一類非自治半線性發(fā)展方程周期溫和解①

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(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 安徽 合肥 230601)

0 引 言

考慮如下的一類非自治半線性發(fā)展方程：

(1)

諸如方程(1)這類非自治半線性發(fā)展方程的溫和解、反周期溫和解的問(wèn)題已經(jīng)有深入的研究[1-5],主要研究方法有算子半群理論、不動(dòng)點(diǎn)定理、拓?fù)涠壤碚摰认嚓P(guān)理論相結(jié)合。而考慮方程(1)周期溫和解的存在唯一性的結(jié)果較少。

為敘述方便，首先給出以下假設(shè)條件：

(H1) 對(duì)?t≥s，存在T>0，有U(t+T,s+T)=U(t,s),即U(t,s)是T周期的。

(H2) 函數(shù)f:R×X0→X滿足f(t+T,u(t+T))=f(t,u(t)),t∈R,u∈X0。

‖λQ(t)R(λ,A)‖}<。

(H4) 函數(shù)f:R×X0→X滿足如下Lipschitz條件：

‖f(t,u)-f(t,v)‖≤L(t)‖u-v‖,

?t∈R,u,v∈X0

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 算子A:D(A)→X，若存在常數(shù)ω∈R,M≥0,有(ω,)?ρ(A)，且滿足

sup{‖(λ-ω)nR(λ，A)n‖:λ>ω,n≥0}M,

其中ρ(A)為A的預(yù)解集合，則稱A為空間X上的Hille-Yosida算子。

定義2 若存在投影P(t)一致有界且是強(qiáng)連續(xù)及常數(shù)M,ω>0,滿足(a)-(c)成立，

(a)U(t,s)P(s)=P(t)U(t,s),?t≥s。

(b)U(t,s):KerP(s)→KerP(t),t≥s≥0,是同構(gòu)的，且是可逆的，

(UQ(t,s))-1=UQ(s,t),其中Q=I-P。

(c)‖U(t,s)P(s)‖Me-ω(t-s),

‖UQ(s，t)Q(t)‖Me-ω(t-s)

則稱半群U(t，s) 為雙曲半群(或滿足指數(shù)二分性)。

定義3 若U(t,s)是雙曲半群，則稱如下的函數(shù)

為格林函數(shù)。

定義4 設(shè)函數(shù)f∈Cb(R,X)，若f(t+T)=f(t),?t∈R成立，則稱f(t)為T(mén)-周期函數(shù)，設(shè)PTA(R,X)表示所有T-周期函數(shù)組成的集合。

引理1 設(shè)(A,D(A))是Banach空間X上的Hille-Yosida算子，存在算子A0:D(A0)

令λ∈ρ(A)，在空間X0上引入范數(shù)‖x‖-1=‖R(λ,A0)x‖,x∈X0，則稱空間(X0,‖·‖-1)為X0的外推空間，記為X-1。對(duì)?t≥0,算子T0(t)都可以唯一延拓成X-1上的有界線性算子T-1(t)，且半群(T-1(t))t≥0是空間X-1上的C0半群，則稱它為(T0(t))t≥0的外推半群，生成元A-1∈X0。更多關(guān)于Hille-Yosida算子半群、外推空間等相關(guān)知識(shí)可參考文獻(xiàn)[6-9]。

引理2 如果令Σθ={λ∈C:|argλ|θ}∪{0}?且存在常數(shù)

κ0，實(shí)數(shù)列α1,α2,…αk,β1,β2,…βk，滿足0βiαi2,i=1,2…k,使得：

‖A(t)(λ-A(t))-1(A(t)-1-A(s)-1)‖

若存在常數(shù)M≥0,滿足‖(λ-A(t))-1‖θ,則算子A生成唯一的算子半群{U(t,s)t≥s:s∈R}

定義5 設(shè)U(t,s)t≥s≥0為(A+B(t))t≥0在X0上生成的雙曲半群, 方程(1)的溫和解定義如下：

u(t)=U(t,s)u(s)+

其中

2 主要結(jié)論

定理1 假設(shè)條件(H1)-(H3)成立，對(duì)?t∈R，令

證明首先，有如下估計(jì)：

因此，Λu是有界的。

其次，對(duì)?t,σ∈R,

因此，當(dāng)σ→0，‖Λu(t+σ)-Λu(t)‖→0,故Λu是連續(xù)的。

最后，對(duì)?t∈R,u∈PTA(R,X0),

因此,Λu是T周期的。

證明由定理1的證明過(guò)程可知算子Λ是集合PTA(R,X0)上到自身的一個(gè)映射。

下面，證明算子Λ在集合PTA(R,X0)中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。

設(shè)u,v∈PTA(R,X0),有如下估計(jì)：

最后，證明u∈PTA(R,X0)是方程(1)的溫和解。事實(shí)上，對(duì)?t≥s，有

因此，u是方程(1)的溫和解。

推論假設(shè)條件(H1)--(H4)成立。若函數(shù)f滿足如下Lipschitz條件：

‖f(t,u)-f(t,v)‖L‖x-y‖,?t∈R,u,v∈X0其中L>0，如果成立，則方程(1)存在唯一的T-周期溫和解。