比例延遲分?jǐn)?shù)階Volterra型方程的譜分析*

鄭偉珊

(韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 潮州 521041)

Volterra型方程作為數(shù)學(xué)模型出行在許多應(yīng)用領(lǐng)域中，如通信系統(tǒng)[1]，水文模型[2]，生物種群問題[3]等等。然而早期關(guān)于該類方程的研究都是理論分析居多，隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，科學(xué)研究逐步深入，由實(shí)際問題導(dǎo)出的模型越來越復(fù)雜，呼吁著高效分析方法的產(chǎn)生。關(guān)于Volterra型方程收斂性分析，受到廣泛的關(guān)注[4-13]，如線性多步法[4]，逐片多項(xiàng)式法[5]，HP間斷Galerkin法[6]，譜配置法[8-11]，其中譜配置法具有高效的指數(shù)收斂速度已被大量應(yīng)用于解決各類整數(shù)階Volterra方程，這里僅列舉各類方程的一個(gè)代表：積分方程[8]、微積分程[9]、弱奇異核方程[10]、非線性方程[11]，其中包含延遲的情形[8-10]，然而這些都是整數(shù)階情形，該類方程的分?jǐn)?shù)階類型研究不多[12-13]，而分?jǐn)?shù)階微積分方程因更好地刻畫和描述了自然現(xiàn)象、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的變化過程近幾年來得到了廣泛的應(yīng)用[14-16]，故本文在已有整數(shù)階Volterra方程研究的基礎(chǔ)上將其推廣至被積函數(shù)帶比例延遲的分?jǐn)?shù)階情形，方程形式如下

(1)

其中G與K為已知足夠光滑的函數(shù)，0<ρ，ζ<1,H(x)未知且H0是已知常數(shù)，Dζ表示ζ階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，在本文具體為

(2)

相應(yīng)的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分為

(3)

Γ(·)為Gamma函數(shù)。方程(1)的初始條件結(jié)合式(2)和式(3)可以得到

(4)

為了進(jìn)行譜分解，必須對(duì)式(1)和式(4)進(jìn)行變量代換，令

倘若記

則

Dζh(t)-h(t)-

(5)

h(t)-h(-1)=

(6)

其中t∈[-1,1]，令

表示一組配置點(diǎn)，它是N+1個(gè)Jacobi-Gauss點(diǎn)，相應(yīng)的權(quán)記為ωα，β，則方程(5)和方程(6)在配置點(diǎn)ti上顯然成立

Dζh(ti)-h(ti)-

(7)

h(ti)-h(-1)=

(8)

為了獲得更高的精度，需進(jìn)行適當(dāng)?shù)木€性變換，為此令

(9)

其中-1≤θ≤1，若記

則方程(7)和方程(8)可以重記為

Dζh(ti)-h(ti)-

(10)

h(ti)-h(-1)=

(11)

Dζh(ti)-h(ti)-

h(ti)-h(-1)≈

記

hi≈h(ti)，Dζhi≈Dζh(ti)，

F(ρτ(ti,θl)+ρ-1)ωl=g(ti)

(12)

hi-h(-1)=

(13)

1 若干引理

引理1[17]假設(shè)用帶Jacobi權(quán)N+1個(gè)點(diǎn)的Gauss積分公式計(jì)算hφ的積分，φ∈PN，則

其中

(14)

(15)

且

(16)

(17)

引理3[19-20]對(duì)于一個(gè)非負(fù)整數(shù)r和κ∈[0,1]，存在一個(gè)常數(shù)Cr,κ>0，使得對(duì)于任意函數(shù)v∈Cr,κ([-1,1])都存在一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)TNv∈PN，有

則對(duì)于任意函數(shù)v∈C([-1,1])，都存在一個(gè)正的常數(shù)C使得

引理5[22]對(duì)所有可測函數(shù)f≥0，當(dāng)1

成立當(dāng)且僅當(dāng)

這里的函數(shù)T是一個(gè)算子

其中函數(shù)k(t,τ)是一個(gè)給定的核函數(shù)，u和v都是非負(fù)的權(quán)函數(shù)且-∞≤a

引理6[23]對(duì)于每個(gè)有界函數(shù)v，有

2 結(jié) 論

定理1 令h(t)是方程(5)-(6)的解，并假定足夠光滑，若DζF(t)是通過譜方法由方程(12)和方程(13)獲得的逼近解及逼近導(dǎo)數(shù)，0≤ζ<1，其誤差函數(shù)為Dζe(t)=DζF(t)-Dζh(t)，則當(dāng)N足夠大有

這里

證明利用離散內(nèi)積記號(hào)(14) 可以把方程(12)重記為

Dζhi-hi-(k(ti,τ),F(ρτ+ρ-1))N=g(ti)

若記

J(t)=(k(t,τ),F(ρτ+ρ-1))N-

(k(t,τ),F(ρτ+ρ-1))ω0,0

則還可將上式記為

Dζhi-hi-(k(ti,τ),

F(ρτ+ρ-1))ω0,0-J(ti)=g(ti)

(18)

再由式(9)知，式(18)和式(13)分別可以化為

Dζhi-hi-

(19)

hi-h(-1)=

(20)

Dζe(t)=

(21)

e(t)=

(22)

這里

I3(t)=INDζh(t)-Dζh(t)，

根據(jù)Dirichlet公式

得

Dζe(t)≤

(23)

其中C1是正的常數(shù), 而

因?yàn)?<ρ<1，ρt+ρ-1=ρ(t+1)-1

(24)

再由式(22)有

(25)

綜上得

(26)

再利用引理2的式(15)，有

(27)

又由引理2的式(17)有

(28)

(29)

再次利用引理2中的式(17)，令m=1，有

(30)

(31)

最后一個(gè)不等式，在以下情況下使用引理4

綜上分析由式(27)-(31)，定理第一個(gè)結(jié)論獲證。下面再由式(23)，利用Gronwall定理及引理5有

(32)

由引理6可得

(33)

再由引理2的式(16)可以得到

(34)

對(duì)于I4(t)的估計(jì)，使用引理2的式(16)并令m=1時(shí)，得

(35)

對(duì)于I5(t)的估計(jì)，借助引理3，引理4和引理5，且當(dāng)κ∈(0,1-μ)有

(36)

式(33)與式(36)利用定理第一個(gè)結(jié)論，令m=1即可得定理第二個(gè)結(jié)論。