用“四項基本原則”求解數(shù)列問題

☉江蘇省新海高級中學(xué) 李 杰

“基本數(shù)列、基本量、基本公式、基本思想”是處理數(shù)列問題的四項基本原則，如何構(gòu)造基本數(shù)列，即等差數(shù)列與等比數(shù)列，利用an，Sn，d（q），n，a1及其通項公式和前n項和公式構(gòu)建函數(shù)模型成為解決問題的關(guān)鍵.本文以一例常見問題談?wù)劇八捻椈驹瓌t的應(yīng)用”.

題目 已知等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，

解法一：利用等差數(shù)列的前n項和公式.

點評：本法遵循的原則是“基本公式”的應(yīng)用，本法根據(jù)等差數(shù)列前n項和的模型為關(guān)于變量“n”且不含常數(shù)項的二次函數(shù)形式，故設(shè)為Sn=An2+Bn，再利用an與Sn的關(guān)系式：an=Sn-Sn-1進行求解.

解法二：由數(shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列，設(shè){an}，{bn}的首項分別為a1，b1，公差分別為d1，d2，則有：

點評：本法遵循了“基本量”的原則，通過回歸基本量的基本思路.將兩個數(shù)列的首項和公差代入和式，用方程思想消元求解，中間過程結(jié)合了特殊值法.解決等差數(shù)列的兩大方向，基本量法或利用其性質(zhì)來解決.基本量法反映的是方程或函數(shù)的思想，性質(zhì)則是利用等差的特殊性質(zhì)直接求解，強調(diào)的是式的整體變形，兩大方法各有千秋.建了項與和之間的關(guān)系，對于求比值來說可謂“如魚得水”，而法四利用了性質(zhì)：若m+n=p+q，則有an+am=ap+aq.

本題圍繞的是等差數(shù)列的S2n-1與an的特殊關(guān)系直接轉(zhuǎn)化求解.一道看似簡單的試題，但利用四個基本思想從各個角度解決等差數(shù)列問題，給我們呈現(xiàn)出精彩的思維展示，且始終圍繞“基本數(shù)列、基本量、基本公式、基本思想”這一主題！其中函數(shù)思想——基本思想，回歸等差數(shù)列的函數(shù)思想，利用等差數(shù)列前n項和的二次函數(shù)形式：Sn=An2+Bn，以及an=Sn-Sn-1將項與和進行轉(zhuǎn)化得解，還

點評：法三和法四遵循了“基本性質(zhì)”的原則，利用等差數(shù)列序號的對稱性來求解.J