針對(duì)AR模型討論AIC準(zhǔn)則定階是否高于真實(shí)階數(shù)

苑成艷

摘要：時(shí)間序列建模過(guò)程中，確定了時(shí)間序列適合的模型類(lèi)型之后，對(duì)模型階數(shù)的確定是必不可少的。常見(jiàn)的模型定階的的方法有：殘差平方和法，自相關(guān)和偏相關(guān)函數(shù)法，F(xiàn)檢驗(yàn)法，AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則。在實(shí)際模型定階時(shí)，采用自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)拖尾或結(jié)尾來(lái)確定模型階數(shù)，計(jì)算得到的自相關(guān)函數(shù)或偏自相關(guān)函數(shù)都是估計(jì)值，與理論上的真值之間存在一定誤差；而且自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)法只適用于AR（p）和MA（q）模型定階，對(duì)用ARMA模型來(lái)說(shuō)，這種方法是不可行的。F檢驗(yàn)法的前提是兩個(gè)模型中有一個(gè)是適用的，若兩個(gè)模型適用性都未知，則F檢驗(yàn)法來(lái)檢驗(yàn)低階模型是毫無(wú)意義的。為了給模型更準(zhǔn)確定階，采用AIC準(zhǔn)則、BIC準(zhǔn)則定階，利用似然函數(shù)估計(jì)值的最大原則來(lái)確定合適的模型階數(shù)。但AIC準(zhǔn)則定階可能會(huì)出現(xiàn)高估真實(shí)階數(shù)的情況，下面我們針對(duì)AR模型通過(guò)AIC定階與BIC定階對(duì)比來(lái)討論是否AIC定階真的高于真實(shí)階數(shù)。

關(guān)鍵詞：AIC準(zhǔn)則；BIC準(zhǔn)則；AR模型；時(shí)間序列

1 AP（p）模型的定階

1.1 AIC定階

1973年日本學(xué)者赤池（Akaike）提出了AIC準(zhǔn)則，適用于ARMA（包括AR和MA）模型的定階問(wèn)題。設(shè)觀測(cè)數(shù)據(jù)序列

為零均值平穩(wěn)序列，其中一組樣本數(shù)據(jù)為

，設(shè)L為擬合模型的最高階數(shù)，AR模型階數(shù)為k，下面是AIC模型AIC定階步驟：（1）計(jì)算樣本的自協(xié)方差函數(shù)

和樣本的自相關(guān)函數(shù)

；（2）利用遞推算法計(jì)算相關(guān)函數(shù)

；（3）

是AR（k）的白噪聲方差。

所以AIC準(zhǔn)則函數(shù)為：

。AIC（k）最小值點(diǎn)

成為AR（k）模型的AIC定階。

1.2 BIC定階

針對(duì)AR（p）模型可以證明出當(dāng)樣本數(shù)據(jù)N充分大時(shí)，用AIC定階往往并不是相合的，就是說(shuō)，當(dāng)數(shù)據(jù)來(lái)自AP（p）模型時(shí)，

并不依概率收斂到真實(shí)的階數(shù)。有研究指出AIC定階通常會(huì)對(duì)階數(shù)略有高估。為了克服這一問(wèn)題，舒瓦茲（Schwarz）提出另一個(gè)與AIC準(zhǔn)則類(lèi)似的準(zhǔn)則函數(shù)BIC準(zhǔn)則。BIC準(zhǔn)則函數(shù)定義如下：

我們稱(chēng)BIC（k）中第一個(gè)最小值點(diǎn)

成為AP（p）模型的BIC定階。已知AR（k）模型

是白噪聲方差，可證明BIC定階是強(qiáng)相合的。

2 AIC定階和BIC定階準(zhǔn)確性對(duì)比

針對(duì)平穩(wěn)的AR模型分別用AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則定階。我們將確定的AR模型進(jìn)行AIC和BIC定階，通過(guò)兩個(gè)準(zhǔn)則定階的正確率以及高估率和低估率探究，從而得到AIC準(zhǔn)則定階是否高于真實(shí)階數(shù)的真正結(jié)果。這里我們假設(shè)用AR（2）模型進(jìn)行試驗(yàn)討論，討論結(jié)果如下，AR（2）模型：

其中

是白噪聲序列。

首先利用SAS軟件循環(huán)程序生成500個(gè)數(shù)據(jù)，再用SAS程序?qū)@些觀測(cè)數(shù)據(jù)模擬計(jì)算獨(dú)立重復(fù)1000次，每次生成的數(shù)據(jù)是不同的，即每次使用不同的500個(gè)觀測(cè)值。得到AIC和BIC階數(shù)情況如下：

表1：500個(gè)觀測(cè)值A(chǔ)IC、BIC定階所定階數(shù)的次數(shù)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

AIC定階

97

675

54

108

24

21

8

5

6

1

BIC定階

550

447

7

4

2

0

0

0

0

0

上表數(shù)據(jù)表示，用某一種定階方式（AIC或BIC），在1000次模擬計(jì)算中階數(shù)定為

（

=1，2，…，10）的有多少次，其中675表示在1000次模擬計(jì)算中AIC將階數(shù)定為4的由675次，447表示在1000次模擬計(jì)算中BIC將階數(shù)定為4的由447次。通過(guò)得到的階數(shù)情況分析，AIC定階對(duì)階數(shù)低估的比率是9.7%，對(duì)階數(shù)高估的比率是22.7%；BIC定階對(duì)階數(shù)低估的比率是55%，對(duì)階數(shù)高估的比率是1.4%。AIC定的平均階數(shù)是2.447，高于BIC定的階數(shù)1.497。

我們?cè)俅卫肧AS程序生成更多數(shù)據(jù)，這里我們生成了2000個(gè)數(shù)據(jù)，在對(duì)模型進(jìn)行1000次模擬計(jì)算。得到如下結(jié)果：

表2：1000個(gè)觀測(cè)值A(chǔ)IC、BIC定階所定階數(shù)的次數(shù)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

AIC定階

0

739

114

42

32

25

12

18

11

7

BIC定階

7

991

2

1

0

0

0

0

0

0

通過(guò)表格的階數(shù)情況分析，AIC定階對(duì)階數(shù)低估的比率是0%，對(duì)階數(shù)高估的比率是26.1%；BIC定階對(duì)階數(shù)低估的比率是0.7%，對(duì)階數(shù)高估的比率是0.3%。AIC定的平均階數(shù)是2.695，高于BIC定的階數(shù)1.999。

由上面計(jì)算實(shí)驗(yàn)，確實(shí)存在AIC定階高于BIC現(xiàn)象，但是我們看到，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)不是很大時(shí)，BIC 定階會(huì)出現(xiàn)低估階數(shù)的現(xiàn)象，造成模型較大失真。而AIC定階更接近真實(shí)階數(shù)。在N很大的情況下，BIC對(duì)模型的定階會(huì)更準(zhǔn)確。因此，我們?cè)谶M(jìn)行模型定階時(shí)，要根據(jù)實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)多少來(lái)判斷用AIC準(zhǔn)則還是BIC準(zhǔn)則。

參考文獻(xiàn)：

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