巧用“三變” 解三角問題

河北易縣中學(xué) 邊紅霞

三角函數(shù)是高中的重要內(nèi)容，也是高考的必考內(nèi)容。無論是化簡、求值、證明，還是研究三角函數(shù)的性質(zhì)，都離不開三角恒等變形，如何選用公式成為解決問題的瓶頸，熟練掌握三角公式是基礎(chǔ)，靈活運用是關(guān)鍵。解決三角問題的方法靈活多樣，然而也體現(xiàn)出一定的規(guī)律性。對式子結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面分析，合理選擇一個突破口，或是從角度入手 ，或是從三角函數(shù)的名稱考慮，或改變式子的結(jié)構(gòu)，通過變角、變名、變式，簡稱“三變”，即可順利解決三角問題。

對三角問題，因公式繁多，思考的角度不同，選擇公式的順序不同，會出現(xiàn)不同的解題思路，下面這道題就是一個典型的例子，通過它，我們會發(fā)現(xiàn)解決三角問題的一般規(guī)律。

分析：解決這類問題，一般從三方面考慮：觀察角、名稱、式子的結(jié)構(gòu)。此函數(shù)式是一個分式，含有二倍角，有兩個三角函數(shù)的名稱，考慮利用公式對函數(shù)式進(jìn)行化簡。

一、變角

在三角恒等變形中，首先要從角、名稱、式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面分析，當(dāng)式子中角不統(tǒng)一時，可以“以角”為突破口，充分利用角的變換，進(jìn)行有目地的變形，使得角達(dá)到統(tǒng)一。經(jīng)常使用的公式有二倍角公式、誘導(dǎo)公式、兩角和與差等。

思路1：我們先從“角”考慮，用二倍角公式，角度減半，方次升高，會產(chǎn)生因式，消去公因式，然后統(tǒng)一名稱，轉(zhuǎn)化為一個角的一個三角函數(shù)。

思路2：由思路1變形得到 ，分析“角度”，為使角統(tǒng)一，分子分母分別用輔助角公式，這樣形成一個角的一個三角函數(shù)。

二、變式

當(dāng)題目中式子的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，比如有分式、方次高等，可以通過恒等變形，改變式子的結(jié)構(gòu)，化分式變?yōu)檎健⒂筛叽谓禐榈痛?，目的是使?fù)雜的結(jié)構(gòu)變得簡單。

∴ （fx）∈（2，+∞）。

思路4：從“式子”的結(jié)構(gòu)分析，如果分母變?yōu)閱雾検?，可以有約分的機會，于是，從角入手，使用誘導(dǎo)公式，再用二倍角公式，角度減半，方次升高，統(tǒng)一為一個角的一個三角函數(shù)。

三、變名

如果在式子中存在多種三角函數(shù)，要利用公式統(tǒng)一名稱，常用的有誘導(dǎo)公式、同名三角函數(shù)間的基本關(guān)系式、輔助角公式等，但在統(tǒng)一名稱時也是從角度入手。

令 t=sin2x∈（0，1），

從以上分析可以看出，恒等變形的基本思路是進(jìn)行“三變”，即“變角”“變名”“變式”，三變是進(jìn)行三角恒等變形的橋梁，是解決三角問題的靈魂，任何變形都是圍繞這三方面進(jìn)行的。

通過以上題目發(fā)現(xiàn)，“三變”之間不是割裂的，而是相互交融，在進(jìn)行一種變換的同時，伴隨著其他變換的發(fā)生。即在進(jìn)行式子結(jié)構(gòu)的變化中，融入了角的變換，同時名稱也得到了統(tǒng)一，只是先選擇一個突破點而已。一般是先看角，從此出發(fā)，進(jìn)行綜合考慮，兼顧三角函數(shù)的名稱，簡化式子的結(jié)構(gòu)，便可順利解決三角問題。