初中《楊輝三角》專題教學(xué)設(shè)計(jì)

傅越超　王加奇

【摘 要】借助一道中考題的解法思路引出“楊輝三角”，通過小組合作等形式探究楊輝三角，結(jié)合最短路徑數(shù)問題來鞏固楊輝三角，將抽象的數(shù)字結(jié)合數(shù)學(xué)歷史，回歸生活情境，把握數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，對初一學(xué)生的學(xué)習(xí)與提高有一定的啟發(fā)與幫助。

【關(guān)鍵詞】楊輝三角；西爾平斯基襯墊；最短路徑數(shù)

【中圖分類號】G633 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）21-0030-02

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中挖掘和融入數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)生們解題大有裨益，可使問題解決更巧妙。在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，楊輝三角雖然是《分式的整除》之后的閱讀材料，但是楊輝三角卻被廣泛應(yīng)用于很多的數(shù)學(xué)難題當(dāng)中。因此，開展《楊輝三角》專題課程有一定的必要性。

一、營造問題情境，發(fā)現(xiàn)特殊數(shù)陣

先給出一道度等級屬于“跳一跳，摘得到”的蘊(yùn)含找規(guī)律思想的中考題，需要學(xué)生挖掘數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，找到規(guī)律，巧妙轉(zhuǎn)化并簡化數(shù)陣，得出答案。最后的化簡數(shù)陣與楊輝三角相同，由此特殊的數(shù)陣來引出對楊輝三角的探索。

問題：觀察下列數(shù)陣，根據(jù)前5行的規(guī)律，可知第6行的數(shù)依次是：.（2006年山東中考卷17題）[1]

分析：該題所有分?jǐn)?shù)的分子為1，因此可將每個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為其倒數(shù)，得到的新數(shù)陣D2，一些規(guī)律顯而易見：①每一行的第一個(gè)數(shù)依次遞增，且等于行數(shù)；②每一行的數(shù)字有對稱的特性；③每一行的數(shù)字都是該行首個(gè)數(shù)的倍數(shù)……但并不能直接猜測出第6行的數(shù)字。引導(dǎo)學(xué)生思考：將這個(gè)數(shù)陣的每一行提出他們的公因數(shù)，到新數(shù)陣D3，再次觀察。此時(shí)啟發(fā)學(xué)生，進(jìn)行再發(fā)現(xiàn)：從第2行開始，每個(gè)數(shù)字都是上一行的左、右兩數(shù)之和。由此可得到第6行的數(shù)：1、5、10、10、5、1。

倒推回D2、D1，得到最終的第6行數(shù)：16、130、160、160、130、16。

二、探究新數(shù)陣，走進(jìn)楊輝三角

通過例題中遺留的數(shù)陣D3，引出楊輝三角。通過小組合作來探究楊輝三角的特點(diǎn)及規(guī)律，并呈現(xiàn)楊輝三角、賈憲三角的數(shù)學(xué)背景，介紹《釋鎖算術(shù)》、《九章算法》《詳解九章算法》的數(shù)學(xué)地位和歷史意義。簡單介紹歐洲的帕斯卡三角，讓同學(xué)們更深層感受到中華文化的博大精深。通過引導(dǎo)學(xué)生了解楊輝三角的發(fā)展過程，追根溯源，讓學(xué)生回到歷史之中，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣。

探究1：楊輝三角里的數(shù)字，有什么特殊的地方呢？

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組討論，給出小組討論結(jié)果。

探究2：根據(jù)“畫線”提醒，還能發(fā)現(xiàn)什么呢？

①橫線：第n行的數(shù)字之和為（n-1）個(gè)2相乘之積（圖1）；

②斜線：斜線上數(shù)字存在遞增關(guān)系，且前后增量越來越大（圖2）；

③斜線加勾：發(fā)現(xiàn)斜線上的數(shù)字之和等于勾上的數(shù)字（圖3）。

分析：以上探究1是本節(jié)課的重點(diǎn)，探究2是本節(jié)課的難點(diǎn)，每一探究環(huán)節(jié)均分成多個(gè)小點(diǎn)分別攻克，由易到難逐步解決，有助于學(xué)生思維能力的訓(xùn)練。

三、考慮最短路線，結(jié)合楊輝三角

本環(huán)節(jié)結(jié)合當(dāng)前數(shù)學(xué)常見題型——最短路線問題，進(jìn)行深層探究與應(yīng)用。

問題：楊輝去參加聚會，但是只有他一張從A到O的地圖（圖4），地圖上標(biāo)明了每條路線，縱橫有各5條路。楊輝發(fā)現(xiàn)，如果從A處走到O處（只能從南到北，從西到東），地圖中存在著好幾條路線，且都是最短并不重復(fù)，你知道他一共走出了多少條路線嗎？[3]

思考：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，一步步探索題目之奧秘：

①想要搞清楚路線，先得確定什么？A-B的最短路線到底是多長呢？

②我們可否一步一步做，將到達(dá)每個(gè)路口的路線數(shù)全標(biāo)注起來？

探究：從A點(diǎn)起，標(biāo)記每個(gè)路口的字母（見圖5），然后引導(dǎo)探究最短路線數(shù)。

我們可計(jì)算出每一個(gè)路口的最短路徑數(shù)。觀察發(fā)現(xiàn)：若繞O點(diǎn)將圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°，圖中的數(shù)據(jù)分布與楊輝三角一致。

思考：為什么圖中每個(gè)路口最短路徑數(shù)的規(guī)律會與楊輝三角一致？

由探究過程知道，每一處路口的最短路徑是等于能到達(dá)該路口的前一階段路口的最短路徑之和。轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)化語言即：每一個(gè)數(shù)字均是前一行左右兩數(shù)之和。因此最短路徑數(shù)的本質(zhì)其實(shí)是楊輝三角排列表。以后遇到相應(yīng)的最短路徑題時(shí)，只需將最短路徑數(shù)問題與楊輝三角結(jié)合，既簡單又準(zhǔn)確，做到“不數(shù)自明”。

本節(jié)課中，讓學(xué)生從多方面對楊輝三角進(jìn)行了解，整節(jié)課看似“發(fā)散”，實(shí)則“集中”，多方探索最后均匯聚到楊輝三角，做到“始于楊輝三角，又終于楊輝三角”。本堂課的教學(xué)，既賦予學(xué)生一種解題新思路、新技巧，讓學(xué)生遇到類似難題時(shí)能順利遷移，又增加學(xué)生解題自信心，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，并為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

[1]岳昌慶.初、高中教學(xué)銜接一例——萊布尼茨調(diào)和三角形與楊輝三角[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2017，36（05）：28-30.

[2]馬光喜.西爾平斯基的杰作：襯墊、地毯、海綿[J].初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，2004（09）：29-30.

[3]柯成森.矩形網(wǎng)格最短路線探討[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2018（05）：22-23.