數(shù)列模型在數(shù)學(xué)文化試題中的應(yīng)用

周順華

(福建省莆田市莆田第二中學(xué) 351100)

教育部考試中心函件《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》要求增加對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查，其主要目的是注重傳統(tǒng)文化在現(xiàn)實(shí)中的創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化和創(chuàng)新性發(fā)展，從而實(shí)現(xiàn)“立德樹人，服務(wù)選拔，導(dǎo)向教學(xué)”這一高考核心立場(chǎng).數(shù)學(xué)文化的具體意義和考查要求在于：

(1)增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內(nèi)容，積極培育和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用.

(2)能力要求：滲透考查數(shù)學(xué)思想方法，在內(nèi)涵方面增加了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

近年來全國(guó)新課標(biāo)卷和地方卷的數(shù)學(xué)文化試題統(tǒng)計(jì)如下：

1.2017年全國(guó)Ⅰ卷理科第二題、文科第四題(同題)，以中國(guó)古代八卦圖為載體考查了幾何概型，題目難度容易；

2.2017年全國(guó)Ⅱ卷理科第三題，摘自《算法統(tǒng)宗》，考查了等比數(shù)列，題目難度容易；

3.2016年全國(guó)Ⅱ卷理科第八題考查了秦九韶算法，理科第十題以圓周率為載體考查了幾何概型，題目難度均為適中；

4.2015年全國(guó)Ⅰ卷理科第六題、文科第六題(同題)，摘自《九章算術(shù)》，考查了圓錐的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，題目難度適中；

5.2015年全國(guó)Ⅱ卷理科第八題、文科第八題(同題)，摘自《九章算術(shù)》，考查了更相減損術(shù)，題目難度適中；

6.2015年湖北卷的理科第二題、文科第八題(同題)，摘自《九章算術(shù)》，考查了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；理科解答題第19題，摘自《九章算術(shù)》，考查了立體幾何，分值較高，難度適中；

7.2014年湖北卷的理科第八題、文科第十題(同題)，摘自《算數(shù)書》，以圓周率為載體考查圓錐的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，難度適中；

8.2013年上海卷理科填空題第十三題，考查了祖暅原理，本題難度較大.

從上述列舉中可發(fā)現(xiàn)湖北卷已多年對(duì)數(shù)學(xué)文化試題進(jìn)行考查，全國(guó)卷從2015年開始涉及.數(shù)學(xué)文化試題主要以選擇題或填空題的形式考查，難度適中或者容易，主要從《九章算術(shù)》、《數(shù)書九章》等中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著中挖掘素材，常涉及到數(shù)列、立體幾何、算法、概率統(tǒng)計(jì)、推理與證明等相關(guān)章節(jié)的知識(shí)點(diǎn).

而在近幾年的高考卷和各省市質(zhì)檢卷中，出現(xiàn)很多滲透數(shù)學(xué)文化背景的數(shù)列試題，下列對(duì)部分試題進(jìn)行賞析，以期起到拋磚引玉的作用.

一、源于數(shù)學(xué)名著，滲透數(shù)列知識(shí)兼顧考查數(shù)學(xué)建模能力

例1 (2017年全國(guó)課標(biāo)Ⅱ卷理3) 題意：古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》有如下問題：高7層的塔，共有381盞燈，從上往下成兩倍增加，問頂層有多少盞燈.

解析轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題：共7項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為2，和為381，求首項(xiàng)的值.

例2 (2011年湖北卷文9理13)題意：《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：一根竹子共9節(jié)，每節(jié)的容積從上往下成等差數(shù)列，已知上面4節(jié)和下面3節(jié)的容積，求第5節(jié)的容積.

解析轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題：共9項(xiàng)的等差數(shù)列，前四項(xiàng)和為3，后三項(xiàng)和為4，求第五項(xiàng)的值.

規(guī)律總結(jié)我國(guó)古代數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)“經(jīng)世濟(jì)用”，注重算理算法，其中很多問題可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題.解決這類問題的關(guān)鍵是將古代實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題，掌握等差、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.

二、源于數(shù)學(xué)史料，滲透數(shù)學(xué)思想兼顧考查邏輯推理能力

例3 (2009年湖北卷文10理10)題意：1，3，6，10，…，這些數(shù)可以表示三角形，稱之為三角形數(shù)；1，4，9，16，…，這些數(shù)可以表示正方形，稱之為正方形數(shù).則選項(xiàng)中289，1024，1225，1378這四個(gè)數(shù)哪個(gè)既是三角形數(shù)又是正方形數(shù).

三、源于數(shù)學(xué)模型，滲透數(shù)學(xué)方法兼顧考查數(shù)據(jù)分析能力

例4 (2009年福建卷理15)題意：五位同學(xué)循環(huán)報(bào)數(shù)，兩個(gè)規(guī)則：1.第一位和第二位均報(bào)1，第三位開始報(bào)出的數(shù)為前兩位同學(xué)所報(bào)的數(shù)之和；2.如果某位同學(xué)報(bào)出的數(shù)是3的倍數(shù)，則需要拍手一次.問：甲同學(xué)第一個(gè)報(bào)數(shù)，報(bào)到第100個(gè)數(shù)的時(shí)候，甲同學(xué)拍了多少次手.

解析由題意可設(shè)第n次報(bào)數(shù)，第n+1次報(bào)數(shù)，第n+2次報(bào)數(shù)分別為an，an+1，an+2，所以有an+an+1=an+2，又a1=1,a2=1,由此可得在報(bào)到第100個(gè)數(shù)時(shí)，甲同學(xué)拍手5次.

中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，涵蓋了數(shù)學(xué)的方方面面，展示了中國(guó)數(shù)學(xué)史的輝煌.本文主要以數(shù)列為載體講述了數(shù)學(xué)文化試題的考查方向，類似于以其他高中知識(shí)為載體的數(shù)學(xué)文化試題的考查，以“必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值”為考查目標(biāo)，要求學(xué)生掌握分析問題和解決問題的能力.