簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的討論

金 鋒 丁亞明 朱亞敏 黎振遠(yuǎn)

(天津天獅學(xué)院 300011)

振動(dòng)是一種周期性的運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng).復(fù)雜的振動(dòng)可以分解為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的疊加，研究?jī)蓚€(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的疊加有重要意義.兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成主要有同方向同頻率、同方向不同頻率、相互垂直同頻率和相互垂直不同頻率等幾種情況.兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，仍然是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，在頻率差與原有頻率相比非常小時(shí)形成拍；兩個(gè)相互垂直同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，軌跡方程是一個(gè)橢圓，也可以退化為圓或者直線；兩個(gè)相互垂直不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，形成李薩如圖形.本文主要研究?jī)蓚€(gè)相互垂直同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，用三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和反三角函數(shù)的方法的推導(dǎo)合成后運(yùn)動(dòng)方程.

一、同方向同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成

在同方向同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成時(shí)，合運(yùn)動(dòng)是一個(gè)新的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).合運(yùn)動(dòng)的角頻率與原有簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)相同，合運(yùn)動(dòng)的振幅和初相由兩個(gè)原有簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅和初相位決定.

兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，它們的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程分別為：

合運(yùn)動(dòng)可以用旋轉(zhuǎn)矢量的方法求出，如圖1.

它的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程為：

x=Acos(ωt+φ)

振幅：

二、同方向不同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成

有兩個(gè)同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，它們的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程分別為：

根據(jù)三角函數(shù)的和差化積，合運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為：

x=x1+x2

三、相互垂直同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成

有兩個(gè)相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，它們的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程分別為：

消去時(shí)間t，可得合運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為：

1.利用三角函數(shù)的化簡(jiǎn)推導(dǎo)橢圓方程

根據(jù)三角形的和差關(guān)系，整理(1)和(2)

(4)乘以cosφ2，(5)乘以cosφ1后得：

(8)兩邊平方得：

(4)乘以sinφ2，(5)乘以sinφ1后得：

(10)和(11)做差得：

(12)兩邊平方得：

=cos2ωt·sin2(φ2-φ1) (13)

(9)和(13)兩式兩邊分別求和，整理后得：

上式為相互垂直同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的軌跡方程，即：橢圓方程.

2.利用反三角函數(shù)推導(dǎo)橢圓方程

為了計(jì)算方便，建立兩個(gè)直角三角形，如圖2 ，有

根據(jù)(17)和(18)的關(guān)系，(15)與(16)兩邊做差，整理后得：

θ2-θ1=φ2-φ1(19)

對(duì)(19)兩邊取正弦，得：

sin(θ2-θ1)=sin(φ2-φ1) (20)

對(duì)(20)兩邊平方，得：

sin2(θ2-θ1)=sin2(φ2-φ1) (21)

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，整理(21)后得：

sin2θ2·cos2θ1-2sinθ2·cosθ1·cosθ2·sinθ1+cos2θ2·sin2θ1=sin2(φ2-φ1) (22)

把(17)和(18)代入(22)左面，整理后得：

上式與(22)式聯(lián)立，即

四、相互垂直不同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成

兩個(gè)相互垂直不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成，兩個(gè)原有頻率為整數(shù)比時(shí)，形成李薩如圖性；當(dāng)兩個(gè)原有頻率之比為無理數(shù)時(shí)，將發(fā)生同步鎖模現(xiàn)象.

兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成是非常復(fù)雜的過程，合成過程主要包括振動(dòng)方向的平行與垂直；頻率相等與不相等等幾種情況，本文從振動(dòng)方向和頻率的異同出發(fā)，得出合運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，主要介紹了相互垂直同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成軌跡的推導(dǎo)過程，分別用三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和反三角函數(shù)等方法均得出合運(yùn)動(dòng)的軌跡方程，即橢圓方程.