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    基于隨機子空間方法的懸臂結(jié)構(gòu)損傷識別研究

    2018-08-02 02:02:58唐盛華張國剛
    振動與沖擊 2018年14期
    關(guān)鍵詞:指標(biāo)值測點矩陣

    唐盛華, 方 志, 張國剛

    (1. 湘潭大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院,湖南 湘潭 411105; 2. 湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院,長沙 410082;3. 湖南省交通規(guī)劃勘察設(shè)計院,長沙 410008)

    損傷識別是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)的重要組成部分,損傷識別的目的在于通過現(xiàn)場測試數(shù)據(jù),分析判斷結(jié)構(gòu)的狀態(tài),從而區(qū)別結(jié)構(gòu)損傷與非損傷狀態(tài),達到對結(jié)構(gòu)進行損傷預(yù)警、損傷定位及損傷程度估計等健康監(jiān)測的目的。如何有效地提取對結(jié)構(gòu)損傷敏感的特征參數(shù)是損傷識別的關(guān)鍵,損傷一般會引起結(jié)構(gòu)剛度的下降,導(dǎo)致結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)發(fā)生變化,如頻率的降低。由于結(jié)構(gòu)動力參數(shù)的測試不影響結(jié)構(gòu)的正常使用,如橋梁結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)測試時可以不封閉交通,因而,采用結(jié)構(gòu)動力參數(shù)進行損傷識別非常普遍。健康監(jiān)測系統(tǒng)能實時采集結(jié)構(gòu)的各種動力響應(yīng)信號,使基于動力參數(shù)的損傷識別方法也更加方便。

    土木工程結(jié)構(gòu)由于其質(zhì)量和剛度一般很大,進行激勵非常困難,故利用環(huán)境激勵下的響應(yīng)信號進行損傷識別是一個重要研究方向。隨機子空間方法基于結(jié)構(gòu)受未知白噪聲激勵的假定,非常適合土木工程結(jié)構(gòu)的動力特性描述。自O(shè)verschee等[1]提出隨機子空間方法(SSI)以來,國內(nèi)外的學(xué)者在隨機子空間方法識別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)方面取得了較大進展[2-9],SSI方法模態(tài)參數(shù)識別過程需輸入的參數(shù)量少,不需要迭代計算,無收斂性問題。亦有學(xué)者將隨機子空間方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)損傷識別中,取得了一定的研究成果,Basseville等[10]基于子空間方法,采用χ2檢驗識別結(jié)構(gòu)損傷;Yan等[11-12]利用SSI方法獲得系統(tǒng)未損傷狀態(tài)下的卡爾曼濾波模型,由模型輸出殘差的大小來判斷結(jié)構(gòu)有無損傷,此外,還利用子空間夾角進行損傷檢測;林友勤等[13-14]由系統(tǒng)矩陣能控標(biāo)準(zhǔn)形構(gòu)造結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)主要用來區(qū)別結(jié)構(gòu)的不同狀態(tài);Kim等[15]使用觀測標(biāo)準(zhǔn)型對一框架結(jié)構(gòu)進行損傷識別。對于實際工程結(jié)構(gòu),目前研究者多注重結(jié)構(gòu)有無損傷的判斷,鮮見使用隨機子空間方法進行損傷定位的試驗研究。

    本文基于隨機子空間方法,提出了一種損傷特征指標(biāo)構(gòu)造方法。對振動測量信號,利用數(shù)據(jù)驅(qū)動隨機子空間識別方法得到隨機狀態(tài)空間模型。通過兩個變換矩陣T、T1將狀態(tài)空間矩陣A轉(zhuǎn)化為特定形式,由向量馬氏距離構(gòu)造損傷指標(biāo),通過矩陣T變換后的A矩陣對結(jié)構(gòu)進行有無損傷及相對損傷程度的判斷,通過矩陣T1變換后的A矩陣進行損傷定位。通過一三自由度懸臂結(jié)構(gòu)仿真算例和一座模型斜拉橋橋塔損傷試驗,表明該方法的有效性。

    1 數(shù)據(jù)驅(qū)動隨機子空間模型

    對m維的時間序列yk=y(kΔt) (k=1,2,…,N),N為總采樣點數(shù), Δt為采樣時間間隔,則隨機狀態(tài)空間模型為

    (1)

    式中:A∈Rn×n為離散狀態(tài)空間矩陣,C∈Rm×n為離散輸出矩陣(m為測點數(shù)、n為系統(tǒng)階次),xk為n維狀態(tài)向量,wk∈Rn、vk∈Rm分別為建模誤差噪聲、測量噪聲。

    輸出數(shù)據(jù)構(gòu)造的Hankel矩陣為:

    (2)

    式中: Hankel矩陣包含2i個“塊行”,每一塊行由m行組成,j為矩陣的列數(shù)。

    數(shù)據(jù)驅(qū)動隨機子空間識別方法采用投影法進行計算:

    (3)

    投影矩陣Pi可表示成可觀矩陣Qi與卡爾曼濾波狀態(tài)向量的乘積:

    (4)

    Oi=[CCA…CAi-1]T

    (5)

    將隨機狀態(tài)空間模型(1)通過Kalman狀態(tài)濾波,得到新息狀態(tài)模型

    (6)

    新息狀態(tài)模型(6)由三元組(A,C,K)完全確定,由線性系統(tǒng)的理論可知,具有相同輸入-輸出關(guān)系的系統(tǒng),狀態(tài)方程與狀態(tài)變量的選取有關(guān),對于式(6)所表達的系統(tǒng),考慮滿秩線性變換

    (7)

    將式(7)代入式(6)得

    (8)

    A2=TAT-1,C2=CT-1,K2=TK

    (9)

    則稱(A,C,K)、(A2,C2,K2)是等價的。如果兩個系統(tǒng)等價,則A、A2相似,故它們有相同的特征值。由于T矩陣無窮多,因此,便產(chǎn)生了狀態(tài)模型多樣性的問題。

    2 變換矩陣

    設(shè)由兩個時刻未損傷狀態(tài)數(shù)據(jù)得到的系統(tǒng)矩陣為(A,C,K)、(A2,C2,K2),對矩陣A、A2進行特征值分解

    (10)

    式中:Ψ,Ψ2∈Cn×n是特征向量矩陣,Λ,Λ2∈Cn×n是特征值矩陣。

    因均為無損傷狀態(tài)下的結(jié)果,故兩個系統(tǒng)等價,即存在非奇異變換矩陣T,使得式(11)成立

    (11)

    因Λ=Λ2,于是

    (12)

    (13)

    故通過變換矩陣T可以將其它狀態(tài)的A矩陣轉(zhuǎn)化為某一特定狀態(tài)。

    為了進行損傷定位,構(gòu)造變換矩陣[16-17]

    (14)

    可見,T1為式(5)中Oi矩陣的前兩個塊行組成的矩陣。

    假設(shè):

    (15)

    則有:

    (16)

    于是

    (17)

    (18)

    即通過變換矩陣T1使得矩陣C化為單位矩陣和零矩陣的組合,變換后的A矩陣前m行由零矩陣和單位矩陣組成,后m行與測點相對應(yīng),嘗試用來檢測損傷位置。

    3 損傷指標(biāo)

    采用距離判別兩個向量之間的接近程度,設(shè)兩個樣本總體U,Z均含N個樣本(矩陣中一行為一個樣本,一個樣本有n′個元素)

    (19)

    (20)

    向量Ui到Z的馬氏距離為

    (21)

    樣本總體U到Z的馬氏距離為

    (22)

    為了方便損傷指標(biāo)的說明,采用下標(biāo)0,r,t分別表示基準(zhǔn)狀態(tài)、參考狀態(tài)和檢驗狀態(tài),其中前兩個狀態(tài)為未損傷狀態(tài)。

    3.1 矩陣T變換后A矩陣損傷指標(biāo)

    取基準(zhǔn)狀態(tài)一個樣本計算A矩陣, 分解得Ψ矩陣,再取各狀態(tài)N個樣本分別計算A矩陣, 分解到Ψ2矩陣, 由式(13)、式(11)可求得變換后的A矩陣, 取A矩陣第一行元素構(gòu)造損傷指標(biāo),如式(23)。

    (23)

    (24)

    3.2 矩陣T1變換后A矩陣損傷指標(biāo)

    取變換后A矩陣的后m行矩陣[CA2Q1CA2Q2], 記為α矩陣構(gòu)造損傷指標(biāo), 第i行元素X(X=0,r,t)狀態(tài)的樣本為

    (25)

    故第i個測點的損傷指標(biāo)為

    (26)

    全部測點的損傷指標(biāo)為

    IT1=[I1I2…Im]T

    (27)

    3.3 模型殘差損傷指標(biāo)

    模型殘差損傷指標(biāo)[11]用于與本文損傷指標(biāo)進行對比,計算方法如下

    (28)

    (29)

    (30)

    X(X=0,r,t)狀態(tài)的樣本為

    eX=[eX1eX2…eXN]T

    (31)

    這樣可以得到預(yù)測誤差序列,根據(jù)卡爾曼濾波的特點,剛開始ek將出現(xiàn)明顯的振蕩,但很快將趨向于穩(wěn)定,故文中采用去除前40%數(shù)據(jù)的方法按下式計算損傷指標(biāo)

    (32)

    4 損傷指標(biāo)應(yīng)用

    4.1 數(shù)值算例

    如圖1所示的三自由度懸臂結(jié)構(gòu),材料彈性模量為Ec=3.2×104MPa, 柱的截面尺寸為50 mm×50 mm,采用柱彈性模量降低模擬損傷,柱底施加白噪聲激勵。用有限元法模擬結(jié)構(gòu)響應(yīng),按100 Hz采樣頻率提取各節(jié)點加速度信號,1號測點響應(yīng)如圖2,各狀態(tài)下測點均采集10 240個數(shù)據(jù)。

    圖1 三自由度模型(cm)Fig.1 Three degrees of freedom model (cm)

    圖2 測點1加速度時程Fig.2 Acceleration time history of measuring point 1

    4.1.1 模型殘差損傷指標(biāo)Ie

    分析時數(shù)據(jù)Hankel矩陣的列數(shù)取4 096,塊行數(shù)取50,階數(shù)取6。下柱損傷10%時,損傷指標(biāo)如圖3,圖中前一半數(shù)據(jù)為參考狀態(tài)樣本到基準(zhǔn)狀態(tài)樣本的距離Dr, 后一半為檢驗狀態(tài)樣本到基準(zhǔn)狀態(tài)樣本的距離Dt。下柱各損傷狀態(tài)下的損傷指標(biāo)如圖4,損傷程度和指標(biāo)值在損傷程度小于50%時基本呈線性關(guān)系。

    圖3 下柱損傷10% Ie指標(biāo)Fig.3 Ie index of bottom column damage 10%

    圖4 下柱損傷Ie指標(biāo)Fig.4 Ie index of bottom column damage

    4.1.2 矩陣T變換后A矩陣損傷指標(biāo)IT

    參數(shù)設(shè)置同4.1.1,共分析15個樣本。各柱分別損傷10%時,損傷指標(biāo)如圖5,可見各樣本值基本一致,損傷后馬氏距離明顯變大,各柱損傷IT指標(biāo)均能正確進行損傷判斷。下柱各損傷狀態(tài)下的損傷指標(biāo)如圖6,損傷程度和指標(biāo)值基本呈線性關(guān)系,識別效果優(yōu)于模型殘差指標(biāo)。

    圖5 各柱損傷10% IT指標(biāo)Fig.5 IT index of each column damage 10%

    圖6 下柱損傷IT指標(biāo)Fig.6 IT index of bottom column damage

    4.1.3 矩陣T1變換后A矩陣損傷指標(biāo)IT1

    各柱分別損傷10%時,1~3測點的損傷指標(biāo)如圖7,1測點損傷指標(biāo)明顯比2、3測點大,與下柱損傷吻合(圖7(a)),中柱損傷時1、2測點指標(biāo)值較接近,大于3測點(圖7(b)),上柱損傷時2測點指標(biāo)值最大,3測點大于1測點,與損傷情況較為吻合(圖7(c))。下柱各損傷狀態(tài)下的損傷指標(biāo)如圖8,指標(biāo)能較好識別出損傷位置。

    圖7 各柱損傷10% IT1指標(biāo)Fig.7 IT1 index of each column damage 10%

    圖8 下柱損傷IT1指標(biāo)Fig.8 IT1 index of bottom column damage

    4.2 模型斜拉橋橋塔損傷試驗

    模型橋按1∶15的幾何相似比制作[18],主梁采用C50混凝土,索塔、橋墩采用C30混凝土,斜拉索采用高強鋼絲,總體布置見圖9。上塔柱截面如圖10,上斜塔柱頂與上塔柱無連接,為懸臂構(gòu)件,故上塔柱在橫橋向相當(dāng)于懸臂柱。

    圖9 模型橋總體布置(mm)Fig.9 The overall arrangement of the model bridge (mm)

    圖10 上塔柱截面(mm)Fig.10 The upper tower cross section (mm)

    對模型橋一側(cè)橋塔進行了損傷試驗,該塔柱預(yù)應(yīng)力大小為315 kN,損傷程度通過在塔頂施加不同大小的水平荷載進行控制,加載裝置如圖11,通過拉力計控制荷載大小,水平力距橋面6.55 m,分三個工況加載,荷載大小分別為8 kN、12 kN、16.5 kN,荷載-位移曲線如圖12。裂縫如圖13所示,裂縫主要集中在橋面以上3.5 m范圍內(nèi),工況一~工況三的最大裂縫寬度(卸載后未閉合裂縫寬度)分別為0.09(0) mm、0.15(0) mm、0.22 (0.06) mm。

    圖11 塔損傷加載裝置(mm)Fig.11 Experimental setup of tower damage (mm)

    圖12 荷載位移曲線Fig.12 Load displacement curve

    圖13 裂縫圖(mm)Fig.13 Crack map (mm)

    4.2.1 模態(tài)參數(shù)識別

    橋塔模態(tài)測試傳感器布置如圖14,按1~4測點、4~7測點分組測試,共7個測點,為了增加橋塔橫橋向的振動量,使用力錘在塔頂(8號點)施加一定的激勵,加速傳感器采樣頻率109 Hz,每個工況進行三次測試,每次測試采集10 240個數(shù)據(jù),7測點未損傷狀態(tài)的數(shù)據(jù)如圖15。

    各工況下識別的基頻變化如圖16,三次測試樣本識別的頻率結(jié)果接近,頻率隨著損傷程度的增加而降低,工況三時基頻降低4.4%。

    圖14 塔測點布置Fig.14 Tower measuring point arrangement

    圖15 測點7響應(yīng)信號Fig.15 Response signal of measuring point 7

    圖16 一階頻率變化Fig.16 First order frequency variation

    4.2.2 模型殘差損傷指標(biāo)Ie

    分析時數(shù)據(jù)Hankel矩陣的列數(shù)取4 096,塊行數(shù)取50,階數(shù)取6。工況一由1~4測點數(shù)據(jù)識別的損傷指標(biāo)如圖17,指標(biāo)值接近1,無法判別有無損傷。各工況的損傷指標(biāo)如圖18,可見,兩組測點各工況下的指標(biāo)值均很小,不能判斷結(jié)構(gòu)有無損傷。說明對于變化幅度大的響應(yīng)信號(如突加激勵影響)模型殘差損傷指標(biāo)幾乎不能進行損傷識別。

    圖17 工況一1~4測點Ie指標(biāo)Fig.17 Ie index of 1~4 measuring points of case 1

    圖18 Ie指標(biāo)Fig.18 Ie index

    4.2.3 矩陣T變換后A矩陣損傷指標(biāo)IT

    參數(shù)設(shè)置同4.2.2,共分析15個樣本。工況一由1~4測點數(shù)據(jù)識別的損傷指標(biāo)如圖19,各工況的損傷指標(biāo)如圖20,指標(biāo)值明顯大于1,可判斷結(jié)構(gòu)存在損傷,隨著損傷程度的增加,指標(biāo)值增加,1~4測點損傷指標(biāo)值大于4~7測點。

    圖19 工況一1~4測點IT指標(biāo)Fig.19 IT index of 1~4 measuring points of case 1

    圖20 IT指標(biāo)Fig.20 IT index

    4.2.4 矩陣T1變換后A矩陣損傷指標(biāo)IT1

    工況一由1~4測點數(shù)據(jù)識別的損傷指標(biāo)如圖21,工況一1~4測點、4~7測點兩組數(shù)據(jù)識別的損傷指標(biāo)如圖22,通過4測點,將后3個測點的損傷指標(biāo)與前四個測點統(tǒng)一起來,各工況的損傷指標(biāo)如圖23,可見,損傷區(qū)域的測點損傷指標(biāo)值較未損傷區(qū)域的大,可以較好的識別出上塔柱下部區(qū)域發(fā)生損傷。

    圖21 工況一1~4測點IT1指標(biāo)Fig.21 IT1 index of 1~4 measuring points of case 1

    圖22 工況一IT1指標(biāo)Fig.22 IT1 index of case 1

    圖23 IT1指標(biāo)Fig.23 IT1 index

    5 結(jié) 論

    本文對基于隨機子空間方法的損傷識別進行了試驗研究,為了克服離散狀態(tài)空間矩陣A的多樣性,構(gòu)造了兩個變換矩陣T、T1,通過變換矩陣T可以將任意狀態(tài)的A矩陣轉(zhuǎn)化為某一特定狀態(tài)(損傷指標(biāo)記為IT);通過變換矩陣T1使得離散輸出矩陣C化為單位矩陣和零矩陣的組合,變換后的A矩陣前m行(m為測點數(shù))由零矩陣和單位矩陣組成,后m行與測點相對應(yīng),可用來進行損傷定位(損傷指標(biāo)記為IT1)。損傷指標(biāo)采用統(tǒng)計方法確定,由損傷前后樣本馬氏距離計算得到。

    通過一三自由度懸臂結(jié)構(gòu)仿真模型和一座模型斜拉橋橋塔損傷試驗,分析結(jié)果表明,模型殘差損傷指標(biāo)Ie能用于白噪聲激勵響應(yīng)信號的損傷識別,無法對變化幅度大的響應(yīng)信號進行損傷識別;IT指標(biāo)對兩類信號均能夠較好的識別有無損傷及相對損傷程度,損傷程度與指標(biāo)值基本呈線性關(guān)系;IT1指標(biāo)可以對損傷進行定位。故通過IT、IT1指標(biāo)的聯(lián)合應(yīng)用,可對懸臂結(jié)構(gòu)進行相對損傷程度和損傷位置的識別。對其它結(jié)構(gòu)類型,指標(biāo)的損傷識別效果有待進一步的檢驗。

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