù)荷側(cè)強(qiáng)迫功率振蕩機(jī)理的基礎(chǔ)上，完善了非正弦持續(xù)周期性負(fù)荷引發(fā)電網(wǎng)強(qiáng)迫功率振蕩機(jī)理的理論推導(dǎo)，對(duì)比了沖擊性負(fù)荷擾動(dòng)與正弦波負(fù)荷擾動(dòng)引發(fā)系統(tǒng)強(qiáng)迫振蕩的區(qū)別，并得出以下結(jié)論：

a. 根據(jù)強(qiáng)迫功率振蕩實(shí)例，能夠引發(fā)強(qiáng)迫振蕩的負(fù)荷為具有主動(dòng)性的沖擊性負(fù)荷，該類負(fù)荷波形具有類似方波或三角波的特征，而并非正弦波；

b. 方波負(fù)荷擾動(dòng)引發(fā)強(qiáng)迫功率振蕩下狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)時(shí)域響應(yīng)比正弦波負(fù)荷擾動(dòng)更大，電力系統(tǒng)發(fā)生周期性方波負(fù)荷擾動(dòng)時(shí)，比同幅值正弦波負(fù)荷擾動(dòng)引起的振蕩幅值更大；

c. 非正弦周期性負(fù)荷引發(fā)強(qiáng)迫振蕩時(shí)，振蕩模式與正弦波負(fù)荷擾動(dòng)引起的強(qiáng)迫振蕩的振蕩模式基本一致，在主要參與振蕩模式的機(jī)組上更容易引發(fā)大幅度的強(qiáng)迫功率振蕩。