基于信息熵的動力模型縮聚中主自由度優(yōu)化選擇研究①

, ，

(武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，湖北 武漢 430072)

0 引 言

許多的橋梁工程以及高層建筑等結(jié)構(gòu)在投入使用的過程中都會出現(xiàn)一些局部的破損,隨著時(shí)間的推移，各種因素的影響會使局部破損不斷擴(kuò)大,造成整個(gè)結(jié)構(gòu)的破壞[1]。在工程實(shí)踐中，由于條件限制，為了能更好的對工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行檢測和維護(hù)，要將有限的傳感器布設(shè)在結(jié)構(gòu)的主要部位，獲取更為全面的信息。

國內(nèi)外學(xué)者對于傳感器的優(yōu)化布置問題提出了多種優(yōu)化算法，Guyan[2]模型縮聚法是一種常用的傳感器布置方法，Kammer[3]提出了傳感器優(yōu)化布置的有效獨(dú)立法。在國內(nèi)，崔飛[4]提出了模態(tài)置信度法，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和初算來擬定一組測點(diǎn)，然后從剩余的自由度中每次增加一個(gè)測點(diǎn)，以此減小MAC矩陣中非對角元的最大值，來達(dá)到測點(diǎn)優(yōu)化的目的。

針對桁架橋梁結(jié)構(gòu)模型，運(yùn)用動態(tài)模型縮聚法進(jìn)行主自由度的優(yōu)化選取，以橋梁建模參數(shù)識別結(jié)果的不確定性最小為準(zhǔn)則來優(yōu)化選取主自由度，對該橋梁結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行數(shù)值仿真研究以及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 動力模型縮聚

有一類別的模型，假設(shè)有N個(gè)自由度，假如質(zhì)量矩陣由于結(jié)構(gòu)損傷的改變可以忽略，可以得到系統(tǒng)方程如下[5]：

K(θ)=λjMφj

(1)

其中，λj,φj∈RN,j=1,2,…Nt是方程的特征值和特征向量。Nt是測得的模態(tài)階數(shù)。K(θ)是參數(shù)化之后的整體剛度矩陣，其中θ=[θ1,θ2,…,θNθ]T∈RNθ:

(2)

當(dāng)θ=θ0時(shí)，代表結(jié)構(gòu)處于健康狀況下；K(i),i=1,2,…Nθ是組裝成整體剛度矩陣的單元?jiǎng)偠染仃嚨臄U(kuò)階矩陣；Nθ是待識別的結(jié)構(gòu)參數(shù)的個(gè)數(shù)。

將上述公式聯(lián)合，并區(qū)分主副自由度，可以得到以下振動方程：

(3)

其中{φm}j和{φs}j分別是第j階振型測得的和未測得的部分，維度分別是Nm和Ns,且有Nm+NS=N。

根據(jù)公式(3)可得：

{φs}j=Dj{φm}j

(4)

(5)

其中Dj是第j階模態(tài)的動態(tài)縮減矩陣，是關(guān)于λj和θ的函數(shù)，如下：

(6)

(7)

因此，對于第j階振型，可以只用主振型表示如下：

(8)

其中Tj∈RNNm是第j階模態(tài)的轉(zhuǎn)換矩陣，INm∈RNmNm是單位矩陣。

將公式(7)帶入公式(3)，并且方程兩邊同時(shí)乘以T矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣得到：

(9)

其中：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

根據(jù)公式(11)可得[6]：

A(θ)θ=b(θ)

(15)

其中：

(16)

(17)

且有：

(18)

zj=zj(λj,{φm}j,θ)=

(19)

根據(jù)公式(15)可以得到：

θ=A(θ)+b(θ)

(20)

公式中的A(θ)+是A(θ)矩陣的偽逆矩陣，給定θ初始值θ0，k=1，每步迭代結(jié)果為θk=A(θk-1)+b(θk-1)，當(dāng)兩代θ之間的改變值小于一個(gè)指定的極小值，則迭代結(jié)束，θk為識別結(jié)果，否則迭代繼續(xù)。

2 主自由度優(yōu)化選取理論

2.1 貝葉斯理論

假設(shè)選取特定的某一類模型，模型中存在著結(jié)構(gòu)自由參數(shù)，假設(shè)模型參數(shù)向量為θ，利用貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法根據(jù)時(shí)域內(nèi)的動力實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，推得結(jié)構(gòu)的合理參數(shù)和不確定性。

將測得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記為D={y(m),z(m),m=1,…,N}，y(m)∈RN0,z(m)∈RNT分別是輸入和輸出數(shù)據(jù)。N0表示結(jié)構(gòu)觀測自由度的個(gè)數(shù)，NT表示輸入自由度的個(gè)數(shù)，m表示時(shí)間指數(shù)mΔt,mΔt表示采樣時(shí)間間隔，N表示采樣數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。當(dāng)選定一類模型后，就可以獲得模型響應(yīng)輸入與輸出之間的關(guān)系[7]：

y(n)=L0q(m;θ)+n(m;θ)

(21)

以下假設(shè)預(yù)估誤差對于不同的測量數(shù)據(jù)滿足∑=σ2I，σ是預(yù)估誤差參數(shù)，I∈RN0N0是單位矩陣。根據(jù)貝葉斯系統(tǒng)識別理論，隨機(jī)的參數(shù)向量φ和測量數(shù)據(jù)D，得到模型參數(shù)θ的先驗(yàn)概率密度如下：

P(ψ,θ|M)=P(ψ|θ,M)P(θ|M)

(22)

其中：

P(θ|M)=N(θ0;Eθ)

(23)

先驗(yàn)概率密度函數(shù)如下[8〗：

(24)

其中c是常數(shù)，使得證據(jù)因子函數(shù)積分為1，而且有：

(25)

Σ=[(Σ1)T,(Σ2)T,…,(ΣNt)T]T

(26)

公式(26)中的Σj表示振動方程中第j模態(tài)向量的誤差：

(27)

根據(jù)上文可得：

(28)

同理，可以得到模型修正后的后驗(yàn)概率密度函數(shù)：

P(ψ,θ|D,M)=c2P(D|ψ,θ,M)P(ψ,θ|M)

(29)

由此可得：

(30)

(31)

2.2 信息熵理論

修正的概率密度函數(shù)表示模態(tài)參數(shù)每個(gè)可能值的概率，根據(jù)測得的動力數(shù)據(jù)可以得到參數(shù)值的不確定性。信息熵作為唯一量測結(jié)構(gòu)模型參數(shù)θ的不確定性的工具，表達(dá)方式如下[9〗：

H(δ,D)=Eθ[-lnp(θ|D)]=

(32)

其中Eθ表示關(guān)于θ的數(shù)學(xué)期望。信息熵理論取決于測得的動力數(shù)據(jù)D和選取的主自由度δ。

根據(jù)C. Papadimitriou提出的理論可以得到信息熵理論[10]：

-Eθ[lnπθ(θ)]

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

s/s0的值越小表明選取的主自由度組合越優(yōu)，對于同一結(jié)構(gòu)不同數(shù)量的主自由度組合s/s0也可以進(jìn)行比較。

3 主自由度優(yōu)化選取

3.1 MATLAB有限元建模及其驗(yàn)證

采用自編MATLAB程序建立簡單的桁架橋模型。其中縱梁采用T型截面，橫梁采用工字型截面，彈性模量為2.06×1011kN/m2，剪切模量為7.923×1010MPa，截面面積為0.904×10-3m2,y軸慣性矩為0.145×10-5m4，z軸慣性矩為0.21×10-6m4，泊松比為0.3，材料密度為7850kg/m3。如下圖1所示：

圖1中所示為桁架橋ANSYS模型圖，4個(gè)端節(jié)點(diǎn)固支。采用ANSYS與MATLAB軟件對該桁架橋建模并進(jìn)行模態(tài)分析，求得前五階模態(tài)參數(shù)。

表1 MATLAB與ANSYS計(jì)算頻率(Hz)對比

圖1 桁架橋ANSYS模型圖

其中表1為頻率結(jié)果，圖2為振型結(jié)果，藍(lán)色線代表的是桁架橋原位曲線，紅色線和黑色線分別為MATLAB和ANSYS提取的振型結(jié)果。從表1以及圖2的模態(tài)結(jié)果對比，可以看出兩種軟件結(jié)果吻合較好，充分說明所建模型的準(zhǔn)確性。

3.2 主自由度優(yōu)化選取仿真研究

上圖3為桁架橋模型下部的示意圖，根據(jù)結(jié)構(gòu)對稱性以及振型特點(diǎn)，將節(jié)點(diǎn)的豎向自由度作為主要自由度，故可選取的主自由度為1-18號節(jié)點(diǎn)的豎向自由度。待識別建模參數(shù)取為桁架橋下方前八個(gè)縱梁單元的剛度矩陣，共8個(gè)。采用遺傳算法分別獲得6和8個(gè)主自由度組合時(shí)的優(yōu)化結(jié)果，并采用窮舉法驗(yàn)證，因組合數(shù)較多，不列表顯示。

圖2 MATLAB與ANSYS前四階振型結(jié)果

圖3 桁架橋主自由度示意圖

為進(jìn)一步驗(yàn)證，主自由度優(yōu)化結(jié)果的正確性，選取部分不同的主自由度組合與優(yōu)化得到的主自由度組合，進(jìn)行損傷識別結(jié)果對比；一共各選取4種非最優(yōu)組合，以下是6個(gè)主自由度組合識別結(jié)果對比：

表2 6個(gè)主自由度的各參數(shù)識別結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差

將表2中的結(jié)果繪制成圖，如下圖：

圖4 6個(gè)主自由度的參數(shù)識別結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差

上圖4中紅色線為優(yōu)化得到的主自由度組合，其余為非最優(yōu)組合。從圖4中可以看出，除了極少數(shù)的參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差偏大之外，優(yōu)化得到的主自由度組合識別結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差絕大部分都是最小的，也就說明，這個(gè)主自由度組合更優(yōu)，參數(shù)識別結(jié)果的不確定性最小。其中主自由度的編號為2、22、32、42、47、52〗，也即是下圖中紅色箭頭所標(biāo)注節(jié)點(diǎn)的豎向自由度組合，如圖5所示。

圖5 6個(gè)優(yōu)化的主自由度組合示意圖

圖6 8個(gè)主自由度組合的參數(shù)識別結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差

以上給出主自由度個(gè)數(shù)為6時(shí)的最優(yōu)主自由度組合。為進(jìn)一步說明結(jié)果的正確性，將主自由度的個(gè)數(shù)定為8個(gè)，也對應(yīng)選取4種不同的主自由度組合進(jìn)行對比，識別結(jié)果如下：

表3 8個(gè)主自由度的各參數(shù)識別結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差

將表3中的結(jié)果繪制成圖，如下圖：

上圖6中每條曲線的含義同圖4相同，紅色線為遺傳算法優(yōu)化得到的主自由度組合，其余為任意選取的與之對比的主自由度組合。每個(gè)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差越小，表示識別結(jié)果更穩(wěn)定，不確定性更小。根據(jù)上文給出的結(jié)論，可以得到，優(yōu)化得到的主自由度組合識別結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差絕大部分都是最小的，也就說明，這個(gè)主自由度組合更優(yōu)；此種主自由度組合下各個(gè)自由度編號為2、12、22、27、47、52、82、87，如圖7所示，紅色箭頭所標(biāo)注節(jié)點(diǎn)的豎向自由度組合。

圖7 8個(gè)優(yōu)化的主自由度組合示意圖

圖8 (a)桁架橋模型 (b)實(shí)驗(yàn)裝置系統(tǒng)

為進(jìn)一步分析主自由度對比選取的結(jié)果，將上文中設(shè)置的兩種工況，分別選定6個(gè)和8個(gè)主自由度的優(yōu)化組合結(jié)果進(jìn)行對比如下表4所示，從表4中可以看出主自由度的選取個(gè)數(shù)增加會使s/s0的值變小，說明隨著主自由度個(gè)數(shù)的增多，計(jì)算中結(jié)構(gòu)的所包含的信息量逐漸增大，這也說明結(jié)構(gòu)中待識別建模參數(shù)識別結(jié)果的不確定性逐漸減小。

表4 桁架橋兩種工況下計(jì)算結(jié)果表

3.3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

該桁架橋模型的幾何參數(shù)與第一節(jié)給出的數(shù)值仿真參數(shù)一致，符合工程設(shè)計(jì)，以下為實(shí)驗(yàn)室桁架橋模型以及實(shí)驗(yàn)裝置系統(tǒng)，如圖8(a)和(b)所示：

實(shí)驗(yàn)室桁架橋模態(tài)提取試驗(yàn)采用的實(shí)驗(yàn)裝置系統(tǒng)主要有桁架橋模型、數(shù)據(jù)采集儀(KT6016)，N-Modal模態(tài)分析軟件、IEPE型加速度傳感器(KT11000L)、沖擊錘、筆記本電腦以及若干導(dǎo)線等。

圖9 桁架橋?qū)嶒?yàn)流程圖

圖10 (a) 5號傳感器與12傳感器的加速度時(shí)程響應(yīng)比較

圖11 (a) 5號節(jié)點(diǎn)與12號節(jié)點(diǎn)的傳感器的FFT圖

此桁架橋模態(tài)提取實(shí)驗(yàn)首先利用沖擊錘對桁架橋模型施加一個(gè)垂直短時(shí)的沖擊荷載，然后利用吸附在橫梁上的加速度傳感器獲得桁架橋在豎直方向的自由響應(yīng)信號，此時(shí)利用數(shù)據(jù)采集儀采集加速度響應(yīng)歷程數(shù)據(jù)并保存至筆記本電腦中，最后運(yùn)用N-Modal模態(tài)分析軟件提取桁架橋的頻率與振型的參數(shù)信息，具體操作流程如下圖9所示。

采樣頻率為100Hz,采樣時(shí)間為10s，選取其中的5號節(jié)點(diǎn)、7號節(jié)點(diǎn)以及12號節(jié)點(diǎn)進(jìn)行加速度響應(yīng)分析，各節(jié)點(diǎn)的加速度響應(yīng)曲線如下圖10所示，紅色線是5號節(jié)點(diǎn)上的傳感器采集到的加速度響應(yīng)信號曲線，藍(lán)色線為7號與12號節(jié)點(diǎn)的傳感器采集到的加速度響應(yīng)信號曲線，從圖中可以看出5號節(jié)點(diǎn)的傳感器的響應(yīng)信號與7、12節(jié)點(diǎn)的加速度信號存在一定區(qū)別，相對而言5號傳感器位于振型的中心，故而采集得到的信息量更多。

為了驗(yàn)證仿真結(jié)果，當(dāng)選取的主自由度個(gè)數(shù)為1個(gè)時(shí)，將最優(yōu)主自由度以及其中部分非最優(yōu)主自由度對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值列于下表5所示。

表5 不同主自由度對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值

從上表5中可知，最優(yōu)主自由度為5號節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的豎向自由度，將傳感器分別布置在最優(yōu)的主自由度位置即5號節(jié)點(diǎn)的豎向自由度，與另外非最優(yōu)位置的7號、12號節(jié)點(diǎn)的豎向自由度，得到不同的響應(yīng)FFT圖，如圖11所示。

圖11中，紅色曲線為5號節(jié)點(diǎn)處的傳感器的時(shí)程響應(yīng)曲線，藍(lán)色曲線分別為7、12號節(jié)點(diǎn)處傳感器對應(yīng)的響應(yīng)信息。從每個(gè)圖中都可以很清晰的看出，所用方法選擇出的最優(yōu)主自由度即5號節(jié)點(diǎn)的豎向自由度得到的頻率成分更加豐富，說明了所采用方法的正確性。

5 結(jié) 論

采用文中的方法可得到優(yōu)化的主自由度組合，表明貝葉斯統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)識別方法能夠很方便地識別出待識別結(jié)構(gòu)建模參數(shù)的最優(yōu)值以及相應(yīng)的不確定性；信息熵指標(biāo)能夠定量的評估待識別參數(shù)的不確定性程度。增加主自由度的數(shù)量可減小結(jié)構(gòu)待識別參數(shù)的不確定性。以桁架橋?yàn)槔砻髂軌蜻m合于橋梁結(jié)構(gòu)的主自由度優(yōu)化選取問題求解。