一類帶有擴散和時滯的捕食系統(tǒng)的研究

安 瑩

(晉中師范高等?？茖W(xué)校,山西 晉中 030600)

0 引言

人們通過采取了很多措施保護野生動物,例如在不同的斑塊之間建立通道,便于種群的擴散或遷移,這樣種群就會有更多的覓食機會和繁殖機率,建立一些避難所來保護種群不被捕獲等.基于此方面的研究已有許多研究成果[1].本文是在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上,研究了一類帶有擴散和時滯的捕食系統(tǒng),模型如下:

(1)

xi(t)=φi(t)≥0,y(t)=φ(t)≥0,t∈[-τ,0],φi(0)≥0,φ(0)≥0(i=1,2).

(2)

在此模型中,捕食者在兩個斑塊間可以自由移動,但食餌種群在兩斑塊間的移動存有障礙.其中xi(t)表示第i個斑塊食餌種群在t時刻的密度,ri>0表示斑塊上食餌種群的內(nèi)稟增長率;s>0表示捕食者種群的死亡率;Di>0表示食餌種群從斑塊j向斑塊i的擴散系數(shù),且假設(shè)Di與差分xj(t)-xi(t)成正比,ci>0表示食餌向捕食者的轉(zhuǎn)化系數(shù),且Di≥ci,(i=1,2);τ>0表示捕食者的消化時間或妊娠時間;a>0為常數(shù).

1 基本概念和引理

定義 如果存在δi>0,Mi>0,(i=1,2),使系統(tǒng)(1)滿足初始條件(2)的每一個解(x1(t),x2(t),y(t)),有

則稱系統(tǒng)(1)是持續(xù)生存的.

引理1[2]如果ri>0,Di>0(i=1,2),ξ<1,則系統(tǒng)

(3)

存在唯一的正平衡點是全局漸近穩(wěn)定的.

引理2[1]考慮下面方程

x(t)=ax(t-τ)-bx(t).

(4)

其中a,b,τ>0,則有

引理3如果系統(tǒng)(1)滿足初始條件,則該系統(tǒng)由正初始值出發(fā)的解有界且保持為正.

設(shè)X是一個完備度量空間,假設(shè)X0?X,X0?X且X0∩X0=.T(t)是X上的C0半群,且滿足

T(t):X0→X0T(t):X0→X0.

(5)

記Tb(t)=T(t)|X0,Ab是Tb(t)的全局引子.

引理4[1]假設(shè)T(t)滿足(5),且滿足

(i)存在t0>0,當(dāng)t>t0時,T(t)是緊的.

(ii)T(t)在X中是耗散的.

(iv)Ms(Mi)∩X0=,i=1,2,…,n.

則X0是一致排斥X0,即存在ε>0,使得對任意的x∈X0,有

d是T(t)x到集合X0的距離.

2 平衡點性態(tài)與持續(xù)生存

定理3.1

(A)平衡點E0(0,0,0)不穩(wěn)定.

(B)當(dāng)c1+c2-s>as時,平衡點E1(1,1,0)不穩(wěn)定;而當(dāng)c1+c2-s

證明 (A)平衡點E0(0,0,0)的Jacobian矩陣是:

其特征方程是(λ+s)[λ2-(r1+r2-D1-D2)λ+r1r2-r2D1-r1D2]=0可知λ=-s是一負(fù)根,考慮上式的第二部分:

λ2-(r1+r2-D1-D2)λ+r1r2-r2D1-r1D2=0.

若r1r2-r2D1-r1D2>0,則r1+r2>D1+D2,可知此方程有兩個正實部的根.

若r1r2-r2D1-r1D2<0,則可知此方程有一個正、負(fù)根.

若r1r2-r2D1-r1D2=0,則r1+r2>D1+D2,可知此方程有一個正根和一個零根.

從而由以上分析可知,E0(0,0,0)的特征方程至少有一個正實部的根,于是平衡點E0(0,0,0)不穩(wěn)定.

(B)平衡點E1(1,1,0)的特征方程是

定理3.2c1+c2

定理3.3如果(i)an>1,(ii)c1+c2-s

定理3.4若c1+c2<(1+a)s,則系統(tǒng)(1)是持續(xù)生存的.