函數(shù)思想在中學數(shù)學解題中的應用

王蕾

【摘要】函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉化問題和解決問題.函數(shù)思想是數(shù)學思想的重要組成部分，在高中數(shù)學中起到橫向聯(lián)系和紐帶連接的主干作用.函數(shù)思想的應用，就是根據(jù)提出問題的數(shù)學特征，構建一個相應的函數(shù)關系型的數(shù)學模型，用函數(shù)知識去解決問題.

【關鍵詞】函數(shù)思想；中學數(shù)學；數(shù)學特征；數(shù)學模型

函數(shù)思想，就是用運動和變化的觀點分析、研究具體問題量的依存關系，剔除問題中的非數(shù)學因素，抽象數(shù)學特征，用函數(shù)的形式把數(shù)量關系表示出來，運用函數(shù)的性質(zhì)解決問題的思想.函數(shù)思想的運用，就是對于一個實際問題或數(shù)學問題，構建一個相應的函數(shù)，利用函數(shù)本身的概念和性質(zhì)等知識去分析問題、轉化問題，從而解決問題.

本文結合中學數(shù)學教學特點，從幾個方面對函數(shù)思想的應用進行了較系統(tǒng)的總結.

一、運用函數(shù)思想求解方程問題

函數(shù)與方程既是兩個不同的概念，又存在著密切聯(lián)系.一個函數(shù)表達式可以看成是一個二元方程，一個二元方程的兩個未知數(shù)間如果存在單值的對應關系，那么這個方程也可以看成是一個函數(shù).方程的兩端可以分別看成兩個函數(shù)，方程的解就是這兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標.因此，許多有關方程的問題都可以用函數(shù)思想解決.

例1已知q∈（-∞，-1）∪[1，+∞），方程cos2x+sinx-q=0是否有實數(shù)根？說明理由.

解由原式得：q=cos2x+sinx，令t=sinx，則q=-2t2+t+1（-1≤t≤1）.

配方得：q=-2t-142+98，由二次函數(shù)圖像可知：

當t=14時，q取到最大值98；當t=-1時，q取到最小值-2.

所以，當q∈（-∞，-2）∪98，+∞時，方程無解；當q∈[-2，-1）時，方程有實數(shù)根.

如果從方程的角度解決本題，很難找到有效的解題途徑，所以想到把原方程轉化為函數(shù)：q=cos2x+sinx，又知cos2x=1-sin2x，問題就轉化為了二次函數(shù)的求最值問題，這樣很容易得到答案.

二、運用函數(shù)思想解決不等式問題

在求解及證明不等式的過程中，巧妙地構造輔助函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)使不等式獲證.

例2解不等式8（x+1）3+10x+1-x3-5x>0.

分析本題若直接將左邊通分采用解高次不等式的思維來做運算比較麻煩，但可以看出8（x+1）3+10x+1=2x+13+52x+1，題中又有x3+5x，所以想到構造函數(shù)f（x）=x3+5x，利用函數(shù)單調(diào)性求解.

將原不等式化為2x+13+52x+1>x3+5x.令f（x）=x3+5x，則不等式變?yōu)閒2x+1>f（x），∵f（x）=x3+5x在R上為增函數(shù)，∴原不等式等價于2x+1>x，解得-1

可見，函數(shù)思想解決不等式問題，關鍵在于構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，熟悉函數(shù)性質(zhì)，弄清函數(shù)和不等式的內(nèi)在聯(lián)系，樹立相互轉化的觀點.

三、運用函數(shù)思想解決數(shù)列問題

數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項公式或前n項和公式可以看作是定義域為正整數(shù)集的函數(shù)，因此，有些數(shù)列問題可以用函數(shù)思想來解決.

例3已知數(shù)列{an}，其中a1=15，且an+1=an-23，試求當n取何值時，數(shù)列{an}的前n項和最大.

解由an+1=an-23，可得an+1-an=-23，由此可知數(shù)列{an}是以15為首項，-23為公差的等差數(shù)列，所以Sn=15n+n（n-1）2·-23=-13（n-23）2+5293，可見，當n=23時，Sn最大.

本題采用了構造函數(shù)的思想，在解決數(shù)列問題時，應重視函數(shù)思想的滲透，應把函數(shù)概念、圖像、性質(zhì)有機地融入數(shù)列中，通過數(shù)列與函數(shù)的知識交匯，使問題得以簡化.

四、運用函數(shù)思想解決三角問題

在三角函數(shù)一些較復雜的題目中也常用到函數(shù)思想.

例4求當x取何值時，2sin2x-2sinx-5取最小值.

解設y=2sin2x-2sinx-5，令t=sinx（-1≤t≤1），

則y=2t2-2t-5=2t-122-112，

所以當t=12時，y取到最小值-112，即t=sinx=12，因此，當x=π6+2kπ或x=56π+2kπ，k∈Z時，原式取到最小值.

利用換元法將原式化為二次函數(shù)求最值問題，變形過程中，根據(jù)三角函數(shù)本身特性，確定變量t的取值范圍，找到解題關鍵，再利用二次函數(shù)求最值方法進行求解.

可見，函數(shù)思想貫穿整個中學數(shù)學的教學.函數(shù)思想的關鍵是構造適當?shù)暮瘮?shù)模型，其實質(zhì)是把所求問題轉化為以函數(shù)為背景的問題，再利用函數(shù)的有關概念、圖像、性質(zhì)幫助解決.在教學中應注重數(shù)學建模思想的滲透，培養(yǎng)學生的解題能力.

【參考文獻】

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