從“動點問題”談中考數(shù)學專題復習教學

韋師

【摘要】在中考數(shù)學命題中“動點問題”的相關題型經(jīng)常出現(xiàn)。此類問題與生活聯(lián)系密切，涉及知識點較多，解答難度較大，主要考查學生的數(shù)學綜合能力。因此，初中數(shù)學教師針對“動點問題”開展專題復習教學，提高學生解答該類問題的能力，有著非常重要的現(xiàn)實意義。

【關鍵詞】動點問題 中考 專題復習 數(shù)學教學

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）13-0111-01

近些年的各地中考數(shù)學試卷中，動點問題的出現(xiàn)頻率很高，已然成為中考數(shù)學命題的熱點。關于動點的中考試題通常由多個難度層層遞進的小問題組成，較為全面地考查了學生綜合運用數(shù)學知識分析、解決數(shù)學問題的能力，體現(xiàn)的是學生的數(shù)學綜合素養(yǎng)。在中考數(shù)學復習教學中，針對“動點問題”教師可以基于具體圖形設置動點，結合中考考點以及學生的數(shù)學能力設計難度層層遞進的習慣習題，并按照學生的解題表現(xiàn)，進行針對性的專題復習，循序漸進地培養(yǎng)學生解決“動點問題”的能力，有效鍛煉學生的數(shù)學思維能力、創(chuàng)新能力，進而培養(yǎng)學生的數(shù)學綜合素養(yǎng)。下面將基于三角形的動點，選取具有代表性的例題探討“動點問題”的專題復習策略。

一、引導學生分析基本圖形

在組織學生進行“動點問題”專題復習時，學生的復習效果與教師的水平有關，同時也與題目的難度有關，太難的題目不利于學生學習積極性的調(diào)動，只有符合學生認知水平的題目才能有效激發(fā)學生的學習熱情，調(diào)動學生的學習積極性。引導學生在解答動點問題時，學會分析基本圖形，深入理解題意，仔細解讀動點問題的背景，將相關條件詳細表示出來，尤其是動點的運動速度、時間、方向，從而確定動點的運動軌跡，進而構建已知與未知之間的關聯(lián)，降低“動點問題”的解答難度。因為，在解決“動點問題”時，往往需要分析圖形各元素的關系。在有關動點問題的基本圖形中的等量關系保持不變，在利用結合性質構建代數(shù)方程時經(jīng)常需要使用這些等量關系。因此，教師在復習教學中，可以利用學生十分熟悉的基本圖形——三角形的動點問題來引導學生由淺入深地探究，逐漸擴展至函數(shù)與方程，從線段間的函數(shù)關系拓展至線段與周長、面積之間的函數(shù)關系，最終涉及周長與周長、面積與面積之間的函數(shù)關系。

二、設置動點引導學生探究

例1：如圖1，所示，在三角形 中，∠EDF=60°，DE=10，DF=16。假設邊DF上有一點H，以D為圓心，以DH為半徑畫圓弧與DE相交與點K，連結HK：

①假設DH=x，求EK的長以及四邊形FEKH的周長、面積。

②假設點H到EF的距離為y，求y與x的函數(shù)關系式。

圖1

該題目利用基本圖形中的等量關系設置動點問題，探究函數(shù)問題。利用位置特殊的動點探究方程問題。在分析動點問題時，常常需要研究形成圖形過程中的函數(shù)關系和方程。對于函數(shù)問題，可以將一個變量視作擁有確定值，求另一個變量。動點在運動的過程中，雖然變量的值在變化，但變量之間的關系是固定的，因此可以用函數(shù)去確定其關系。該題目中設置了動點H，在此背景下，分析△DHK的形狀恒為等邊三角形，觀察動點運動過程中的不變量的思維恰恰是學生解決數(shù)學問題的必備數(shù)學與思維。此外，該題目利用基本圖形的等量關系探究函數(shù)問題，并設置了相對簡單的開放性問題，可以讓每一個學生都能從解題中體會到成就感，從而進一步激發(fā)學生的學習興趣，增強學習自信。

函數(shù)問題中的變量賦值

三、例析特殊位置動點問題

如上所述，當動點處于特殊位置時，可以利用將動點問題與方程思想結合起來進行分析，如圖1所示。

①連結FK、EH，如果△FKH與△KHE相似，求DH的長。

解析：如果△FKH與△KHE相似，可知，可以計算出x=80/13。

②D點關于直線HK的對稱點D落在邊EF上時，求DH的長。

解法一：如圖2所示，如果對稱點D落在邊EF上，作輔助線作DP垂直于DF，可知∠DDF=30°，DD=，DP=，因此DP=，F(xiàn)P=。因為tan∠EFD=，可得 ，計算得x=80/13。

解法二：如圖2所示，連接DE、DH，得到菱形四邊形DHDK，因此，KD與DF平行，可得，即，解得x=80/13。

圖2

解析：該題目的解題思路是借助圖形的幾何性質和幾何關系求得變量的值，這充分體現(xiàn)函數(shù)與方程的關聯(lián)。問題的設計包含了開放性的結論，教師可以引導學生利用不同的幾何圖形關系深入探究動點問題。這里的幾何圖形關系的主要作用是將函數(shù)問題方程化，讓學生深入體會函數(shù)與方程之間的密切關系，通過解決問題，感受形數(shù)結合數(shù)學思想的重要作用。在動點運動的過程中會出現(xiàn)很多特殊的圖形，特殊的數(shù)量關系，通過將這些數(shù)量關系函數(shù)化、方程化，可以快速求解動點問題。如此設計問題的意圖是幫助學生建立數(shù)學知識點之間的聯(lián)系，促進學生對數(shù)學知識的記憶和理解，使學生掌握重要的數(shù)學思想方法，提高他們抽象思維能力。此外，還可以在此基礎上足足學生進行課外拓展，讓學生圍繞課堂上暫時沒有解決的問題可繼續(xù)探究，可以提高課堂復習教學效果，同時也為學生進一步進行復習提供了機會，有利于培養(yǎng)學生的學習能力，進一步加深學生對動點問題的理解。

四、結束語

綜上所述，基于圖形探究動點問題，可以提高學習效率，給學生提供運用所學知識解決各種動點問題的機會。在設計相關題目時，教師我應該注意問題難度，題目與題目之間的難度要層層遞進，避免一開始題目太難而打擊學生的學習信心。應該根據(jù)學生的實際學情設計合理的題目，幫助學生建立新舊知識之間的關聯(lián)，進而根據(jù)學生的學習情況進行合理地引導與點撥，有效培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，提高學生解答動點問題的能力。

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