基于分形幾何理論的微氣體軸承承載特性研究*

李恒娟 王俊青 石鳳琴

(北京城市學(xué)院機(jī)械工程系， 北京101300)

隨著微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)技術(shù)的高速發(fā)展，微流體裝置也得到廣泛應(yīng)用，其中微氣體軸承由于具有摩擦損耗小、精度高、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于精密機(jī)床、醫(yī)療器械、電子精密儀器等旋轉(zhuǎn)機(jī)械領(lǐng)域[1-2]。然而，微尺度條件下氣體的流動特性與其他宏觀層面的普通流體截然不同[3]。因此，基于超薄氣膜潤滑技術(shù)對微氣體軸承流動特性研究將顯得尤為重要。

目前對于超薄氣膜潤滑理論的研究主要基于氣體稀薄效應(yīng)的影響，從而通過速度滑移模型對Reynolds方程進(jìn)行修正，但很少涉及表面粗糙度對微氣體軸承潤滑特性的影響[4]。由于微氣體軸承間隙處于微米量級，表面粗糙度的影響效應(yīng)將不可忽略。因此，綜合考慮表面粗糙度與氣體稀薄的耦合效應(yīng)對微氣體軸承性能進(jìn)行研究，將具有重要的理論意義。

本文通過綜合考慮分形粗糙表面與稀薄氣體的耦合效應(yīng)，推導(dǎo)出引入速度滑移邊界的超薄氣膜潤滑Reynolds方程，并使用有限差分法對其進(jìn)行離散求解，從而對比研究光滑表面與粗糙表面兩種情況下，不同參數(shù)對氣膜壓力分布、承載能力的影響規(guī)律。

1 分形粗糙表面的表征

Mandelbrot首先引入分形幾何的概念，其可以用來表征微尺度器件以及工程應(yīng)用中的隨機(jī)和多尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并且可以用分形維度來描述物體的隨機(jī)性與不規(guī)則性[5]。

Majumdar和Bhushan發(fā)現(xiàn)實際的工程粗糙表面可以由分形幾何表征，為了闡釋分形粗糙表面的連續(xù)性、不可微性以及自仿射性，其表面輪廓用Weierstrass-Mandelbrot(W-M)函數(shù)可表示為[6]：

(1)

式中：G為表面縮放常數(shù)；Df為表面輪廓的分形維數(shù)(1﹤Df﹤2)；γ為譜密度和自仿射特性的比例參數(shù)，一般取γ=1.5；n1為低截止頻率，其值取決于表面輪廓樣本長度Ls，且γn1=1/Ls。

隨著Df幅度的減小或者G的幅度增加，將會產(chǎn)生更加粗糙且無序的表面形貌。由于W-M函數(shù)可由無限個頻率模型疊加而成，因此，隨著W-M函數(shù)空間頻率ω的變化，可以用平均功率譜密度函數(shù)S(ω)表示為：

(2)

功率譜密度函數(shù)可以用原子顯微鏡試驗獲得，考慮到粗糙高度與分形維數(shù)Df、比例常數(shù)G的關(guān)聯(lián)性，則均方根粗糙高度σ的表達(dá)式為：

(3)

式中：ωl為低頻極限，其值取決于表面輪廓樣本長度Ls,ωl=1/Ls；ωh為高頻極限,其值ωh=1/Lr，Lr為掃描儀器分辨率。

根據(jù)式(1)對分形粗糙面進(jìn)行模擬，設(shè)置X、Z方向的采樣點個數(shù)為200，如圖1所示，對于工程粗糙面樣本，可以通過結(jié)構(gòu)函數(shù)來確定分形維數(shù)Df，并通過引入輪廓儀掃描的均方根粗糙高度值來確定比例常數(shù)G，從而根據(jù)Df和G來表征W-M函數(shù)。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 物理模型

本文主要以微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)中的微氣體軸承為研究對象，如圖2所示。

2.2 邊界條件

基于超薄氣膜潤滑理論，假設(shè)平板沿x方向的相對速度為Uplate，并且沿z方向的速度為零，同時假定氣流溫度是均勻恒定的，并與環(huán)境溫度保持一致。則氣流滑移模型沿x、z方向的表達(dá)式為[7]：

(4)

其中：

式中：u、v分別為x、z方向的氣流速度；λ為氣體分子平均自由程；?=min[1/Kn,1]，α為調(diào)節(jié)系數(shù)，Kn為努森數(shù)(0.01

2.3 修正的Reynolds方程

根據(jù)微間隙內(nèi)氣流流速分布狀態(tài)，其潤滑方程可以表示為[8]

(5)

式中：p為氣膜壓力；μ為氣體動力黏度。

結(jié)合廣義的速度滑移邊界方程(4)對方程(5)進(jìn)行積分，則速度場方程分別為

(6)

式中的h表示氣膜厚度，則沿著x方向的氣膜厚度變量h(x)主要由兩部分構(gòu)成。

h(x) =hs(x)+hr(x,G,Df)

(7)

式中：hs(x)為光滑表面的膜厚度變量；hr(x)基于平均水平的隨機(jī)變化測量值。

根據(jù)式(6)中的壓力流速的速度分布，可以將歸一化Poiseuille流量QP表示為：

(8)

考慮到微氣體軸承的穩(wěn)態(tài)可壓縮過程，則無量綱Reynolds方程可以簡化為[9-10]

(9)

其中所引入無量綱參數(shù)及變量包括：

(10)

其中，

(11)

求解方程(9)時，所引入的邊界條件為：

(12)

2.4 數(shù)值求解方法

通過有限差分法對修正的Reynolds方程(9)進(jìn)行離散求解，并對氣膜內(nèi)部各節(jié)點中差分近似求導(dǎo)，同時采用高斯-賽德爾迭代法進(jìn)行計算，其中迭代過程中所采用的收斂準(zhǔn)則為

(13)

3 計算結(jié)果分析

本文在計算中所采用的微氣體軸承初始操作參數(shù)如表1所示。

表1 微氣體軸承初始參數(shù)

參數(shù)數(shù)值軸承氣膜長度L/μm10.0軸承氣膜寬度B/μm10.0臺階長度xstep/μm4.0臺階深度hm/μm0.05最小氣膜厚度h0/μm0.1圓角半徑r/μm1.0動力黏度μ/(Pa·s)1.79×10-5轉(zhuǎn)速n/(r/min)3 000

3.1 不同參數(shù)對氣膜壓力分布的影響

圖3、圖4分別示出光滑表面與粗糙表面情況下無量綱氣膜壓力分布圖。經(jīng)過對比可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)考慮表面粗糙度時，由于分形粗糙面的存在，氣膜壓力產(chǎn)生隨機(jī)波動，且在階梯位置X=0.4附近波動較為強(qiáng)烈，且達(dá)到最大壓力峰值，其中最大壓力值較光滑表面提升6.7%，同時壓力分布呈現(xiàn)出隨機(jī)性和非線性，并相對Z=0.5軸對稱分布。

為了進(jìn)一步探討粗糙表面下不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對壓力分布的影響，圖5示出不同軸承間隙、臺階深度以及轉(zhuǎn)速對氣膜長度方向壓力的影響。通過對比光滑表面與粗糙表面兩種工況發(fā)現(xiàn)，表面粗糙度對氣膜壓力分布的影響不可忽略。由圖5a可以看出，隨著軸承間隙的增加，氣膜整體壓力水平有所降低，并且氣膜厚度越小，其壓力波動越強(qiáng)烈。其原因在于：表面粗糙度與氣體稀薄效應(yīng)耦合時，氣膜厚度減小將導(dǎo)致Knudsen數(shù)增加，從而氣體稀薄效應(yīng)增強(qiáng)，此時表面粗糙度的影響效應(yīng)也將顯著增強(qiáng)，從而使得壓力產(chǎn)生強(qiáng)烈的隨機(jī)性波動。相比于光滑表面工況，當(dāng)最小氣膜厚度h0分別為0.1 μm和0.3 μm時，其最大壓力值分別提升6.7%、1.2%。從圖5b可知，當(dāng)表面光滑時，臺階深度對壓力幾乎無影響；當(dāng)考慮表面粗糙度時，氣膜壓力波動曲線一致，當(dāng)處于X=0.3 μm附近時，壓力分布出現(xiàn)分界點；當(dāng)hm分別為0.02 μm和0.05 μm時，對比兩條粗糙度壓力曲線，其最大無量綱壓力值分別為1.21、1.36。通過圖5c可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)考慮表面粗糙度時，轉(zhuǎn)速對氣膜最大壓力的影響較小，當(dāng)轉(zhuǎn)速n=5 000 r/min時，相比于3 000 r/min的工況，其光滑表面時最大無量綱壓力提升11.2%，然而粗糙表面時最大無量綱壓力變化幅度為0.002。

3.2 不同參數(shù)對氣膜承載力的影響

圖6示出了光滑表面與粗糙表面兩種情況下，無量綱氣膜承載力隨著不同軸承間隙、轉(zhuǎn)速及廣度參數(shù)的變化規(guī)律。從圖中知道，無量綱承載力隨軸承間隙的增大而減小，隨轉(zhuǎn)速和廣度參數(shù)的增大而增大。由圖6a可知，當(dāng)最小氣膜厚度h0小于0.3 μm時，表面粗糙度的影響效應(yīng)增強(qiáng)，相比于光滑表面，其承載力有所提升，其中轉(zhuǎn)速越大，承載力的提升幅度越顯著；隨著軸承間隙的增大，表面粗糙度與稀薄氣體的耦合效應(yīng)將減弱，氣膜承載力也將減??；當(dāng)h0=0.1 μm，n=5 000 r/min時，相比于光滑表面，此時無量綱承載力提高7.2%。由圖6b看出，承載力與轉(zhuǎn)速近似正比例關(guān)系，但臺階深度對其承載力的影響不大；當(dāng)hm=0.05 μm時，相比于光滑表面，其無量綱承載力相對變化幅度最大為0.04。從圖6c發(fā)現(xiàn)，隨著廣度參數(shù)ε增加，其有效承載區(qū)域?qū)⒃龃?，承載力也隨之增大，最后趨于平緩；此時軸承間隙越小，其承載力相對變化幅度越顯著。

4 結(jié)語

(1)表面粗糙度和稀薄氣體的耦合效應(yīng)對微尺度氣膜壓力的影響不可忽略，同時壓力分布呈現(xiàn)一定的隨機(jī)性。

(2)軸承間隙越小，表面粗糙度的影響效應(yīng)越顯著，從而氣膜壓力波動愈強(qiáng)烈；臺階深度對光滑表面氣膜壓力幾乎無影響，并且提高轉(zhuǎn)速能夠改善整體壓力水平。

(3)無量綱承載力隨著軸承間隙的增大而減小，隨著轉(zhuǎn)速和廣度參數(shù)的增大而增大；其中軸承間隙越小，轉(zhuǎn)速越大，無量綱承載力的變化幅度越顯著。