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    導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探析

    2018-08-08 01:54:58李奕琳
    新課程(中學(xué)) 2018年5期
    關(guān)鍵詞:道題單調(diào)導(dǎo)數(shù)

    李奕琳

    (廣東省汕頭市第一中學(xué),廣東 汕頭)

    導(dǎo)數(shù)是微積分的基礎(chǔ)概念,當(dāng)一個(gè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時(shí),稱這個(gè)函數(shù)可以求導(dǎo)或者可以微分.學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)的熟練使用可以有效解決函數(shù)類有關(guān)習(xí)題,特別是包含解曲線方程式一類的習(xí)題,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用會(huì)起到明顯作用.因此學(xué)生如果將導(dǎo)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)熟練掌握,對(duì)于解答高中后期的習(xí)題將起到事半功倍的效果.

    一、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決切線問(wèn)題

    近年來(lái),導(dǎo)數(shù)的幾何意義經(jīng)常與解析幾何聯(lián)系起來(lái),考察學(xué)生的綜合能力,經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題及大題第一問(wèn)上.導(dǎo)數(shù)的幾何意義即函數(shù)y=f(x)在某一點(diǎn)M(x0,y0)一處的導(dǎo)數(shù)f′(x0),就是過(guò)這一點(diǎn)M的切線的斜率,導(dǎo)數(shù)的幾何意義經(jīng)常體現(xiàn)在求切線的斜率問(wèn)題上.函數(shù)在數(shù)學(xué)試卷中占比相對(duì)較大,利用導(dǎo)數(shù)解決相關(guān)問(wèn)題,可以使習(xí)題簡(jiǎn)化,容易得出答案.

    二、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題

    高中函數(shù)經(jīng)常需要研究函數(shù)性質(zhì),其中包括函數(shù)的定義域、單調(diào)性、最值、奇偶性等等.畫圖像也是解決函數(shù)問(wèn)題最直觀的方法,但是隨著高中函數(shù)學(xué)習(xí)的逐漸深入,很多復(fù)雜函數(shù)的圖像不能很容易地被畫出來(lái),這個(gè)時(shí)候畫圖象的方法就不適用了.當(dāng)導(dǎo)數(shù)引入進(jìn)函數(shù)解題中,可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值等可以被簡(jiǎn)單的計(jì)算出來(lái).導(dǎo)數(shù)被廣泛應(yīng)用與函數(shù)習(xí)題中,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可以很快速地求得函數(shù)的極大值與極小值,可以畫出一個(gè)函數(shù)圖象,得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,學(xué)習(xí)這些知識(shí)時(shí)學(xué)生需要掌握的基礎(chǔ)知識(shí),也是考試的重點(diǎn)內(nèi)容.

    例如:已知函數(shù)f(x)=6x2+8x+4,求單調(diào)區(qū)間以及最小值.這道題是最基礎(chǔ)的求函數(shù)極值和單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)解題如下:

    解:可得f′(x)=12x+8,

    在這道題中可以看出來(lái),利用導(dǎo)數(shù)解決這類問(wèn)題可以更加方便的得出答案,如果使用其他方法,這道題的解題步驟就會(huì)變得復(fù)雜繁瑣,容易出錯(cuò),還不能很好地看出單調(diào)性.利用導(dǎo)數(shù)解這種類型的問(wèn)題有比較明顯的解題步驟,首先求出這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),使這個(gè)導(dǎo)數(shù)等于零,求得函數(shù)的極值.然后令導(dǎo)數(shù)小于零,得出函數(shù)遞減區(qū)間,令導(dǎo)數(shù)大于零,得到函數(shù)遞增區(qū)間[1].

    三、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題

    在不等式類習(xí)題中,同樣需要應(yīng)用到函數(shù)特性,利用導(dǎo)數(shù)可以得出函數(shù)的性質(zhì),從而解答不等式問(wèn)題.更多的時(shí)候需要構(gòu)造一個(gè)函數(shù),引入導(dǎo)數(shù)方法,借助函數(shù)特性,求得極值,從而解決不等式問(wèn)題.

    設(shè)F(x)=g(x)-f(x),x∈(1,+∞)

    因x∈(1,+∞),得F′(x)>0

    而f(1)<g(1),

    所以在此區(qū)間上F(x)單調(diào)遞增,所以f(x)<g(x).

    這道題是函數(shù)的證明題,使用導(dǎo)數(shù)解答能夠?qū)⒉蝗菀鬃C明的不等式習(xí)題變得簡(jiǎn)單易懂,能夠有效地解決不等式問(wèn)題.傳統(tǒng)的不等式問(wèn)題需要運(yùn)用到分析法、綜合法、比較法等多種手法,這些手法遠(yuǎn)不如使用導(dǎo)數(shù)解答簡(jiǎn)單方便.要想使用導(dǎo)數(shù)解答不等式,需要根據(jù)題目構(gòu)建函數(shù),將不等式類證明題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值和單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題上去,將問(wèn)題簡(jiǎn)單化進(jìn)行解答.

    四、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題

    當(dāng)前,數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值被充分發(fā)掘,其中,導(dǎo)數(shù)知識(shí)不僅可以用于解決數(shù)學(xué)領(lǐng)域相關(guān)切線方程、不等式等問(wèn)題,還能對(duì)一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行有效解決,產(chǎn)生巨大的社會(huì)價(jià)值.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)探究利潤(rùn)最大、效率最高、費(fèi)用最省等問(wèn)題,往往能夠獲得最佳的可行方案.

    例如:某生產(chǎn)企業(yè)設(shè)計(jì)生產(chǎn)一個(gè)容器,容器為對(duì)稱結(jié)構(gòu),中間為圓柱形、圓柱兩端分別為兩個(gè)半球形(圓柱的高為l,半球結(jié)構(gòu)的截面半徑為r,且l≥2r),要求容器的容積為(80/3)π立方米.不考慮容器厚度,該容器的生產(chǎn)費(fèi)用僅與其表面積有關(guān),已知容器圓柱部分的生產(chǎn)費(fèi)用為3千元/平方米,而半球結(jié)構(gòu)的生產(chǎn)費(fèi)用為 x 千元/平方米(x>3).求:該容器的生產(chǎn)費(fèi)用 y最小時(shí),r的值.

    應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解這一問(wèn)題,首先要利用已知條件得出y與r的函數(shù)表達(dá)式,并確定該函數(shù)的定義域;對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后,明確函數(shù)的變化規(guī)律,即在不同定義域的單調(diào)性,最終即可得到最佳設(shè)計(jì)方案[2].

    綜上所述,探究導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的解題能力具有重要意義.通過(guò)相關(guān)實(shí)例分析,能夠明確導(dǎo)數(shù)在各類題目當(dāng)中的應(yīng)用思路,從而便于學(xué)生掌握相關(guān)導(dǎo)數(shù)知識(shí)中蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)思想,幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣,綜合提升學(xué)生解決各類數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的效率與正確率.

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