基于解析法的Ti/Al3Ti層狀復(fù)合材料斷裂力學(xué)分析

原梅妮，李 瑤，魏成富，欒道成

(1.中北大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院， 山西 太原 030051； 2.西華大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院， 四川 成都 610039)

近年來(lái)發(fā)展的以Al3Ti為基體、高強(qiáng)度鈦合金為增強(qiáng)體的Ti/Al3Ti層狀復(fù)合材料，除了具有高強(qiáng)度、高模量、低密度的優(yōu)異性能外，還具有強(qiáng)大的抗沖擊能力。許多國(guó)家已經(jīng)考慮將這種復(fù)合材料應(yīng)用于航空航天、艦船、現(xiàn)代化武器裝備等高技術(shù)領(lǐng)域[1-2]。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者利用實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬的方法對(duì)Ti/Al3Ti層狀復(fù)合材料的斷裂行為與力學(xué)性能進(jìn)行了廣泛研究。Price等[3]利用四點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)研究了韌性金屬的體積分?jǐn)?shù)對(duì)Ti /Al3Ti層狀復(fù)合材料力學(xué)性能的影響，分析了在垂直與水平方向加載時(shí)復(fù)合材料的性能差異。Zhou等[4]利用實(shí)驗(yàn)分析了Ti/Al3Ti層狀復(fù)合材料在準(zhǔn)靜態(tài)和高應(yīng)變速率情況下的界面性能和斷裂機(jī)制，研究了應(yīng)變率對(duì)界面性能的影響。王澤明等[5]利用ENF和MMF測(cè)試方法分析了Ti/Al3Ti層狀復(fù)合材料的層間裂紋斷裂行為，通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)Ⅱ型及Ⅰ+Ⅱ型裂紋的能量釋放率進(jìn)行了比較。馬李[6]建立了三點(diǎn)彎曲試樣的有限元模型以模擬Ti/Al3Ti疊層材料的裂紋擴(kuò)展形式，分析了復(fù)合材料層數(shù)、組元體積分?jǐn)?shù)對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響。

本文基于梁的純彎曲理論以及裂紋擴(kuò)展的能量原理，利用四點(diǎn)彎曲試樣的力學(xué)模型對(duì)Ti/Al3Ti層狀復(fù)合材料的斷裂行為進(jìn)行了理論分析，通過(guò)裂紋偏折與擴(kuò)展條件推導(dǎo)出裂紋能量釋放率間的關(guān)系式，并分析了材料層數(shù)、層厚比對(duì)材料性能的影響。

1 Ti /Al3Ti 層狀復(fù)合材料的斷裂力學(xué)分析

1.1 力學(xué)模型及應(yīng)力分析

圖1為T(mén)i/Al3Ti層狀復(fù)合材料四點(diǎn)彎曲試樣的力學(xué)模型。試樣由金屬間化合物Al3Ti層與韌性金屬Ti層組成，Al3Ti層數(shù)m=2n-1(n為正整數(shù))，總層數(shù)為2m-1。Ti層的厚度、彈性模量分別為h1、E1；Al3Ti層的厚度、彈性模量分別為h2、E2；滿足關(guān)系h=h1+h2。假設(shè)梁為有限長(zhǎng)梁，跨度為2L，總厚度為H，寬度為B，并做出材料力學(xué)假設(shè)：1)H/(2L)≤0.2，細(xì)長(zhǎng)梁；2)w(x)/ρ(x)≤1，小撓度梁。

圖1 Ti/Al3Ti層狀復(fù)合材料四點(diǎn)彎曲力學(xué)模型

材料力學(xué)中，梁純彎曲部分受到的彎矩相等，且只有橫向應(yīng)力，該部分應(yīng)力表示為

(1)

在圖1所示的坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)力進(jìn)行面積積分，得到彎矩表達(dá)式為

(2)

(3)

用等效抗彎剛度Σ表示EI，得到Σ的表達(dá)式為

(4)

化簡(jiǎn)可得

(5)

矩形梁的最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在離中性軸最大位移處，即H/2處，所以最大彎曲正應(yīng)力表達(dá)式為

(6)

1.2 斷裂分析模型

由于韌性金屬Ti層的作用，Ti /Al3Ti層狀復(fù)合材料發(fā)生斷裂時(shí)形成Ⅰ型和Ⅱ型裂紋，擴(kuò)展形式為垂直擴(kuò)展和界面擴(kuò)展。在裂紋的傳遞過(guò)程中，其擴(kuò)展驅(qū)動(dòng)力可用能量釋放率G來(lái)表示，當(dāng)能量釋放率高于臨界值時(shí)，裂紋發(fā)生擴(kuò)展。

圖2所示為T(mén)i/Al3Ti層狀復(fù)合材料四點(diǎn)彎曲試樣裂紋擴(kuò)展模型。在該模型仍符合梁的純彎曲假設(shè)的基礎(chǔ)上對(duì)其做出進(jìn)一步假設(shè)。

圖2 Ti/Al3Ti層狀復(fù)合材料四點(diǎn)彎曲試樣裂紋擴(kuò)展模型

1)斷裂過(guò)程。實(shí)驗(yàn)的加載方式為位移加載。當(dāng)加載點(diǎn)C位移達(dá)到臨界值時(shí),梁上緣跨中由于受到的橫向應(yīng)力最大，最先達(dá)到梁的強(qiáng)度極限而發(fā)生斷裂，出現(xiàn)垂直方向(圖2模型中的y方向)裂紋。垂直裂紋擴(kuò)展至臨界長(zhǎng)度后，停止繼續(xù)沿垂直方向擴(kuò)展，在界面處改變方向，開(kāi)始沿界面在水平方向擴(kuò)展(假設(shè)同時(shí)向兩邊對(duì)稱擴(kuò)展),水平裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度達(dá)到臨界長(zhǎng)度后停止擴(kuò)展。此過(guò)程中加載點(diǎn)位移保持不變，所有裂紋擴(kuò)展所需能量完全由試樣的應(yīng)變能提供。隨著外部載荷的繼續(xù)加載，裂紋發(fā)生進(jìn)一步擴(kuò)展，最終使Ti /Al3Ti復(fù)合材料試樣完全失效。

2)界面擴(kuò)展。一次加載后，梁上只有最深一層界面裂紋發(fā)生擴(kuò)展，之前已經(jīng)擴(kuò)展的界面裂紋長(zhǎng)度保持不變，該部分脫離梁整體失去抗彎能力，不再參與裂紋擴(kuò)展。

3) 應(yīng)變能釋放率?？紤]到弱界面層影響，垂直裂紋擴(kuò)展臨界應(yīng)變能釋放率按混合率估算，即Γv=Γ1h1/h+Γ2h2/h。四點(diǎn)彎曲試樣在相位角ψ=40～60°時(shí),界面裂紋擴(kuò)展臨界應(yīng)變能釋放率近似認(rèn)為不隨裂紋長(zhǎng)度變化而變化[7-9]。

1.3 垂直裂紋擴(kuò)展能量釋放率Gv

在Ti /Al3Ti層狀復(fù)合材料中，鈦合金Ti-6Al-4V的彈性模量E1為116 GPa，Al3Ti的彈性模量E2為216 GPa[10]。韌性金屬增韌機(jī)制為：通過(guò)層板間的相互作用產(chǎn)生橋接韌帶，為裂紋尖端的閉合提供牽引力，以及通過(guò)發(fā)生塑性變形來(lái)提升復(fù)合材料的抗裂性能。考慮到Ti層對(duì)垂直裂紋擴(kuò)展的影響，參考垂直裂紋擴(kuò)展臨界應(yīng)變能釋放率Γv的估算方法，在求解垂直裂紋能量釋放率Gv時(shí)同樣按照混合率計(jì)算，Gv的計(jì)算公式為

(7)

純彎曲試樣的應(yīng)力強(qiáng)度因子[11]的計(jì)算公式為

(8)

式中：t為垂直裂紋的擴(kuò)展長(zhǎng)度；M為四點(diǎn)彎曲試樣純彎曲部分的彎矩。

每次斷裂過(guò)程并不是獨(dú)立存在，而是和相鄰的斷裂過(guò)程存在一定關(guān)系。Hn、Hn-1分別為第n次、第n-1次裂紋擴(kuò)展前的材料的厚度，tn、tn-1分別為第n次、第n-1次垂直裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度，mn為第n次裂紋擴(kuò)展后Al3Ti層的剩余層數(shù)。根據(jù)定義，Hn和mn的表達(dá)式為:

Hn=Hn-1-tn-1；

(9)

mn=(Hn-tn)/h。

(10)

(11)

把M=pl、式(8)代入式(7)，得到垂直裂紋擴(kuò)展能量釋放率的計(jì)算公式為

(12)

1.4 界面裂紋擴(kuò)展能量釋放率Gi

在線彈性情況下，加載點(diǎn)位移y與外載荷P成正比，即

y=CaP。

(13)

構(gòu)件的柔度C是裂紋長(zhǎng)度a的函數(shù)，能量釋放率的計(jì)算公式為

(14)

文獻(xiàn)[7]利用積分法推導(dǎo)出梁的純彎曲部分與非純彎曲部分的撓曲線方程，由式(13)、(14)可得到Gi的表達(dá)式，結(jié)果表明Gi與最深一層界面裂紋臨界長(zhǎng)度an到達(dá)的區(qū)域有關(guān)。具體表示為：

1)an>L(即an到達(dá)AB區(qū))

(15)

2)an≤L(即an到達(dá)OA區(qū))

(16)

1.5 裂紋偏折與擴(kuò)展

由垂直裂紋和界面裂紋擴(kuò)展能量釋放率，可進(jìn)一步分析垂直裂紋的拐折現(xiàn)象。隨著裂紋擴(kuò)展，垂直裂紋能量釋放率Gv逐漸減小，垂直裂紋擴(kuò)展到界面時(shí)不具備穿透界面條件，轉(zhuǎn)向沿界面擴(kuò)展，此時(shí)滿足條件[12]

(17)

如圖2所示，假設(shè)界面裂紋臨界長(zhǎng)度an擴(kuò)展到OA區(qū)，將式(12)、(16)代入(17)可得：

(18)

由式(11)、(18)以及假設(shè)3)的公式，可求解αn，進(jìn)一步可得垂直裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度tn與Al3Ti層剩余層數(shù)mn。

垂直裂紋拐向界面后，由復(fù)合材料應(yīng)變能所提供的能量仍會(huì)使裂紋沿界面擴(kuò)展。將p=-yn/Cn代入式(16)，可得到Gi的表達(dá)式

(19)

式中：柔度Cn與an有關(guān)；yn為垂直裂紋起裂時(shí)的加載點(diǎn)位移。

隨著界面裂紋擴(kuò)展，Gi不斷減小。當(dāng)滿足條件

Gi≤Γi，

(20)

裂紋擴(kuò)展停止。由式(19)、(20)可求出界面裂紋臨界長(zhǎng)度an。

對(duì)于所求的an，如果an≤L,則an正確；若an>L，則須用式(15)重新求解an。

隨著外部載荷繼續(xù)增加，當(dāng)Gi>Γi時(shí)，界面裂紋繼續(xù)擴(kuò)展，當(dāng)梁上應(yīng)力滿足σxmax≥σb(σb為Al3Ti極限強(qiáng)度)，垂直裂紋再次起裂，新裂紋擴(kuò)展隨之開(kāi)始。

1.6 裂紋起裂

隨著外載荷的增大，Ti /Al3Ti層狀復(fù)合材料試樣上緣跨中的應(yīng)力逐漸增大，當(dāng)σxmax≥σb時(shí)，垂直裂紋開(kāi)始擴(kuò)展。此時(shí)σxmax表達(dá)式為

(21)

所以裂紋起裂的臨界載荷為

(22)

加載點(diǎn)L+l處的位移為

yn=pn·Cn,l+L。

(23)

多次加載直到Ti /Al3Ti層狀復(fù)合材料試樣完全斷裂。利用計(jì)算的pn、yn繪制成載荷-位移曲線。曲線與坐標(biāo)軸之間的面積值表示整個(gè)斷裂過(guò)程所消耗的斷裂功。

2 算例分析

2.1 四點(diǎn)彎曲試樣算例

用制備好的Ti /Al3Ti層狀復(fù)合材料四點(diǎn)彎曲試樣進(jìn)行驗(yàn)算，可得如下數(shù)據(jù)：E1=116 GPa，h1=0.23 mm，E2=216 MPa，h2=0.94 mm，m=9，H=10.6 mm，B=4 mm，L=50 mm，l=10 mm，σb=220 MPa，Γ1=164 J/m2，Γ2=19 J/m2，Γi=17 J/m2。

按照復(fù)合材料斷裂過(guò)程編寫(xiě)程序，設(shè)置終止條件，代入上述數(shù)據(jù)可得圖3所示的Ti /Al3Ti層狀復(fù)合材料四點(diǎn)彎曲試樣的載荷-位移曲線。

圖3 Ti /Al3Ti層狀復(fù)合材料四點(diǎn)彎曲試樣載荷-位移曲線

Vecchio等[13]利用三點(diǎn)彎曲和四點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)對(duì)同一個(gè)陶瓷纖維增強(qiáng)Ti/Al3Ti層板復(fù)合材料試樣斷裂韌性進(jìn)行了研究，得到不同的載荷-COD曲線，根據(jù)ASTM E399標(biāo)準(zhǔn)[14]利用曲線得到的起裂斷裂韌性相等，證明四點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)可以研究非脆性材料的斷裂行為，得到的載荷-COD曲線可以反映復(fù)合材料斷裂過(guò)程。

算例計(jì)算出臨界起裂載荷為1 451 N，利用式(24)得到算例中Ti /Al3Ti層狀復(fù)合材料四點(diǎn)彎曲試樣臨界斷裂韌性。

(24)

Ti體積分?jǐn)?shù)為14%～20%時(shí)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到Ti/Al3Ti起裂斷裂韌性為15～23 MPa·m1/2[15]。算例中Ti /Al3Ti層狀復(fù)合材料四點(diǎn)彎曲試樣Ti的體積分?jǐn)?shù)為17.8%，起裂斷裂韌性KO為15.443 MPa·m1/2，計(jì)算與實(shí)驗(yàn)得到的起裂斷裂韌性數(shù)值接近，說(shuō)明本文分析方法可以研究Ti /Al3Ti 層狀復(fù)合材料斷裂過(guò)程，算例的載荷-位移曲線可以反映Ti /Al3Ti層狀復(fù)合材料四點(diǎn)彎曲試樣斷裂過(guò)程。

對(duì)于偏差，分析如下。

1)Ti /Al3Ti 層狀復(fù)合材料制備方法是交替疊放Al板與Ti板，通過(guò)熱壓工藝燒結(jié)合成，該過(guò)程中Al板與Ti板發(fā)生化學(xué)反應(yīng)生成Al3Ti[1]。這種制備工藝導(dǎo)致材料存在殘余應(yīng)力、孔洞、表面氧化等缺陷，材料性能不能達(dá)到預(yù)期設(shè)計(jì)要求。

2)與裂紋實(shí)際擴(kuò)展過(guò)程相比，裂紋偏折與界面擴(kuò)展的耗能機(jī)制約占所有耗能機(jī)制的71%[7]。橋接、脫粘和分層裂紋等現(xiàn)象[16]產(chǎn)生的應(yīng)變能為裂紋的擴(kuò)展提供了能量。

2.2 材料幾何參數(shù)對(duì)斷裂功的影響

層狀復(fù)合材料設(shè)計(jì)目的是在保強(qiáng)增韌前提下，使裂紋擴(kuò)展轉(zhuǎn)向界面，盡可能沿界面擴(kuò)展較遠(yuǎn)距離，消耗更多能量。為研究材料的增韌機(jī)制，改變材料幾何參數(shù)計(jì)算pn、yn得到斷裂功，與相同尺寸的Al3Ti塊體試樣做對(duì)比，分析Ti /Al3Ti層狀復(fù)合材料斷裂功與Al3Ti斷裂功比值變化。

材料增韌機(jī)制分為內(nèi)部增韌和外部增韌[17-19]。內(nèi)部增韌是材料微觀結(jié)構(gòu)抵抗裂紋擴(kuò)展的固有屬性，任何能引起位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)或塑性區(qū)域規(guī)模的行為都屬于內(nèi)部增韌機(jī)制。外部增韌是通過(guò)層板間的物理聯(lián)系達(dá)到增韌效果，常見(jiàn)的外部增韌包括裂紋偏折、裂紋尖端鈍化、裂紋橋接、應(yīng)力重新分配等。材料整體增韌效果由內(nèi)部增韌與外部增韌共同決定。

1)層數(shù)對(duì)材料性能影響。

Al3Ti的層數(shù)小于9時(shí)，由于材料厚度影響，內(nèi)外增韌機(jī)制未有效發(fā)揮作用。隨著層數(shù)增加，內(nèi)部增韌和外部增韌對(duì)材料的影響逐漸增大，圖4中曲線迅速上升，同時(shí)材料在加工過(guò)程中形成的微觀裂紋和孔洞等缺陷增多，受到外載荷作用時(shí)，這些缺陷成為應(yīng)力集中點(diǎn)，在Al3Ti層中會(huì)加快微觀裂紋擴(kuò)展，在Ti層中會(huì)使晶體發(fā)生位錯(cuò)，產(chǎn)生塑性變形。宏觀裂紋首先在Al3Ti層產(chǎn)生[26]，隨著裂紋擴(kuò)展，裂紋尖端附近應(yīng)力迅速增大，附近Al3Ti層的微觀裂紋生長(zhǎng)導(dǎo)致脆性斷裂，而Ti層發(fā)生屈服生成小型塑性區(qū)，使裂紋發(fā)生尖端鈍化延緩裂紋擴(kuò)展。當(dāng)裂紋擴(kuò)展到界面時(shí)，在Ti層進(jìn)一步擴(kuò)展有2種方式：1)沿Ti層切應(yīng)力最大方向發(fā)生偏折，引導(dǎo)裂紋離開(kāi)最大應(yīng)力面，降低局部應(yīng)力強(qiáng)度；2)將應(yīng)力傳遞到遠(yuǎn)離裂紋一側(cè)，使裂紋重新成核，消耗大量能量，增加材料韌性。無(wú)論以哪種方式裂紋都會(huì)繼續(xù)擴(kuò)展，裂紋尖端之后的區(qū)域發(fā)生應(yīng)力重新分布，未斷裂的Ti層在經(jīng)歷強(qiáng)化、頸縮階段后最終發(fā)生斷裂。另一方面，層數(shù)增多后，界面裂紋增多。界面通過(guò)橋接限制基體裂紋擴(kuò)展，但同時(shí)受到高剪切應(yīng)力作用而發(fā)生剝離，導(dǎo)致層板間脫層，造成災(zāi)難性破壞[23]。綜上所述，隨著層數(shù)增加，外部增韌機(jī)制對(duì)增韌效果的影響逐漸增大，在層數(shù)為9時(shí)，內(nèi)部增韌與外部增韌的綜合作用使材料性能達(dá)到最佳。再增加層數(shù)，界面破壞增多，結(jié)構(gòu)整體的性能有所下降，但內(nèi)部增韌仍然為主要斷裂機(jī)制，在圖4上表現(xiàn)為曲線緩慢下降。

圖4 不同層數(shù)對(duì)斷裂功的影響

2)層厚比對(duì)材料性能影響。

層厚比(Al3Ti/Ti)可以用組元體積分?jǐn)?shù)來(lái)表示。由于Al3Ti發(fā)生脆性斷裂，裂紋最先在Al3Ti中產(chǎn)生，然后再擴(kuò)展到金屬層。由于Al3Ti的極限強(qiáng)度比Ti高，與裂紋偏折、橋接等現(xiàn)象相比，Al3Ti層的微觀缺陷發(fā)展成宏觀裂紋需要消耗更多能量，Al3Ti體積分?jǐn)?shù)增加使結(jié)構(gòu)消耗更多能量，這一變化在圖5上表現(xiàn)為層厚比0—5時(shí)曲線上升，且斜率較大。金屬層在內(nèi)部增韌中起決定性作用，在外部增韌中也扮演著重要角色。金屬Ti體積分?jǐn)?shù)減少，內(nèi)部增韌這一固有屬性的增韌效果直線下降，材料發(fā)生塑性變形消耗能量減少，外在增韌的裂紋尖端鈍化、橋接等現(xiàn)象對(duì)裂紋擴(kuò)展的抵抗力有所下降，再減少Ti體積分?jǐn)?shù)，材料會(huì)出現(xiàn)明顯的脆性斷裂。但是金屬Ti的厚度保持不變，增大Al3Ti體積分?jǐn)?shù)意味著材料厚度也增加，復(fù)合材料裂紋擴(kuò)展路徑變長(zhǎng)。對(duì)復(fù)合材料整體來(lái)說(shuō)，層板韌性下降所減少的斷裂功由裂紋擴(kuò)展路徑變長(zhǎng)所增加的斷裂功來(lái)補(bǔ)償，再增大層厚比對(duì)材料整體斷裂功影響不大。如圖5所示層厚比為5之后的曲線幾乎不再發(fā)生變化。

圖5 不同層厚比對(duì)斷裂功的影響

3 結(jié)論

本文利用梁的純彎曲理論和裂紋擴(kuò)展的能量原理對(duì)Ti /Al3Ti層狀復(fù)合材料四點(diǎn)彎曲試樣進(jìn)行了斷裂力學(xué)分析，得到如下結(jié)論。

1)基于四點(diǎn)彎曲模型建立的解析方法能較好反映Ti /Al3Ti層狀復(fù)合材料的主要斷裂行為。

2)通過(guò)編程，可以觀測(cè)Ti /Al3Ti層狀復(fù)合材料的裂紋擴(kuò)展和外部加載，得到載荷-位移曲線，計(jì)算出斷裂功。

3)由材料幾何參數(shù)對(duì)斷裂功的影響曲線可知，Ti /Al3Ti層狀復(fù)合材料中Al3Ti層層數(shù)為9、層厚比為5時(shí)抗沖擊性能達(dá)到最優(yōu)。

本文以Ti /Al3Ti層狀復(fù)合材料為基礎(chǔ)進(jìn)行分析，分析結(jié)果對(duì)于具有相同結(jié)構(gòu)、相似組元的其他金屬間化合物基層狀復(fù)合材料也具有參考價(jià)值。

校友作者介紹

原梅妮(1974—)，女，山西運(yùn)城人，西華大學(xué)材料加工工程專業(yè)2002級(jí)碩士研究生。2008年在西北工業(yè)大學(xué)獲得博士學(xué)位。山西省項(xiàng)目評(píng)審專家、教育部學(xué)位論文評(píng)審專家、中國(guó)航空宇航協(xié)會(huì)會(huì)員。

主持完成國(guó)家自然科學(xué)基金、教育部博士點(diǎn)基金、大飛機(jī)關(guān)鍵構(gòu)件重大專項(xiàng)子項(xiàng)目、中央軍委裝備部等國(guó)家、省部級(jí)科研項(xiàng)目20余項(xiàng)。以第一作者發(fā)表論文100余篇，SCI收錄15余篇，EI收錄20余篇。申請(qǐng)發(fā)明專利8項(xiàng)，授權(quán)發(fā)明專利5項(xiàng)。擔(dān)任Materials and Design、稀有金屬材料與工程等多種國(guó)內(nèi)外期刊審稿人。