不等式問題中圖象的“妙用”

謝興旭

(福建省石獅市第一中學(xué) 362700)

高中階段，不等式問題是一個(gè)要點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)．尤其在一些分段或含參的不等式問題中常常涉及到相對(duì)復(fù)雜的分類討論，需要學(xué)生有較強(qiáng)的分類整合能力，其求解過程往往相對(duì)抽象，步驟繁雜．同時(shí)，由于過程的復(fù)雜和繁鎖，這類問題還會(huì)耗費(fèi)大量的解題時(shí)間．因此，如果沒有一種比較合理、簡(jiǎn)潔、高效的解題方法，在考試中，這類問題不僅會(huì)占用學(xué)生大量的答題時(shí)間，還會(huì)頻繁的造成學(xué)生失分．特別是在選擇題、填空題中，經(jīng)常讓人感覺得不償失．

圖象具有形象直觀的優(yōu)點(diǎn)．以圖象作為輔助解答代數(shù)問題，可以讓整個(gè)解答過程直觀化、明朗化、簡(jiǎn)潔化．因此，在一些不等式問題中，如果我們能夠合理、充分的發(fā)揮圖象的輔助功能，將起到事半功倍的效果．

解析這是一個(gè)分段函數(shù)與不等式的綜合問題．常見解法為：

另解較容易畫出f(x)的圖象，結(jié)合圖象可得

顯然，結(jié)合函數(shù)的圖象后，整個(gè)解題過程減少了討論的步驟，變得簡(jiǎn)潔高效．同時(shí)，借助于圖象的直觀形象，讓分類標(biāo)準(zhǔn)的制定顯得明了易懂．

解析這仍然是一個(gè)分段函數(shù)與不等式的綜合問題，并且?guī)в袇?shù)．同例1一樣，該問題也可以用分類討論的方法去解決，由于帶有參數(shù)，其解答過程會(huì)更加繁瑣，這里我們就不再展開了．下面我們借助圖象來解決這個(gè)問題．

令y1=f(x),y2=f(x-2)，則y2=f(x-2)的圖象可看作在y1=f(x)圖象的基礎(chǔ)上向右平移2個(gè)單位得到．要使不等式f(x-2)-f(x)>0在函數(shù)f(x)的定義域上恒成立，只需保證y2=f(x-2)的圖象總是位于y1=f(x)圖象的上方．

當(dāng)a≥0時(shí)，由圖可知不符要求；

這種解法充分體現(xiàn)了圖象的優(yōu)點(diǎn)，整個(gè)解答過程一目了然，簡(jiǎn)潔、實(shí)用、省時(shí)．在避開抽象的分類整合以及繁瑣的代數(shù)運(yùn)算的同時(shí)，還大大提升了答題的準(zhǔn)確率．

例3 若關(guān)于x的不等式2-x2>|x-a|至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

解析這是一個(gè)含絕對(duì)值、含參的不等式問題．常規(guī)的解題思路為先去絕對(duì)值，將其轉(zhuǎn)化為含參的一元二次不等式，然后結(jié)合二次函數(shù)的圖象進(jìn)行討論分析，列出符合題目要求所需滿足的條件，最后求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．整個(gè)過程需進(jìn)行多次的分類整合，既抽象又繁雜．該解法在實(shí)際操作中并不可?。?/p>

我們來看看下面的解法：

令y1=2-x2，y2=|x-a|，要使關(guān)于x的不等式2-x2>|x-a|至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解，只需確保當(dāng)x<0時(shí)，y1=2-x2總有部分圖象在y2=|x-a|圖象的上方．下面，在同一坐標(biāo)系下，作出y1=2-x2和y=|x|的圖象，只需將y=|x|的圖象沿x軸進(jìn)行平移即可得到y(tǒng)2=|x-a|圖象．

(1)當(dāng)a=0時(shí)，y2=|x-a|圖象與y=|x|圖象重合，符合要求；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，將y=|x|圖象向右平移|a|個(gè)單位，其臨界位置為y2=|x-a|圖象過點(diǎn)A(2,0)，此時(shí)a=2，所以當(dāng)0

上述解法，雖仍需進(jìn)行分類整合，但是相較與純代數(shù)的解法，結(jié)合圖象后，分類標(biāo)準(zhǔn)的制定、分類討論的步驟、最后結(jié)果的得出從難度上都有大幅度的降低，整個(gè)解答過程具體而又形象．

通過上述三個(gè)實(shí)例，我們可以發(fā)現(xiàn)在圖象介入不等式之后，可以讓不等式擺脫源于代數(shù)的一些抽象思維和繁雜計(jì)算，從而讓不等式問題直觀化、形象化、明朗化、簡(jiǎn)潔化、高效化,從多方面降低了學(xué)生的答題難度，節(jié)約了學(xué)生的答題時(shí)間，提高了學(xué)生的答題準(zhǔn)確率．因此，將不等式問題同圖象進(jìn)行有機(jī)的融合不失為一種有效、巧妙的解題方法．