“追根溯源”學(xué)數(shù)學(xué)
——淺談小學(xué)數(shù)學(xué)“分?jǐn)?shù)教學(xué)”中的“根”問題

陳 艷

（江蘇省太倉市經(jīng)貿(mào)小學(xué)，江蘇 太倉）

在長期的小數(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)有一部分高年級(jí)的學(xué)生對(duì)于“數(shù)”這個(gè)大家族中的“分?jǐn)?shù)”心中沒底，知識(shí)處于混沌之中，久而久之他們對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了畏懼感，慢慢失去了信心。在幾年的反思與摸索中可以發(fā)現(xiàn)“分?jǐn)?shù)”教學(xué)要抓住知識(shí)的“根”。

一、在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)中尋找“概念”之根

1.在理解意義中“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”

分?jǐn)?shù)的定義在教科書上是這么寫的：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)。這里的單位“1”非常抽象，孩子從小到大接觸最多的是整數(shù)，非常直觀，比如：1個(gè)蘋果、3個(gè)人、5扇窗戶等，再多點(diǎn)，數(shù)不清了可以說有一群鴨、一些蘋果。而分?jǐn)?shù)定義中的單位“1”無限神秘，包羅萬象，一個(gè)一個(gè)的個(gè)體可以看成單位“1”，一群一群的整體也叫單位“1”，不滿一個(gè)的也可以看成是單位“1”，學(xué)生的已有認(rèn)知得到了巨大的沖擊，要從根深蒂固的認(rèn)知中轉(zhuǎn)過這個(gè)彎很難。所以在分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的過程中對(duì)于單位“1”的感悟一定要深刻，體會(huì)它與量詞“1”的區(qū)別。

2.在歷史背景中“感悟分?jǐn)?shù)”

從數(shù)字的發(fā)展歷程來看，分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)晚于自然數(shù)。自然數(shù)的運(yùn)用給人類的生產(chǎn)生活帶來的極大地便利，但在很多情況下無法恰好得到整數(shù)結(jié)果。為了解決這個(gè)問題，分?jǐn)?shù)就應(yīng)運(yùn)而生了。在除法運(yùn)算中，兩個(gè)正整數(shù)相除，得到的結(jié)果不一定是整數(shù)，為了保證除法的正常運(yùn)算，引入了一種新的數(shù)——分?jǐn)?shù)。早在200多年前，著名數(shù)學(xué)家歐拉在其所著的《通用算術(shù)》一書中說：我們無法將一根七米長的繩子三等分，因?yàn)槟壳皼]有這樣的數(shù)字表示。如果需要三等分，那么每一份就是三分之七米。是一種新的數(shù)，我們稱其為分?jǐn)?shù)，這便是今天分?jǐn)?shù)的由來。

3.在相互比較中“理解分?jǐn)?shù)”

分?jǐn)?shù)它有兩個(gè)身份，一個(gè)是具體量，一個(gè)是分率。如塊餅，這里的塊就是具體的，是可看得到的，它和整數(shù)、小數(shù)在運(yùn)用上幾乎無任何差別。再如太平洋約占地球表面的幾分之幾，這個(gè)代表的是太平洋和地球表面積之間的關(guān)系，此時(shí)分?jǐn)?shù)代表兩個(gè)量之間的倍比關(guān)系，是抽象的。而小學(xué)數(shù)學(xué)中研究的分?jǐn)?shù)更多指向的是分?jǐn)?shù)代表分率的這一類。所以認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，還得幫助學(xué)生辨析分?jǐn)?shù)的真實(shí)身份。

二、在分?jǐn)?shù)計(jì)算中尋找“計(jì)算”之根

數(shù)學(xué)運(yùn)算即相同計(jì)數(shù)單位間的加減，這一點(diǎn)同樣適用于分?jǐn)?shù)運(yùn)算。如何處理異分母分?jǐn)?shù)加減法呢？我們就要引導(dǎo)學(xué)生尋找“計(jì)算”之根。例如：光明小學(xué)現(xiàn)有一塊長方形試驗(yàn)田，其中種土豆種蒜苗，那么土豆和蒜苗的種植面積占這塊地的多少呢？學(xué)生在計(jì)算時(shí)出現(xiàn)了不同的聲音：

學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是不懂算理，不明白加法的本質(zhì)是相同計(jì)算單位相加。此時(shí)可以借助畫圖讓學(xué)生明白異分母分?jǐn)?shù)加法需要把這兩個(gè)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成分母相同的分?jǐn)?shù)，分母相同才能相加。抓住計(jì)算的根之后學(xué)生人人都能正確進(jìn)行異分母分?jǐn)?shù)加減法，而且能把算理說明白。

三、在分?jǐn)?shù)實(shí)際問題解決中尋找“問題”之根

分?jǐn)?shù)實(shí)際問題的解決對(duì)于學(xué)生來說相對(duì)比較困難，不少教師教這部分內(nèi)容時(shí)或多或少也存在困惑，如何使課堂教學(xué)的效率最大化？不妨從尋找根問題入手。分?jǐn)?shù)實(shí)際問題無非就這么幾種：求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾？求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少？已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)？求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾？就拿分?jǐn)?shù)乘法問題來說吧，分?jǐn)?shù)乘法問題可以依據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義指導(dǎo)求解，而分?jǐn)?shù)除法問題也是根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義來列方程解決。所以掌握好分?jǐn)?shù)乘法的意義是解決分?jǐn)?shù)乘除法問題的前提。為此，教學(xué)中應(yīng)該抓住根問題，建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生所學(xué)知識(shí)的正遷移。比如：小芳做了10朵綢花，其中是紅花，紅花有多少朵？在解決這個(gè)問題的時(shí)候先要理解分?jǐn)?shù)的意思，明確此題就是求10的是多少？學(xué)生的列式可以用除法10衣2計(jì)算，此時(shí)把想象成一半，也可以用10伊來計(jì)算。如果把題目“求10的是多少？”改成“10的2倍是多少？”相信學(xué)生第一時(shí)間都會(huì)列出乘法算式，那么這個(gè)和2在題目中是沒有實(shí)質(zhì)差異的，唯一的差異就是一個(gè)是整數(shù)倍，另一個(gè)是分?jǐn)?shù)倍。所以“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的根實(shí)際上就是低年級(jí)學(xué)習(xí)的“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少？”這樣學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到了擴(kuò)展，新舊知識(shí)得到了勾連，分?jǐn)?shù)乘法的意義在學(xué)生頭腦中扎根，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。另外“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”的舊知就是“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”；“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)？”是乘法的逆運(yùn)算，可以用方程來解決；而“求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾？”實(shí)際就是比多比少，只是多多少，少多少需要抓住單位“1”先進(jìn)行計(jì)算而已。教學(xué)時(shí)老師幫助學(xué)生尋找解決分?jǐn)?shù)實(shí)際問題的根源，打通新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，一旦新知與舊知的橋梁搭建成功，解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題就不再是什么困難的事了，學(xué)生學(xué)習(xí)的自信也隨之建立。

分?jǐn)?shù)問題學(xué)生都能在尋根的過程中找到對(duì)應(yīng)的方法，那么比、百分?jǐn)?shù)等問題也就迎刃而解了，當(dāng)教學(xué)中溝通三者與除法之間的關(guān)系后學(xué)生會(huì)感覺豁然開朗，原來數(shù)學(xué)并不難，關(guān)鍵要知道這樣做的依據(jù)是什么，也就是知識(shí)的根在哪里。