C*代數(shù)上方程ax=xax與ax=xa=xax的解

田學(xué)剛，王少英

(濱州學(xué)院 理學(xué)院，山東 濱州 256603)

0 引言

關(guān)于算子方程AX=XAX，1954年Aronszajn在文獻(xiàn)[1]中給出了這個方程存在解的充要條件，文獻(xiàn)[2]討論了方程每一個解都是冪等解的充要條件，文獻(xiàn)[3]利用分塊矩陣技巧，討論了算子方程AX=XAX和AX=XA=XAX有解的充要條件，并利用算子止的不變子空間給出了通解．此外，文獻(xiàn)[4]利用算子分塊的技巧得到了方程A*X+X*A=B有解的充要條件，并利用算子A的Moore-Penrose逆給出了該方程解的一般形式．文獻(xiàn)[5]研究了C*代數(shù)上的方程axa*=c的正解和實正解存在的條件和解的一般形式．本文把文獻(xiàn)[3]中的算子方程推廣到更一般的C*代數(shù)上的方程ax=xax和ax=xa=xax，利用C*代數(shù)中元素的矩陣表示及Moore-Penrose逆，方程ax=xax和ax=xa=xax有正則解的條件，并給出解的一般形式．

1 預(yù)備知識

設(shè)A表示有單位元1的C*代數(shù)．如果元素a滿足a*a=aa*，稱a是正規(guī)的：如果元素a滿足a*=a，稱a是自伴的；如果a2=a*則稱a是投影．若存在b∈A滿足aba=a，則稱a是正則的，用Areg表示C*代數(shù)A中所有正則元的集合．若存在a+∈A滿足下面4個方程

aa+a=a，a+aa+=a+，(a+a)*=a+a，(aa+)*=aa+；

則稱a+為元素a的Moore-Penrose逆．如果a的Moore-Penrose逆存在，則是唯一的，且aa+和a+a都是A中的投影．關(guān)于Moore-Penrose逆有如下結(jié)論：

a是正則的?aA是閉的?a+存在

若a是正則的，可得

aa+c=c?cA?aA

如果投影p1，p2滿足p1+p2=2且p1p2=p2p1=0，則稱(p1，p2)是一個正交投影對．對于A中的每個元素x，根據(jù)正交對(p1，p2)可以表示為2×2矩陣的形式，

首先介紹幾個相關(guān)定義和引理：

定義1設(shè)a∈A，如果存在投影p∈A，(p≠0，1)使得apA?pA，則稱p是元素a的一個非平凡的不變投影．

定義2設(shè)a∈A，如果存在投p∈A，(p≠0，1)使得apA?pA且a*pA?pA，則稱p是元素a的一個非平凡的約化投影．

引理1[6]設(shè)p，q正A是投影，則存在一個冪等元素g∈A，使得

p=gg+,q=1-g+g

的充要條件是

1-pqp∈A-1,A=pA+qA

引理2[2]設(shè)a∈A是正規(guī)元，若ba=ab則b*a=ab*

2 主要結(jié)論

定理1設(shè)a∈Areg，則方程ax=xax有非平凡的正則解的充要條件是a有非平凡的不變投影．

證明 設(shè)p是a的非平凡的不變投影，即apA?pA，于是有pap=ap，所以p是方程ax=xax的一個非平凡的正則解．

設(shè)x0是方程ax=xax的任一非平凡正則解，下面分三種情況證明．

(H1)如果x0x0+<1,設(shè)p=x0x0+，則根據(jù)投影對(p,1-p),可得a,x0有如下矩陣表示

于是

由ax0=x0ax0可得

a21x11=0,a21x12=0,

所以

即

這里a11=a2a+,a12=a(1-aa+).

取

(a-x0a)x0=0,

也就是

故x0=1，這與x0是非平凡正則解矛盾，所以情形(H3)不存在．

推論1設(shè)a∈Areg，如果aa+<1則方程ax=xax有非平凡的正則解．

定理2設(shè)a∈Areg，如果a有非平凡的不變投影，則方程ax=xax就有無數(shù)多個冪等解．

證明 設(shè)p是a的一個非平凡不變投影，則根據(jù)投影對(p，1-p)，令x有如下矩陣表示

其中x12=py(1-p)，y∈A是任意的元素，容易驗證x是A中的冪等元．又因為p是a的一個非平凡不變投影，即有(1-p)ap=0，所以經(jīng)過計算可得x是方程ax=xax的冪等解．

推論2設(shè)a∈Areg，p是a的非平凡不變投影，則方程ax=xax滿足xx+=p的全部冪等解為

x=p+py(1-p)，

其中y∈A是任意元．

證明 設(shè)x0是方程ax=xax的一個解，即ax0=x0ax0，則

定理4設(shè)a∈Areg，則方程ax=xax存在非平凡的正則解充分必要條件是方程xa=xax存在非平凡的正則解．

證明 若方程ax=xax有非平凡的正則解，由定理1可知，a存在非平凡的不變投影p，即apA?pA，也就是(1-p)ap=0．所以根據(jù)投影對(p，1-p)可得

從而

所以[1-(1-p)]a*(1-p)=0，容易得到(1-p)(1-p)+a*(1-p)=a*(1-p)，也就是a*(1-p)A?(1-p)A,即1-p是a*的非平凡的不變投影．由定理1可得方程a*x*=x*a*x*有非平凡的正則解，從而方程xa=xax存在非平凡的正則解.

定理5設(shè)a∈Areg是正規(guī)的，則方程ax=xa=xax有非平凡正則解的充分必要條件是a有非平凡的約化投影．這時方程的全部解為

S={x=p+(1-aa+)t(1-aa+)：p2=p,pa=ap,t∈A}.

證明 設(shè)x是方程ax=xa=xax的任一解，因為aa*=a*a，ax=xa，所以由引理2可得a*=x*a，即p=aa+是a的非平凡的約化投影．因此a，x有如下矩陣形式

這里a11=a2a+，x11=aa+xaa+，x22=(1-aa+)x(1-aa+)．通過計算ax=xa=xax可得

a11x11=x11a11=x11a11x11,

所以

反之，設(shè)任一x∈S，則x=p+(1-aa+)t(1-aa+)，其中p2=p，pa=ap，t=∈A.因為a是正規(guī)的且ap=pa，所以由引理2可得

所以x是方程ax=xa=xax的解.

如果ax=xa=xax有非平凡的正則解，則a有一個非平凡的不變投影，因為a是正規(guī)的，所以a有非平凡的約化投影．

反之，若a有非平凡的約化投影p，即(1-p)ap=0,pa(1-p)=0，顯然p是方程ax=xa=xax的非平凡正則解.

定理6設(shè)a∈Areg，如果aa+=1或a+a=1,則方程ax=xa=xax有非平凡解的充分必要條件是a有兩個非平凡的不變投影p，q，使得

1-pqp∈A-1,A=pA+qA,

這時方程的全部解為

S={x:x2=x,xa-ax}.

證明 設(shè)x是方程ax=xa=xax的任一非平凡解，則(x-x2)a=a(x—x2)=0．如果aa+=1,可得(x-x2)=(x-x2)aa+=0；如果a+a=1，可得(x-x2)=a+a(x-x2)=0，所以x是冪等元．由于axx+A=xax+A=xx+xax+A=xx+axx+A?xx+A，即p=xx+是a的不變投影，又a(1-x+x)A=(1-x+x)a(1-x+x)A?(1-x+x)A，所以可得q=1-x+x也是a的不變投影．由引理1可知1-pqp∈A-1，A=pA+gA.

如果a有非平凡的不變投影p，q，使得1-pqp∈A-1,A=pA+qA,則由引理1可知存在冪等元g，使得gg+=p，(1-g+g)=q．又因為apA?pA，aqA?qA,所以ap=pap=qaq,進(jìn)一步可得ga=ag=gag，故g是方程ax=xa=xax的一個非平凡解.

由以上證明過程可知，若x是方程ax=xa=xax的任一解，則x∈S,反之，若x∈S則

0=(x-x2)a=x2a-xa=xax-xa=xax-ax,

所以方程的全部解為S={x:x2=x,xa=ax}.