一道雙變量問(wèn)題的三種解法及應(yīng)用

孫 健

（鞍山市第一中學(xué)數(shù)學(xué)組，遼寧 鞍山）

在解決函數(shù)導(dǎo)數(shù)部分的問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常遇到雙變量的問(wèn)題，由于兩個(gè)變量都在變動(dòng)，學(xué)生經(jīng)常在解題時(shí)束手無(wú)策。因此筆者從一道題典型的雙變量問(wèn)題切入，給出雙變量問(wèn)題的三個(gè)不同的解題方法，希望能對(duì)同學(xué)們有所啟發(fā)。

法一：分離變量

考慮函數(shù)g（x）=x0lnx-x，則g（x1）=g（x2）

若x1＜x2≤x0，而g（x）在（-∞，x0］單調(diào)遞增，g（x1）＜g（x2）與g（x1）=g（x2）矛盾，

同理x0≤x1＜x2亦與g（x1）=g（x2）矛盾

所以x1＜x0＜x2

說(shuō)明：此法利用已知條件關(guān)于x1，x2兩個(gè)變量對(duì)稱形式，將兩個(gè)變量分離到等式兩側(cè)，進(jìn)而將已知條件轉(zhuǎn)化為g（x）在x1，x2處的函數(shù)值相等，并通過(guò)研究g（x）性質(zhì)找到x1，x0，x2之間的大小關(guān)系。

法二：用變量組合式做變量

考慮函數(shù)g（t）=lnt-t+1

類似可證x2-x0＞0

說(shuō)明：比較兩數(shù)大小關(guān)系時(shí)做差和做商是常見(jiàn)的方法，此方法直接做差，并找到做差后式子中符號(hào)固定的部分后重點(diǎn)考慮不易確定符號(hào)的部分，通過(guò)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法，則巧妙地將兩個(gè)變量的商作為新的變量構(gòu)造出一個(gè)單變量的函數(shù)。此法也可以利用做商的方式處理，這里留給讀者思考，不再贅述。

法三：一個(gè)看做自變量，一個(gè)看做常數(shù)

考慮函數(shù)g（x）=x1（lnx-lnx1）-（x-x1）

而x1＜x2，故g（x2）=x1（lnx2-lnx1）-（x2-x1）＜g（x1）=0

說(shuō)明：此方法做差的想法與法二類似，不同的是在處理分子時(shí)將x2作為自變量，將x1看做常數(shù)構(gòu)造出函數(shù)g（x），這種處理方法源自數(shù)學(xué)分析中多元微積分中的偏導(dǎo)數(shù)方法,以大學(xué)觀點(diǎn)處理高中導(dǎo)數(shù)題目自有欲窮千里目，更上一層樓的感覺(jué)。

以上三種解法是雙變量問(wèn)題中較為典型的處理技巧，下面我們對(duì)以上方法加以應(yīng)用，并體會(huì)對(duì)不同類型的題目如何選取適當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>

應(yīng)用：

（1）已知f（x）滿足f（x）+f′（x）＞0，?x∈R，比較f（2）與大小。

解：f（2）與大小關(guān)系等價(jià)于e2·f（2）與f（0）大小關(guān)系，而利用函數(shù)單調(diào)性比較大小是一種常規(guī)方法，若可以將兩式轉(zhuǎn)變?yōu)橥粋€(gè)函數(shù)在不同點(diǎn)處函數(shù)值則問(wèn)題可解。注意到e2·f（2）與f（0）兩式在形式上相差函數(shù)符號(hào)f前面的一個(gè)常數(shù)e0，e2·f（2）與f（0）大小關(guān)系等價(jià)于e2·f（2）與e0·f（0）大小關(guān)系，兩式分別為g（2）與g（0）。

考慮，g（x）=ex·f（x），g′（x）=ex·（f（x）+f′（x））＞0，g（x）單調(diào)遞增，故

（2）已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax2+1

設(shè)a≤-2證明：對(duì)任意

解：不妨設(shè)x2≤x1，則或f（x1）-f（x2）≤4（x2-x1）

?g（x）=f（x）+4x單調(diào)遞減或h（x）=f（x）-4x單調(diào)遞增

點(diǎn)評(píng)：以上練習(xí)題中，運(yùn)用法一分離變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題求解，希望本文中解決雙變量問(wèn)題三個(gè)方法能給讀者帶來(lái)啟發(fā)。