平底矩形斷面漸擴(kuò)散水躍躍后水深的計算

傅銘煥，惠祥明，吳留偉，田 甜，侯 毅，盧志男

(浙江省水利水電勘測設(shè)計院，浙江 杭州 310002)

在實際工程中，往往遇到溢洪道或泄洪洞的出口較窄而下游河床較寬的情況，此時常采用漸擴(kuò)式消力池來平順銜接上下游水流.發(fā)生于漸擴(kuò)式消力池中的水躍稱為漸擴(kuò)散水躍.張志恒[1]試驗研究了平底矩形斷面渠道漸擴(kuò)式消力池的水力特性，研究發(fā)現(xiàn)，在相同流量下漸擴(kuò)式消力池躍后水深較一般矩形二元水躍小4%～14%.W. H. HAGER[2]的研究也表明，在相同來流情況下，漸擴(kuò)式消力池銜接上游水流所需的下游尾水水深較一般矩形消力池小.陳椿庭等[3]的研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)漸擴(kuò)式水躍躍后斷面寬度與躍前斷面寬度比b2/b1=2時，所需的下游水深較一般矩形消力池可減小1/10.可見，漸擴(kuò)式消力池的布置既是工程實際所需，同時漸擴(kuò)式消力池又具有很好的經(jīng)濟(jì)效益.而漸擴(kuò)散水躍躍后水深和水躍長度作為漸擴(kuò)式消力池體形的重要設(shè)計參數(shù)，為廣大學(xué)者所研究.學(xué)者們通過求解漸擴(kuò)式消力池躍前和躍后斷面動量方程的傳統(tǒng)方法，研究漸擴(kuò)式水躍共軛水深的變化規(guī)律[1-7].但各家學(xué)者出于對漸擴(kuò)式消力池邊墻反力認(rèn)識的不同，在計算漸擴(kuò)式水躍躍后水深時是否應(yīng)該考慮邊墻反力，以及對邊墻反力的計算方法目前尚未統(tǒng)一.傅銘煥等[8]繞過消力池邊墻作用力，通過分析漸擴(kuò)式水躍局部阻力系數(shù)隨一般二元水躍局部阻力系數(shù)的變化規(guī)律，同時利用能量方程推導(dǎo)了漸擴(kuò)式水躍躍后水深新的計算方法，并在邊墻擴(kuò)散角θ<9°時獲得較好的計算效果，為漸擴(kuò)散水躍躍后水深的研究提供新的思路.文獻(xiàn)[9]分析了現(xiàn)階段漸擴(kuò)散水躍水躍長度的計算公式，發(fā)現(xiàn)各學(xué)者提出的水躍長度計算值偏離較大.

平底矩形斷面渠道漸擴(kuò)散消力池水躍躍后水深的研究遠(yuǎn)沒有一般矩形消力池研究的深入和透徹，筆者嘗試通過新的途徑，避開邊墻反力這一問題焦點，尋找新的方法研究漸擴(kuò)散水躍躍后水深，為平底矩形斷面渠道漸擴(kuò)式消力池體形設(shè)計提供新的參考.

1 漸擴(kuò)式消力池繞流阻力系數(shù)

實際液體沿固壁曲面流動時，若液體壓力梯度沿程逐漸增大，主流會從某個位置開始脫離壁面以減少水流擴(kuò)散，此時下游壁面附近出現(xiàn)回流現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為邊界層流動的分離，又稱為邊界層脫體現(xiàn)象[10].閘下水流由較窄渠道突然擴(kuò)散到較寬渠道時，邊壁水流與壁面發(fā)生脫離，主流沿其流動的垂直方向發(fā)生擴(kuò)散，并在擴(kuò)散區(qū)形成回流，此時回流區(qū)與其相鄰的主流存在壓差.傅銘煥等[11]假定此壓差作用力是由于渠道寬度突然擴(kuò)散而對主流形成的繞流阻力(其作用方向與主流一致)，并提出了突擴(kuò)式消力池的新的水躍動量方程并獲得了很好的計算效果.

矩形擴(kuò)散水躍水力計算新公式[5]的試驗表明：漸擴(kuò)散消力池邊墻壓力并非靜壓分布，并且小于靜壓；當(dāng)邊墻擴(kuò)散角θ>9°時，下泄水流會出現(xiàn)脫離壁面現(xiàn)象，在邊墻內(nèi)壁處有明顯的回流產(chǎn)生.毛昶熙[12]的試驗亦表明，當(dāng)漸擴(kuò)散消力池下游不設(shè)輔助消能工，邊墻內(nèi)壁出現(xiàn)明顯回流時的邊墻擴(kuò)散角約為θ=7°.可見，下泄水流流經(jīng)漸擴(kuò)散消力池時會在邊墻某處發(fā)生脫離，但對擴(kuò)散角為多大，消力池邊墻才會產(chǎn)生明顯的回流，尚需進(jìn)一步研究.作者嘗試將文獻(xiàn)[13]提出的突擴(kuò)消力池繞流阻力公式應(yīng)用到漸擴(kuò)式消力池，來研究其水躍躍后水深計算的可行性.

平底矩形斷面渠道漸擴(kuò)散消力池中由于擴(kuò)散而形成的回流徘徊于邊壁附近，并排擠外流，此時回流區(qū)與其相鄰的主流存在壓差.假定由此產(chǎn)生的壓差作用力是由于渠道寬度逐漸擴(kuò)散而對主流形成的繞流阻力，其作用方向與主流一致，如圖1所示，圖1為一漸擴(kuò)式消力池示意圖.圖中F繞即為因邊墻擴(kuò)散而形成的繞流阻力；P1和P2分別為躍前斷面和躍后斷面的動水壓力；v1和v2分別為躍前斷面和躍后斷面的平均流速；b1和b2分別為躍前和躍后斷面的消力池寬度；h1和h2分別為躍前和躍后斷面水深；Ff為水躍段消力池底板對水流產(chǎn)生的壁面阻力；Lr為水躍旋滾長度；θ為消力池邊墻擴(kuò)散角.

對圖1中躍前斷面和旋滾末端斷面列動量方程，設(shè)動量修正系數(shù)β1=β2=β修，可得：

β修γQ(v2-v1)/g=P1-P2+F繞-Ff

(1)

式中：γ—水流的重度，γ=ρg，ρ—水流密度，

g—水流重力加速度；Q—下泄水流流量.

圖1 平底矩形斷面渠道漸擴(kuò)式水躍示意圖

文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[14]的研究表明，對于一般混凝土壁面，不計壁面阻力，對共軛水深比和相對能量損失影響很小.因此，本文忽略壁面阻力Ff的影響，同時出于簡便考慮，假定動量修正系數(shù)β修=1，則公式(1)變?yōu)椋?/p>

γQ(v2-v1)/g=P1-P2+F繞

(2)

繞流阻力F繞可表示為[11]：

(3)

式中：CD—繞流阻力系數(shù)；A—阻水面積；

U0—繞流前水流平均流速.

(4)

式中：CL—繞流阻力的綜合阻力系數(shù).

由公式(4)可知，要求得繞流阻力，需先確定綜合繞流阻力系數(shù)，將公式(4)進(jìn)行變形，可得綜合繞流阻力系數(shù)CL的表達(dá)式，即：

(5)

對于綜合繞流阻力系數(shù)，目前尚無成熟的理論計算方法，多通過試驗確定.

(6)

矩形擴(kuò)散水躍的水力計算[1]實測的漸擴(kuò)散消力池水工模型試驗值(見表1)，在此計算過種中并未給出水躍區(qū)水躍旋滾長度的試驗值，但其給出了水躍旋滾長度實測值的擬合公式，即：

Lr=0.077h1(mFr1)1.5

(7)

式中：m=1/tanθ.

本文用公式(7)計算的水躍旋滾長度代替試驗實測的水躍旋滾長度值.

由圖1可知，水躍旋滾末端的消力池寬度b2可用下式計算，即

b2=2Lrtanθ+b1

(8)

根據(jù)矩形擴(kuò)散水躍的水力計算[1]上下游實測資料，通過公式(6)～公式(8)可求得漸擴(kuò)式消力池綜合繞流阻力系數(shù)實測值(見表1).

表1 綜合阻力系數(shù)的比較

由公式(6)可知，漸擴(kuò)式消力池綜合繞流阻力系數(shù)CL是躍前斷面弗勞德數(shù)Fr1、水躍共軛水深比η及躍后斷面與躍前斷面寬度比β的函數(shù).由于實際工程中，水躍躍后條件往往是未知的，故筆者對張志恒[1]實測的綜合繞流阻力系數(shù)重新整理分析，分析結(jié)果(見圖2).由圖2可知，相對綜合繞流阻力系數(shù)β4CL是躍前斷面弗勞德數(shù)Fr1的函數(shù)，并隨著Fr1的增大而減小.對相對綜合繞流阻力系數(shù)β4CL進(jìn)行擬合，可得:

(9)

將式(7)和式(8)代入式(9)，即可得漸擴(kuò)式消力池綜合繞流阻力系數(shù)CL的顯示計算式，即:

(10)

將公式(10)計算的綜合繞流阻力系數(shù)計算值列入表1，可知公式(10)的計算值與文獻(xiàn)[1]中給出的實測值十分接近，公式(10)計算的綜合繞流阻力系數(shù)平均誤差僅為0.9%.

圖2 相對綜合繞流阻力系數(shù)隨躍前斷面弗勞德數(shù)的分布

2 漸擴(kuò)散水躍躍后水深和水躍長度

公式(2)建立的平底矩形斷面渠道漸擴(kuò)散水躍動量方程公式求解水躍躍后水深，尚需知道躍后斷面消力池寬度b2.由公式(8)可知，躍后斷面消力池寬度b2是水躍旋滾長度Lr的函數(shù).張志恒[1]雖給出了漸擴(kuò)散消力池水躍旋滾長度Lr的計算公式，但其經(jīng)驗公式具有一定的局限性.

吳宇峰等[15]捕捉水躍旋滾區(qū)水體質(zhì)點的運動規(guī)律，提出的漸擴(kuò)式消力池水體質(zhì)點的運動方程為：

(11)

式中：t—水躍區(qū)水體質(zhì)點從躍前斷面往躍后斷面運動的時間；

y—水體質(zhì)點在t時間內(nèi)在豎直方向上運動的距離；

f—消力池擴(kuò)散角為零時，水體質(zhì)點受壓力差引起的質(zhì)點豎直向上運動的加速度；

kθf—由于消力池邊墻擴(kuò)散額外引起的豎直向上運動加速度，k—額外加速度系數(shù).吳宇峰等[15]假定的水體質(zhì)點運動起點為躍前斷面水流表面，認(rèn)為水體質(zhì)點從躍首運動到躍后斷面的水平運動距離為水躍長度Lj，并假定水體質(zhì)點運動至某一斷面時的水平瞬時速度正比于該斷面平均流速vx，即：

(12)

式中：x—水流沿主流方向的運動距離；

c—流速系數(shù).同時假定tanθ=θ.

吳宇峰等[15]對公式(12)進(jìn)行積分，得到水躍長度的表達(dá)式為：

(13)

1965年，RAJARATNM[16]就將水躍分為旋滾長度Lr和水躍長度Lj，旋滾長度是指躍首到水躍表面旋滾末端之間的水平距離，水躍長度是指躍首至躍后水深約等于尾水水深斷面之間的水平距離.1984年，HUGHES[17]也將水躍長度分為旋滾長度和水躍長度，其定義與RAJARATNM相同，并認(rèn)為水躍長度的定義與美國墾務(wù)局的BRADLEY和PETERKA水躍長度試驗數(shù)據(jù)一致.

基于上述對水躍旋滾長度和水躍長度的認(rèn)識，筆者認(rèn)為水體質(zhì)點，在從躍首表面運動到旋滾末端表面經(jīng)過的水平距離應(yīng)為水躍旋滾長度，同時不再假定tanθ=θ，則對公式(12)重新積分，可得：

(14)

(15)

式中A須通過試驗確定.

根據(jù)張志恒[1]上下游實測資料，筆者將公式(15)計算的A重新進(jìn)行分析，結(jié)果(見圖3).對A進(jìn)行擬合可得：

圖3 A值分布

(η-1)A=6.108 3Fr1-8.401 7

(16)

公式(16)計算的平均誤差為0.67%.將公式(16)代入公式(15)，可得漸擴(kuò)散消力池水躍旋滾長度的計算公式為：

(17)

將公式(6)進(jìn)行變形，則：

(18)

將β=b2/b1=(b1+2Lrtanθ)/b1代入公式(18)，可得：

(19)

上式即為平底矩形斷面渠道漸擴(kuò)散水躍共軛水深比的計算公式.

通過公式(10)、公式(17)和公式(19)即可求解漸擴(kuò)散水躍躍后水深和水躍旋滾長度.在求解計算時，可根據(jù)公式(10)先行計算綜合繞流阻力系數(shù)CL，再將公式(17)計算的水躍旋滾長度函數(shù)關(guān)系式代入公式(19)，借助Excel單變量求解功能，快速求解水躍共軛水深比及水躍旋滾長度.

3 公式的驗證

根據(jù)張志恒[1]實測資料，用公式(10)、公式(17)和公式(19)計算所得的平底矩形斷面渠道漸擴(kuò)散水躍躍后水深和水躍旋滾長度計算值列入表1.由表1可知，用本文公式計算的躍后水深平均誤差為0.21%，最大誤差為0.39%；水躍旋滾長度平均誤差為0.62%，最大誤差為1.53%.

張志昌等[18]認(rèn)為，應(yīng)用傳統(tǒng)方法計算漸擴(kuò)散消力池時，邊墻反力按梯形和1/2拋物線形計算的躍后水深效果較好，同時認(rèn)為文獻(xiàn)[12]提出的共軛水深擬合公式也具有較好的計算效果.為進(jìn)一步驗證公式(10)、公式(17)和公式(19)的適用性，筆者在文獻(xiàn)[8]對上述3家公式比較的基礎(chǔ)上，應(yīng)用矩形擴(kuò)散水躍的水力計算的上游實測數(shù)據(jù)，將公式(10)、公式(17)和公式(19)聯(lián)合求解的躍后水深計算值與其余3家公式一同繪入圖4.

由圖4可知，公式(10)、公式(17)和公式(19)聯(lián)合求解的躍后水深與其余3家公式均接近.在躍前斷面弗勞德數(shù)3.55.5時，本文計算值隨躍前斷面弗勞德數(shù)的增大速率逐漸放緩，當(dāng)Fr1=7時，已略小于其余3家公式，但其偏小值最大僅為2.81%.分析認(rèn)為，這是由于漸擴(kuò)式消力池水躍的旋滾末端紊動強(qiáng)烈，水面上下波動，給施測者帶來困難造成的.

本文在律定綜合繞流阻力系數(shù)CL和相對加速度f/g和擴(kuò)散角θ的函數(shù)A時，均采用矩形擴(kuò)散水躍的水力計算[1]的試驗數(shù)據(jù)(θ=5.711°)，為分析公式(17)和公式(19)的通用性，擬用矩形擴(kuò)散水躍的水力計算[1]的上游實測數(shù)據(jù)，改變邊墻擴(kuò)散角θ，對公式進(jìn)行進(jìn)一步的分析.在實際工程中，邊墻擴(kuò)散角θ通常較小，一般要求θ<12°，本文計算取θ=12°.文獻(xiàn)[19]認(rèn)為邊墻反力按梯形計算，其漸擴(kuò)散水躍躍后水深公式在較大邊墻擴(kuò)散角下也能獲得較好的計算效果.將梯形公式和公式(19)計算的漸擴(kuò)散水躍共軛水深值繪入圖5.由圖5可知，在較大邊墻擴(kuò)散角θ=12°時，本文計算的共軛水深比與梯形公式計算值十分相近.在3.5

圖4 各公式計算的躍后水深[8]

圖5 躍后水深的比較(θ=12°)

由上可知，在躍前斷面弗勞德數(shù)3.5

4 總 結(jié)

本文將水流邊界層脫壁而產(chǎn)生繞流阻力的理論應(yīng)用到漸擴(kuò)式消力池中，用以求解平底矩形斷面渠道漸擴(kuò)散水躍躍后水深.研究表明，漸擴(kuò)散水躍綜合繞流阻力系數(shù)是躍前斷面弗勞德數(shù)、水躍共軛水深比及水躍旋滾末端斷面和水躍躍前斷面寬度比的函數(shù).相對綜合繞流阻力系數(shù)是躍前斷面弗勞德數(shù)的函數(shù).本文作者根據(jù)繞流阻力假定和吳宇峰[15]的漸擴(kuò)散水躍躍長的研究中關(guān)于平底矩形斷面渠道漸擴(kuò)散水躍水體質(zhì)點的運動方程，分別得出了漸擴(kuò)式水躍躍后水深和水躍旋滾長度新的計算公式.根據(jù)張志恒的實測資料，用公式(10)、公式(18)和公式(20)計算所得的漸擴(kuò)散水躍躍后水深和水躍旋滾長度平均誤差分別為0.21%和0.62%，并用已有漸擴(kuò)散水躍計算公式對其適用性及通用性進(jìn)行了驗證.