多項(xiàng)分布內(nèi)生回歸元計(jì)數(shù)模型的兩階段估計(jì)方法研究

趙 娜，洪廣彬

(1．南開(kāi)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，天津 300071;2．塔夫茨大學(xué) 經(jīng)濟(jì)系，馬薩諸塞州 梅德福02155)

一、引 言

在微觀經(jīng)濟(jì)研究中，通常需要考慮計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的內(nèi)生性問(wèn)題。所謂內(nèi)生性，是指模型由于遺漏變量、存在測(cè)量誤差以及回歸元和因變量間具有相互因果關(guān)系等，造成某些回歸元與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)之間相關(guān)，從而導(dǎo)致模型參數(shù)估計(jì)有偏或者不一致［1］，如何解決內(nèi)生性問(wèn)題一直是學(xué)術(shù)界普遍關(guān)心的熱點(diǎn)話題。傳統(tǒng)的工具變量(Instrument Variable，IV)估計(jì)是學(xué)者們最早提出解決內(nèi)生性問(wèn)題的方法，已被廣泛用于處理線性計(jì)量模型的內(nèi)生性問(wèn)題。然而，Martens等提出選擇合理的工具變量是實(shí)際應(yīng)用中面臨的重要難題，這是由于IV估計(jì)在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)受到諸多限制［2］;Nelson等在討論IV估計(jì)量的精確樣本分布特征時(shí)，發(fā)現(xiàn)樣本容量較小會(huì)導(dǎo)致參數(shù)的有偏估計(jì)［3］;Bound等研究指出，工具變量與內(nèi)生回歸元之間的弱相關(guān)性會(huì)引起模型參數(shù)估計(jì)的嚴(yán)重偏倚和非一致性［4］。

為更好地解決內(nèi)生性問(wèn)題，由傳統(tǒng)IV估計(jì)方法衍生形成的兩階段估計(jì)方法逐漸被學(xué)者們廣泛采用。兩階段最小二乘法(Two-Stage Least Squares，2SLS)主要應(yīng)用于經(jīng)典的線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型中，不僅能夠大大簡(jiǎn)化完整信息極大似然估計(jì)的計(jì)算復(fù)雜難題，而且估計(jì)結(jié)果具有良好性質(zhì)［5］。隨著計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展和微觀統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的完善，現(xiàn)代社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域的經(jīng)驗(yàn)性研究越來(lái)越多地開(kāi)始使用非線性計(jì)量模型，如離散選擇模型、計(jì)數(shù)模型和受限因變量模型等，然而相關(guān)研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)生回歸元為服從某一特定分布的離散型變量時(shí)，忽略內(nèi)生回歸元的特殊性質(zhì)而仍然采用2SLS法，就會(huì)導(dǎo)致非一致的參數(shù)估計(jì)量［1，5］。因此，適用于線性模型的2SLS方法不能直接推廣到非線性模型中使用，而兩階段預(yù)測(cè)值替代(Two-Stage Predictor Substitution，2SPS)和兩階段殘差引入(Two-Stage Residuals Inclusion，2SRI)方法則應(yīng)運(yùn)而生，并被 Shin［6］、Fabbri等［7］學(xué)者迅速應(yīng)用于大量的實(shí)證研究中。

在健康經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中，學(xué)者們常常采用計(jì)數(shù)模型探討健康狀況與醫(yī)療需求等問(wèn)題。在這類研究中，大多是從有無(wú)保險(xiǎn)、健康狀況、職業(yè)狀態(tài)等方面進(jìn)行分析，而這些影響因素也往往表現(xiàn)為服從二項(xiàng)分布或多項(xiàng)分布的變量，并且具有內(nèi)生性，例如 Deb［8］、Geraci等［9］探討了醫(yī)療保險(xiǎn)類型與醫(yī)療需求的關(guān)系。近些年來(lái)，國(guó)內(nèi)學(xué)者也開(kāi)始采用計(jì)數(shù)模型分析中國(guó)醫(yī)療保障與醫(yī)療服務(wù)需求的關(guān)系，但較少利用2SPS和2SRI處理內(nèi)生性問(wèn)題［10－11］。盡管 2SPS和 2SRI方法都會(huì)得到不一致的參數(shù)估計(jì)量，但是基于2SRI方法構(gòu)造的內(nèi)生性檢驗(yàn)卻具有良好性質(zhì)［1］。Staub通過(guò)對(duì)比分析豪斯曼檢驗(yàn)和基于2SRI法構(gòu)造的沃爾德檢驗(yàn)的有限樣本表現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)后者計(jì)算簡(jiǎn)潔且檢驗(yàn)結(jié)果更穩(wěn)?。?2］。Geraci等通過(guò)包含離散內(nèi)生解釋變量的計(jì)數(shù)模型，比較了基于2SRI方法構(gòu)造的Wald、LR和LM檢驗(yàn)方法，結(jié)果驗(yàn)證了LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在有限樣本下的有效性［9］。

在現(xiàn)有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，本文延續(xù)前人的研究工作［8－9］，在包含多項(xiàng)分布內(nèi)生回歸元計(jì)數(shù)模型的基礎(chǔ)上，采用蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)，從模型形式的設(shè)定、計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)分布特征和樣本容量等方面，對(duì)三種兩階段估計(jì)方法(2SLS、2SPS、2SRI)進(jìn)行系統(tǒng)的比較分析，并對(duì)Wald、LR、LM三種內(nèi)生性檢驗(yàn)方法的檢驗(yàn)功效和過(guò)度拒絕特征進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。

二、模型和方法

(一)一般非線性模型的參數(shù)化表示與內(nèi)生性

在探討2SPS和2SRI方法的有限樣本特征時(shí)，研究數(shù)據(jù)的生成過(guò)程主要有兩種:傳統(tǒng)方法是在簡(jiǎn)約型方程與行為方程中引入隨機(jī)生成但彼此相關(guān)的誤差項(xiàng)，并將這種相關(guān)性由簡(jiǎn)約型方程傳遞給內(nèi)生變量，從而導(dǎo)致由簡(jiǎn)約型方程生成的變量在行為方程中與其誤差項(xiàng)相關(guān)，最終造成行為方程具有內(nèi)生性［5，12］;另一種方法是將隨機(jī)生成的潛在因子同時(shí)引入簡(jiǎn)約型方程和行為方程中，使行為方程中的誤差項(xiàng)與部分回歸元相關(guān)而造成內(nèi)生性［8－9］。與傳統(tǒng)方法相比，后者的優(yōu)勢(shì)在于能夠用潛在因子來(lái)表示個(gè)體不可觀察異質(zhì)性對(duì)于簡(jiǎn)約型方程與行為方程的影響，會(huì)具有更豐富的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義和現(xiàn)實(shí)意義。因此，設(shè)定帶有內(nèi)生變量的非線性模型為:

其中M(·)是已知某種形式的非線性方程;i為樣本個(gè)體序號(hào);xoi為一個(gè)1×K的可觀測(cè)外生變量向量;xei為一個(gè)1×S的協(xié)變量向量，且與一系列S個(gè)不可觀測(cè)的干擾變量qi相關(guān)，因此為內(nèi)生變量向量，同時(shí)假定不可觀測(cè)干擾變量qi的個(gè)數(shù)與內(nèi)生協(xié)變量xei的個(gè)數(shù)相同［5，9］;β0、βe和 λ 是模型的參數(shù)向量;ε 為模型隨機(jī)誤差項(xiàng)，且E(εi|xoi;xei;qi)=0。模型(1)的條件均值方程為:

由于模型存在內(nèi)生性問(wèn)題的根本原因是協(xié)變量xei與不可觀測(cè)干擾變量qi之間具有相關(guān)關(guān)系，因此為解決內(nèi)生性問(wèn)題，需要引入工具變量來(lái)處理內(nèi)生性所導(dǎo)致的估計(jì)偏差。這里，構(gòu)造S個(gè)包含內(nèi)生協(xié)變量xei與不可觀測(cè)干擾變量qi的簡(jiǎn)約型模型，即:

其中r(·)為已知某種形式的非線性函數(shù);zi=［xoi，wi］，其中wi為一個(gè)1×S+的工具變量向量，如果wi為一個(gè)有效的工具變量向量，應(yīng)該滿足以下條件:wi與內(nèi)生協(xié)變量xei高度相關(guān)、與外生變量xoi和隨機(jī)誤差項(xiàng)εi均不相關(guān)，并且工具變量之間互不相關(guān)，同時(shí)工具變量的個(gè)數(shù)不應(yīng)小于內(nèi)生協(xié)變量的個(gè)數(shù)，即S+≥S;αs是模型的回歸系數(shù);qis為模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)。

在一般非線性模型的基礎(chǔ)上，用服從多項(xiàng)分布的變量di代替模型(1)中的xei，并設(shè)定因變量yi對(duì)外生變量集xoi、多項(xiàng)分布變量集di和不可觀測(cè)干擾變量集qi建立計(jì)數(shù)模型，其條件均值方程為:

由于計(jì)數(shù)變量的取值具有非負(fù)、離散和過(guò)度分散的特點(diǎn)，本文設(shè)定計(jì)數(shù)變量yi服從負(fù)二項(xiàng)分布，則條件概率密度函數(shù)可以表示為:

其中μi為yi的條件均值，即μi=E(yi|xi;di;qi) =exp(xiβ0+diβe+qiλ);φ 為過(guò)度分散系數(shù)，即 φ =1/α(α ＞ 0);yi的條件方差可表示為μi(1+φμi)。本文采用隨機(jī)效應(yīng)模型生成虛擬變量dij，表示個(gè)體i根據(jù)隨機(jī)生成的效用值來(lái)選擇選項(xiàng)j，以滿足其自身預(yù)期效用最大化，而個(gè)體 i選擇選項(xiàng)j的預(yù)期效用為EVij=αj+qij，如果選項(xiàng)j能夠使個(gè)體i的預(yù)期效用達(dá)到最大，那么EVij≥ EVik(k≠ j)必然成立;虛擬變量dij表示個(gè)體i的選擇結(jié)果，如果個(gè)體i選擇了選項(xiàng) j，dij=1，否則dij=0;同時(shí)，將選項(xiàng)0的效用進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，即EVi0=0，并且用多項(xiàng) Logit模型估計(jì)dij的取值概率分布，即設(shè)定dij的簡(jiǎn)約型方程為多項(xiàng)Logit形式:

(二)兩階段估計(jì)方法

在2SLS的估計(jì)過(guò)程中，首先以計(jì)數(shù)模型中的每個(gè)內(nèi)生協(xié)變量dij為因變量、以工具變量zi為自變量，構(gòu)造簡(jiǎn)約型模型dij=αj+qij，并進(jìn)行最小二乘估計(jì);然后利用估計(jì)模型得到預(yù)測(cè)值，并用替代行為方程中的di后，再進(jìn)行最小二乘法估計(jì)。如果忽略不可觀測(cè)干擾變量qi的存在，就相當(dāng)于未考慮內(nèi)生性問(wèn)題，即是把qiλ項(xiàng)并入誤差項(xiàng) ε中，那么估計(jì)的實(shí)際誤差項(xiàng) εOLS應(yīng)為 εOLS=qiλ + ε，而qi與di相關(guān)，會(huì)造成誤差項(xiàng)與內(nèi)生協(xié)變量di相關(guān)，出現(xiàn)內(nèi)生性問(wèn)題，最終會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的估計(jì)偏差;但在2SLS的第二步估計(jì)中，采用代替di，使得被OLS忽視的不可觀測(cè)干擾變量qi被合并到誤差項(xiàng)中，此時(shí)的模型實(shí)際誤差項(xiàng)ε2SLS為而被估計(jì)的模型為，這樣誤差項(xiàng)與di和xi均不相關(guān)，內(nèi)生性問(wèn)題得以解決。因此，當(dāng)簡(jiǎn)約型方程和行為方程均滿足線性條件時(shí)，2SLS可以很好地解決模型的內(nèi)生性問(wèn)題。

2SPS可以看作是2SLS在非線性模型中的拓展，這兩種估計(jì)方法的步驟類似，但是2SPS法允許簡(jiǎn)約型方程與行為方程都可以選擇更加符合現(xiàn)實(shí)的非線性模型，因而模型參數(shù)的估計(jì)方法也變成了非線性最小二乘法或者極大似然估計(jì)法。在第一階段中，采用多項(xiàng)Logit模型估計(jì)簡(jiǎn)約型回歸方程，得到預(yù)測(cè)值為然后，去掉計(jì)數(shù)模型中不可觀測(cè)的干擾變量qi，同時(shí)用第一階段的代替內(nèi)生協(xié)變量di，并利用非線性最小二乘法或其他估計(jì)方法來(lái)估計(jì)行為方程yi=M(xoi如果 M(·) 是非線性函數(shù)形式，那么βe和qiλ都不能從非線性函數(shù)中分離出來(lái)，并會(huì)被合并到誤差項(xiàng)中，所以內(nèi)生協(xié)變量與誤差項(xiàng)間的相關(guān)性并沒(méi)有被完全消除。因此，2SPS方法實(shí)際上不能很好地解決非線性模型中的內(nèi)生性問(wèn)題。

2SRI方法的第一階段估計(jì)過(guò)程與2SPS方法相似，同樣需要用多項(xiàng)Logit模型估計(jì)簡(jiǎn)約型回歸方程，并得到多項(xiàng)選擇的預(yù)測(cè)結(jié)果 ^Pr(dij|zi);然后，計(jì)算估計(jì)模型的殘差值，并將其引入計(jì)數(shù)模型結(jié)構(gòu)型方程中，替換不可觀測(cè)的干擾變量qij，得到:

這里，殘差e2SRI的計(jì)算方式有兩種:第一種是由學(xué)者Cameron等提出的，并命名為原始?xì)埐?raw residuals)［13］:

第二種計(jì)算方式是由Pagan等于1989年提出的標(biāo)準(zhǔn)化殘差(standardized residuals)，即對(duì)第一階段估計(jì)的殘差結(jié)果進(jìn)行單位方差標(biāo)準(zhǔn)化，具體形式為［14］:

那么，模型(7)可以被重新表示為:由于模型(10)中不可觀測(cè)的干擾變量被簡(jiǎn)約型回歸方程所估計(jì)并引入計(jì)數(shù)模型中，因而遺漏變量問(wèn)題得以解決，并且誤差項(xiàng)和均不相關(guān)，所以計(jì)數(shù)模型的內(nèi)生性被消除。然而，已有研究文獻(xiàn)并沒(méi)有對(duì)這兩種殘差形式的性質(zhì)得出一致的理論分析結(jié)論，本文將在后續(xù)蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)中對(duì)二者的有限樣本特征進(jìn)行探討。

(三)內(nèi)生性檢驗(yàn)方法

關(guān)于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的內(nèi)生性檢驗(yàn)，可以采用Wald、LR、LM三種檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，三種檢驗(yàn)方法都是基于極大似然估計(jì)，并在大樣本下都具有漸近一致性，但這三種檢驗(yàn)方法在針對(duì)帶有多項(xiàng)分布內(nèi)生回歸元的計(jì)數(shù)模型時(shí)，其有限樣本特征卻未被詳細(xì)討論。因此，本文將基于這類計(jì)數(shù)模型對(duì)檢驗(yàn)方法的有限樣本性質(zhì)進(jìn)行探討。一般地，原假設(shè)常常表述為模型中不存在內(nèi)生性問(wèn)題，亦即模型中不存在被忽略的不可觀測(cè)干擾變量，因此計(jì)數(shù)模型內(nèi)生性檢驗(yàn)的原假設(shè)為 H0:λi=0(i=1，2，…，S);如果假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果表明原假設(shè)被拒絕，那么就說(shuō)明原模型中存在內(nèi)生性問(wèn)題。

Wald檢驗(yàn)原理:是測(cè)量非約束估計(jì)量與約束估計(jì)量之間的距離，即只需估計(jì)非約束模型，所以適用于估計(jì)約束模型時(shí)比較困難的情形。為了方便討論，這里將若干約束條件以聯(lián)合檢驗(yàn)的形式給出H0:r(β)=q，構(gòu)造Wald統(tǒng)計(jì)量如下所示:

其中r(β)表示由J個(gè)參數(shù)約束條件組成的列向量;R(β)=r(β)/;r表示由0組成的列向量;表示非約束模型的參數(shù)估計(jì)量;^V是^β的方差協(xié)方差矩陣。在約束條件成立的條件下，上述構(gòu)造的Wald統(tǒng)計(jì)量漸近服從χ2(J)分布，其中J表示被檢驗(yàn)的約束條件個(gè)數(shù)。

LR檢驗(yàn)的基本思想:如果原假設(shè)H0對(duì)于模型的約束是有效的，那么施加相應(yīng)的約束不應(yīng)該使模型似然函數(shù)的最大值顯著減少。也就是說(shuō)，LR檢驗(yàn)的實(shí)質(zhì)是比較有無(wú)約束條件下似然函數(shù)的最大值，用二者之間的比值構(gòu)造LR統(tǒng)計(jì)量為:

LM檢驗(yàn)的判定依據(jù):相對(duì)于約束模型估計(jì)的殘差平方和，無(wú)約束模型估計(jì)的殘差平方和是否顯著減少;如果無(wú)約束模型估計(jì)的殘差平方和顯著減少，則表明約束條件無(wú)效，即拒絕原假設(shè) H0。該檢驗(yàn)只需要估計(jì)約束模型，無(wú)須估計(jì)無(wú)約束模型，并且在原假設(shè)成立的條件下，該統(tǒng)計(jì)量也漸近服從χ2(J)分布。設(shè)定I()為信息矩陣，其逆矩陣為的方差協(xié)方差矩陣，則LM統(tǒng)計(jì)量形式為:

三、蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)

(一)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

本文探討包含多項(xiàng)分布內(nèi)生變量計(jì)數(shù)模型的兩階段估計(jì)方法的有限樣本性質(zhì)，所有模擬計(jì)算均由軟件Stata13實(shí)現(xiàn)。所設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)生成過(guò)程(Data Generate Process，DGP)，具體可分為如下幾個(gè)步驟:

第一步，利用多項(xiàng)選擇Logit模型生成個(gè)體i的預(yù)期效用(EVi)，并基于此在三個(gè)選項(xiàng)集(j=0，1，2)中進(jìn)行選擇決策。設(shè)定個(gè)體i選擇選項(xiàng)j的預(yù)期效用按如下形式生成:

其中 obsi～i．i．d．N(0，1);inst1i和 inst2i代表工具變量，inst1i是由服從(0，1)的均勻分布生成的虛擬變量 I［U(0，1) ＜ 0．5］，inst2i～ N(0，1);qi1和 qi2均服從相同的logistic分布，且相互獨(dú)立。

第二步，如果個(gè)體i在選項(xiàng)j上獲得的預(yù)期效用值(EVij)最大，那么個(gè)體 i的選擇結(jié)果所對(duì)應(yīng)的虛擬變量dij取值為 1，否則取值為 0;若EVi1=max(EVi0;EVi1;EVi2)，那么di1=1，否則di1=0。

第三步，計(jì)數(shù)因變量yi服從負(fù)二項(xiàng)分布，可以通過(guò)泊松分布以伽瑪分布為權(quán)重的連續(xù)混合分布抽樣獲得，其混合概率密度函數(shù)為:

其中 Γ(·) 表示伽瑪積分;vi～ Gamma(φ，1/φ)?？紤]到計(jì)數(shù)變量的取值具有非負(fù)、離散和過(guò)度分散的特點(diǎn)，設(shè)定兩個(gè)數(shù)據(jù)生成過(guò)程(DGP1和 DGP2)，其分散系數(shù)φ分別設(shè)定為1和3，φ值越小表示計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)越分散。

第四步，設(shè)定yi的條件均值μi為常用的指數(shù)函數(shù)形式為:

其中k為一常數(shù)，DGP1和DGP2中分別設(shè)定取值為1和 －1。內(nèi)生性是通過(guò)生成并在多項(xiàng)選擇和計(jì)數(shù)模型的生成方程中加入滿足特定概率分布的潛在因子qij來(lái)完成的，設(shè)定 λi1= －0．1、λi2= －0．5;若 λi1=λi2=0，表明潛在因子 qij未進(jìn)入計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)均值方程，即內(nèi)生性問(wèn)題不存在。

為考察不同估計(jì)方法對(duì)模型參數(shù)估計(jì)的實(shí)際影響，采用如下五種估計(jì)方法對(duì)上述計(jì)數(shù)模型進(jìn)行估計(jì):

第一種，真實(shí)模型(True model，即數(shù)據(jù)生成過(guò)程反向)的極大似然估計(jì);第二種，簡(jiǎn)化模型(Nave model，即排除潛在因子影響)的極大似然估計(jì);第三種，2SLS;第四種，2SPS;第五種，2SRI。為了比較這些估計(jì)方法的優(yōu)劣，構(gòu)建了三種衡量指標(biāo):平均偏差、方差、均方誤差，其中平均偏差是用來(lái)觀察估計(jì)方法的準(zhǔn)確性，表示模擬實(shí)驗(yàn)中估計(jì)參數(shù)與真實(shí)參數(shù)之間的誤差平均值;方差為模擬中估計(jì)參數(shù)的方差，用來(lái)觀察估計(jì)方法的穩(wěn)健性;均方誤差為參數(shù)估計(jì)值與參數(shù)真值之差平方的期望值，用來(lái)衡量估計(jì)參數(shù)與真實(shí)參數(shù)間的平均絕對(duì)偏離程度。在每種估計(jì)方法的討論中，還分別將行為方程設(shè)定為負(fù)二項(xiàng)回歸方程和泊松回歸方程，前者是計(jì)數(shù)模型的正確設(shè)定，而后者的設(shè)定則違背了計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)分散的性質(zhì)，但選用泊松分布能夠更好地觀察不同方法在錯(cuò)誤設(shè)定下的具體表現(xiàn)?？疾觳煌烙?jì)和檢驗(yàn)方法受樣本容量的影響，在每個(gè)數(shù)據(jù)生成過(guò)程中均選擇樣本容量分別為 N=300、2 000、5 000，模擬次數(shù)為5 000次。根據(jù)不同的估計(jì)結(jié)果，又進(jìn)一步考察了Wald、LR、LM三種檢驗(yàn)方法在檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛢?nèi)生性問(wèn)題時(shí)的有效性。

表1報(bào)告了虛擬變量dij和計(jì)數(shù)因變量yi的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果。由表1可以看出，在不同的數(shù)據(jù)生成過(guò)程中，dij的邊際概率分布是不變的;從yi的均值和方差來(lái)看，與DGP2相比，由DGP1生成計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)yi的“過(guò)度分散”特征更為明顯;同時(shí)，由DGP2生成的yi還顯示出了“超額零”的情形。

表1 虛擬變量和計(jì)數(shù)因變量的描述性統(tǒng)計(jì)表單位:%

(二)估計(jì)方法的比較分析

1．計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)的概率分布被正確設(shè)定(即行為方程被設(shè)定為負(fù)二項(xiàng)回歸模型)的情形。表2給出了在兩種數(shù)據(jù)生成過(guò)程中內(nèi)生虛擬變量系數(shù)(γ1和 γ2)的估計(jì)結(jié)果，其中 2SRI(R)和 2SRI(S)分別表示在2SRI方法第一階段估計(jì)殘差的兩種形式:原始?xì)埐詈蜆?biāo)準(zhǔn)化殘差，其結(jié)果表明了這五種估計(jì)方法在DGP1和DGP2中的表現(xiàn)基本相似:其一，真實(shí)模型的極大似然估計(jì)表現(xiàn)最好，并且參數(shù)估計(jì)結(jié)果隨樣本容量的增加而更加準(zhǔn)確，這與筆者的預(yù)期相一致;其二，忽略了內(nèi)生性簡(jiǎn)化模型的極大似然估計(jì)結(jié)果卻顯示了較大的估計(jì)偏差，盡管方差和均方誤差相對(duì)較小，但平均偏差很大且符號(hào)為負(fù)，說(shuō)明系數(shù)估計(jì)值均小于其真值，甚至對(duì)γ2會(huì)給出符號(hào)相反的估計(jì)值，而且這種估計(jì)偏差不會(huì)隨樣本容量增大而顯著減小，可見(jiàn)在估計(jì)模型時(shí)忽略內(nèi)生性問(wèn)題會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的估計(jì)偏差，從而得到錯(cuò)誤的估計(jì)結(jié)論;其三，在三種樣本容量條件下2SPS和2SRI方法的平均偏差均小于簡(jiǎn)化模型的極大似然估計(jì)，但與真實(shí)模型相比仍有較大偏差，但平均偏差、方差和均方誤差三個(gè)衡量指標(biāo)會(huì)隨著樣本容量增大而減小，這說(shuō)明兩階段方法估計(jì)在大樣本的情況下表現(xiàn)更優(yōu);其四，采用標(biāo)準(zhǔn)化殘差的2SRI方法，在三種衡量指標(biāo)上都要優(yōu)于使用原始?xì)埐畹?SRI方法和2SPS方法。

為更好地評(píng)價(jià)上述估計(jì)方法，參考Geraci等的做法［9］，本文還構(gòu)造了一種綜合了兩個(gè)系數(shù)估計(jì)誤差的合成指標(biāo)——總體誤差，其定義為每次模擬中兩個(gè)參數(shù)估計(jì)誤差的絕對(duì)值之和。圖1繪制了不同DGP和樣本容量下的總體誤差概率密度圖，并在圖中給出了不同情形下的總體誤差均值?？梢钥吹?，總體誤差均值在2SRI(S)、2SRI(R)、2SPS之間存在如下關(guān)系:2SRI(S)＜2SRI(R)＜2SPS，表明 2SRI(S)在估計(jì)方面更具有優(yōu)勢(shì)，這與表2的結(jié)論一致。同時(shí)，在計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)更為集中(即DGP2)的情況下，兩階段估計(jì)方法的估計(jì)總體偏差相對(duì)更小，估計(jì)結(jié)果也相對(duì)更好。

表2 基于負(fù)二項(xiàng)回歸模型估計(jì)的模擬結(jié)果表

圖1 基于負(fù)二項(xiàng)回歸模型估計(jì)的總體誤差概率密度圖

2．計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)的概率分布被錯(cuò)誤設(shè)定為泊松分布 的情形。表3給出了模型被錯(cuò)誤設(shè)定下各種估計(jì)方法的衡量指標(biāo)，其結(jié)果表明:與正確設(shè)定的情形相比，每種估計(jì)方法在錯(cuò)誤設(shè)定下的估計(jì)偏差都有不同程度的增大，但由DGP2生成的計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)相對(duì)更為集中，所以泊松分布錯(cuò)誤設(shè)定下估計(jì)方法的表現(xiàn)要優(yōu)于DGP1。盡管如此，錯(cuò)誤設(shè)定下的真實(shí)模型的極大似然估計(jì)仍然給出了可靠的估計(jì)結(jié)果，而簡(jiǎn)化模型的估計(jì)結(jié)果還是存在很大的平均偏差。同時(shí)，表3還給出了忽略模型非線性的2SLS的估計(jì)結(jié)果。筆者發(fā)現(xiàn)，由于忽略了模型的非線性，2SLS的參數(shù)估計(jì)結(jié)果具有很大的平均偏差、方差和均方誤差，這說(shuō)明2SLS方法并不適合估計(jì)非線性計(jì)數(shù)模型，而2SPS和2SRI則給出了相對(duì)較小的估計(jì)偏差，其中采用標(biāo)準(zhǔn)化殘差的2SRI方法的優(yōu)勢(shì)更加明顯一些。

圖2 基于泊松回歸模型估計(jì)的總體誤差概率密度圖

表3 基于泊松回歸模型估計(jì)的模擬結(jié)果表

MSE 6．828 5．384 1．365 1．077 0．573 0．494 6．857 7．311 1．069 0．812 0．504 0．417

同樣地，在圖2中繪制了錯(cuò)誤設(shè)定下的2SRI和2SPS估計(jì)的總體誤差的概率密度圖。圖2連同表3和表4都印證了使用標(biāo)準(zhǔn)化殘差的2SRI方法的優(yōu)越性。該方法估計(jì)參數(shù)的參數(shù)方差，均方誤差和總體誤差都要小于其他兩種方法，展示出更好的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性，這說(shuō)明已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的2SRI(S)在正確設(shè)定下的較優(yōu)表現(xiàn)在泊松錯(cuò)誤的設(shè)定時(shí)仍然成立。然而，一個(gè)與正確設(shè)定下不同的結(jié)論是，在錯(cuò)誤設(shè)定下2SPS和2SRI(R)兩種估計(jì)方法的四種衡量指標(biāo)都很相近，說(shuō)明使用原始?xì)埐畹?SRI方法相較于2SPS的優(yōu)勢(shì)在錯(cuò)誤模型設(shè)定下被嚴(yán)重削弱，兩者沒(méi)有明顯的優(yōu)劣差別。綜上可以看出，如果忽略模型的內(nèi)生性問(wèn)題和錯(cuò)誤設(shè)定計(jì)數(shù)變量的概率分布都會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的估計(jì)偏差，但2SRI方法具有相對(duì)更為準(zhǔn)確和穩(wěn)定的優(yōu)勢(shì)，而且采用標(biāo)準(zhǔn)化殘差的2SRI方法要比原始?xì)埐畋憩F(xiàn)得更好。

(三)內(nèi)生性檢驗(yàn)方法的比較分析

通過(guò)上述估計(jì)方法的模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在估計(jì)包含多項(xiàng)分布內(nèi)生變量的計(jì)數(shù)模型時(shí)，2SRI方法具有明顯優(yōu)勢(shì)。下面將基于2SRI方法，利用蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)，從水平扭曲和檢驗(yàn)功效兩個(gè)方面考察計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的三種檢驗(yàn)方法——Wald、LR、LM檢驗(yàn)方法的表現(xiàn)，包括檢驗(yàn)方法的有效性、模型錯(cuò)誤設(shè)定對(duì)檢驗(yàn)效果的影響等。表4～6報(bào)告了在不同樣本容量和數(shù)據(jù)生成過(guò)程中，基于負(fù)二項(xiàng)分布設(shè)定的外生性檢驗(yàn)的拒絕概率，其結(jié)果顯示在負(fù)二項(xiàng)分布的正確設(shè)定下，三種檢驗(yàn)方法的檢驗(yàn)水平與名義顯著性水平均相差不大，表明檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量具有合理的檢驗(yàn)水平性質(zhì)。當(dāng)樣本容量為N=300時(shí)，三種檢驗(yàn)方法的功效都比較小，但隨著樣本容量的增加，三種檢驗(yàn)方法的功效也逐漸趨近于1，這表明在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，研究者應(yīng)盡可能采用較大容量樣本來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膬?nèi)生性問(wèn)題，以保證檢驗(yàn)結(jié)果的可靠性。同時(shí)還發(fā)現(xiàn)，與采用原始?xì)埐畹?SRI方法相比，基于標(biāo)準(zhǔn)化殘差的2SRI方法進(jìn)行的內(nèi)生性檢驗(yàn)方法的功效會(huì)有所提高。

表4 基于負(fù)二項(xiàng)回歸模型的外生性檢驗(yàn)拒絕概率表(N=300)

表5 基于負(fù)二項(xiàng)回歸模型的外生性檢驗(yàn)拒絕概率表(N=2 000)

表6 基于負(fù)二項(xiàng)回歸模型的外生性檢驗(yàn)拒絕概率表(N=5 000)

當(dāng)計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)被錯(cuò)誤設(shè)定為泊松分布時(shí)，同樣模擬了三種檢驗(yàn)方法的外生性檢驗(yàn)拒絕概率(見(jiàn)表7～9)，其結(jié)果顯示:由于忽略了數(shù)據(jù)的過(guò)度散布特征，Wald和LR檢驗(yàn)方法均發(fā)生了嚴(yán)重的水平扭曲現(xiàn)象，遠(yuǎn)大于名義檢驗(yàn)水平值，同時(shí)二者的檢驗(yàn)功效相對(duì)較高，并隨著樣本容量增大而增大，但二者的檢驗(yàn)水平扭曲程度并未明顯減小;LM檢驗(yàn)水平扭曲較小，始終比較接近于名義水平值，但其檢驗(yàn)功效偏差較大，隨著樣本容量的增加，三種方法的檢驗(yàn)功效均接近于1;同時(shí)，DGP2的模擬檢驗(yàn)結(jié)果總體要優(yōu)于DGP1，這主要是因?yàn)橛蒁GP2生成的計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)的過(guò)度散布程度相對(duì)較小，所以三種檢驗(yàn)方法在樣本容量為2 000和5 000時(shí)都顯示出合理的檢驗(yàn)水平與功效。

表7 基于泊松回歸模型的外生性檢驗(yàn)拒絕概率表(N=300)

表8 基于泊松回歸模型的外生性檢驗(yàn)拒絕概率表(N=2 000)

表9 基于泊松回歸模型的外生性檢驗(yàn)拒絕概率表(N=5 000)

在2SRI方法的第一階段中，關(guān)于殘差定義有兩種方法:原始?xì)埐詈蜆?biāo)準(zhǔn)化殘差，為探討不同的殘差定義對(duì)三種檢驗(yàn)方法效果的影響，繪制了基于不同名義水平和兩種殘差定義的檢驗(yàn)功效對(duì)比圖(見(jiàn)圖3)。從圖3中可以看到，在不同的數(shù)據(jù)生成過(guò)程中，三種檢驗(yàn)方法在標(biāo)準(zhǔn)化殘差定義下均顯示了更大的檢驗(yàn)功效，尤其是在名義水平小于0．10時(shí)。圖4展示了在模型被誤設(shè)為泊松分布時(shí)的情形，結(jié)果與圖3相似，無(wú)論模型是否被正確設(shè)定，標(biāo)準(zhǔn)化殘差處理都會(huì)使內(nèi)生性檢驗(yàn)的結(jié)果相對(duì)更有效。

進(jìn)一步，基于前文2SRI方法的模擬情況，把第一階段生成的誤差項(xiàng)(即不可觀測(cè)的潛在因子qi1和qi2)和兩種定義下得到的殘差進(jìn)行對(duì)比分析，以探究采用標(biāo)準(zhǔn)化殘差的2SRI方法表現(xiàn)穩(wěn)健的原因。圖5分別繪制了生成的潛在因子對(duì)原始?xì)埐詈蜆?biāo)準(zhǔn)化殘差進(jìn)行回歸估計(jì)的擬合圖以及三者的概率分布圖，其結(jié)果表明與原始?xì)埐钕啾?，?biāo)準(zhǔn)化的殘差更好地?cái)M合了潛在因子的可能取值范圍，而且從三者的概率密度曲線上來(lái)看，對(duì)第一階段估計(jì)的殘差結(jié)果進(jìn)行單位方差標(biāo)準(zhǔn)化增大了殘差的方差，從而能夠更好地近似潛在因子誤差項(xiàng)，并據(jù)此得到更有效的內(nèi)生性檢驗(yàn)結(jié)果。

圖3 基于兩種不同殘差定義和負(fù)二項(xiàng)分布設(shè)定的檢驗(yàn)方法功效表現(xiàn)圖(N=5 000)

圖4 基于兩種不同殘差定義和泊松分布設(shè)定的檢驗(yàn)方法功效表現(xiàn)圖(N=5 000)

圖5 潛在因子和估計(jì)殘差的擬合圖與概率分布圖

四、結(jié) 論

本文通過(guò)蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)，在數(shù)據(jù)分布特征、模型設(shè)定和樣本容量等不同情形下，研究包含多項(xiàng)分布內(nèi)生回歸元計(jì)數(shù)模型的兩階段估計(jì)方法(2SLS、2SPS、2SRI)的表現(xiàn)，并從水平扭曲和功效兩個(gè)方面評(píng)價(jià) Wald、LR、LM三種內(nèi)生性檢驗(yàn)方法的有效性。蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)生成過(guò)程，主要包括離散選擇模型、內(nèi)生性問(wèn)題的處理以及計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)的隨機(jī)抽樣，大量模擬結(jié)果顯示:在忽略模型非線性形式、內(nèi)生性或者錯(cuò)誤設(shè)定計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)分布特征時(shí)，2SLS和2SPS會(huì)導(dǎo)致較為嚴(yán)重的估計(jì)偏差，但2SRI估計(jì)量則具有良好的有限樣本表現(xiàn)，而且采用標(biāo)準(zhǔn)化殘差定義的方法可以使2SRI方法的估計(jì)結(jié)果更加準(zhǔn)確穩(wěn)定;蒙特卡洛模擬結(jié)果進(jìn)一步表明，基于2SRI估計(jì)方法的三種內(nèi)生性檢驗(yàn)方法，在計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)分布設(shè)定正確時(shí)都具有合理的實(shí)際檢驗(yàn)水平和功效，但在忽略計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)過(guò)度分散特征時(shí)，Wald和LR檢驗(yàn)會(huì)發(fā)生嚴(yán)重的水平扭曲，而LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量會(huì)更有效;同時(shí)，在內(nèi)生性檢驗(yàn)的模擬實(shí)驗(yàn)中，本文還發(fā)現(xiàn)基于標(biāo)準(zhǔn)化殘差的2SRI估計(jì)可以使三種檢驗(yàn)方法都獲得更大的檢驗(yàn)功效，即減小了第二類錯(cuò)誤的發(fā)生概率，并通過(guò)對(duì)生成潛在因子與兩種定義殘差進(jìn)行比較分析，發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化定義的殘差方差要大于原始?xì)埐?，能夠使其更好地近似生成離散選擇模型中的潛在因子。因此，基于標(biāo)準(zhǔn)化殘差定義的相關(guān)估計(jì)和檢驗(yàn)方法在有限樣本下更加有效。