基于反射變異策略的自適應(yīng)差分進(jìn)化算法

錢武文，柴軍瑞，張子映，談 然

西北旱區(qū)生態(tài)水利工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地（西安理工大學(xué)），西安 710048

1 引言

差分進(jìn)化算法[1]（DE）于1995年提出，是一種類似遺傳算法、蟻群算法的群優(yōu)化算法，具有結(jié)構(gòu)簡單易于操作、對(duì)求解函數(shù)無特殊要求以及參數(shù)少的優(yōu)點(diǎn)。作為一種群體智能優(yōu)化算法，DE也同樣易于發(fā)生算法早熟和進(jìn)化停滯。缺乏種群多樣性是導(dǎo)致DE發(fā)生早熟收斂的主要原因。DE使用貪婪的選擇策略，個(gè)體只在生成了具有更好適應(yīng)值個(gè)體的前提下才能發(fā)生進(jìn)化。對(duì)于最小值優(yōu)化問題，從統(tǒng)計(jì)上講，個(gè)體函數(shù)值越小其發(fā)生進(jìn)化的概率也越小。因此，如何更好地維持DE的種群多樣性和增強(qiáng)子代生成策略的魯棒性是改進(jìn)DE的兩個(gè)重要方向。

DE具有縮放因子(F)，交叉因子(CR)和種群規(guī)模(NP)三種參數(shù)，其中F和CR是子代生成策略直接使用的兩種參數(shù)。相比原始DE使用固定的F和CR值，自適應(yīng)變化的F和CR能改善DE的性能。針對(duì)這兩個(gè)參數(shù)，研究者們提出了多種自動(dòng)調(diào)節(jié)參數(shù)的方法[2-4]。文獻(xiàn)[5]提出一種遺傳成功個(gè)體的參數(shù)而失敗個(gè)體參數(shù)重生成的參數(shù)調(diào)節(jié)方法（jDE）。Zhang等[6]提出一種具有反饋調(diào)節(jié)的自適應(yīng)參數(shù)調(diào)節(jié)方法（JADE），該方法能根據(jù)成功個(gè)體的參數(shù)信息反饋調(diào)節(jié)F和CR的值。Tanabe等[7]在JADE的基礎(chǔ)上，提出了一種帶歷史參數(shù)存儲(chǔ)的自適應(yīng)方法（SHADE），該方法在JADE的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提升了算法的魯棒性。

子代生成策略高度影響著DE的性能。算法的全局探測能力和局部開采能力是相互對(duì)立的。國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)怎樣平衡DE的探測和開采能力方面提出了一些改進(jìn)的子代生成策略[8-10]。Zhang等[6]基于current-to-best/1提出了一種新型的變異策略current-to-pbest/1，即從 p個(gè)最優(yōu)個(gè)體任選一個(gè)代替current-to-best/1中的最好個(gè)體。Mohamed[11]提出了一種基于三角變異策略的改進(jìn)DE，其在無約束全局優(yōu)化問題中取得了不錯(cuò)的效果。Yi等[12]提出了一種混合的變異策略，該變異策略使用全局探測性能較強(qiáng)的ran/1和局部開采能力較強(qiáng)的currentto-best/1按一定規(guī)則混合使用。

NP作為DE的另一大參數(shù)，相比其他兩個(gè)參數(shù)國內(nèi)外學(xué)者對(duì)NP的研究較少。主要在于一些學(xué)者發(fā)現(xiàn)當(dāng)引入一些自適應(yīng)策略去控制種群規(guī)模后，可能使得算法停滯和早熟收斂變得更糟[13]。當(dāng)前的自適應(yīng)控制種群規(guī)模的方法[14-15]共同體現(xiàn)出了一個(gè)問題，那就是增加種群規(guī)模會(huì)降低找到正確搜索方向的可能性，而降低種群規(guī)模則導(dǎo)致早熟收斂和算法停滯的可能性增加。

Nelder-Mead方法是一種無約束非線性優(yōu)化的直接搜索方法，使用D+1個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的廣義三角形作為單純形進(jìn)行搜索，有著優(yōu)秀的局部收斂速度。本文受Nelder-Mead方法啟發(fā)，提出了一種類似Nelder-Mead方法中反射操作的變異策略，稱為反射變異策略。該策略使用隨機(jī)的4個(gè)個(gè)體完成一次變異操作，具有明確的變異方向。參與變異操作的個(gè)體的選擇隨機(jī)性降低了算法早熟的可能性。引入了一種控制參數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)方法，結(jié)合本文提出的變異策略使用固定的種群規(guī)模組成了RMADE算法以期進(jìn)一步提升算法的整體性能。大量實(shí)驗(yàn)測試表明反射變異策略的提出的價(jià)值。

2 基本差分進(jìn)化算法

2.1 初始化種群

DE基于實(shí)數(shù)編碼，首先在問題的可行域上隨機(jī)生成初始種群，Xi=(xi,1,xi,2,…,xi,D),i={1,2,…,NP}，其中D為變量的個(gè)數(shù)，NP為種群規(guī)模。具體操作如下：

其中，xmin,j，xmax,j分別為第 j維的最小值和最大值，r為[0，1]之間的均勻隨機(jī)數(shù)。

2.2 變異操作

與其他進(jìn)化算法的變異操作不同的是，DE采用父代的差分矢量作為其最基本的變異成分，每個(gè)差分矢量是由父代中兩個(gè)不同的個(gè)體相減得到，對(duì)差分矢量進(jìn)行縮放后，與種群中另外的相異個(gè)體進(jìn)行相加便得到變異矢量。目前，已有幾種主要的變異矢量的生成方法，其相應(yīng)表達(dá)式見表1，其中：g為代數(shù)，Xbest,g為第g代群體找到的最優(yōu)位置；Xa,g,Xb,g,Xc,g,Xd,g,Xe,g為隨機(jī)選擇的5個(gè)不同個(gè)體，F(xiàn)為縮放因子。

表1 基本變異策略的名稱及表達(dá)式

2.3 交叉操作

為了提高種群的多樣性，DE引入交叉操作，使得實(shí)驗(yàn)向量至少有一位分量由變異矢量貢獻(xiàn)，具體如下：

其中，CR為交叉算子，r為0～1的均勻隨機(jī)數(shù)，jrand為[1，D]的隨機(jī)整數(shù)。

2.4 選擇操作

良好的選擇策略能顯著提高算法的收斂性能，DE采用“貪婪”的選擇策略，通過由經(jīng)過變異和交叉操作所生成的實(shí)驗(yàn)個(gè)體與父代個(gè)體進(jìn)行競爭，擇優(yōu)選擇進(jìn)入下一代種群中的個(gè)體，具體如下：

（1）最小值問題

（2）最大值問題

為了不失一般性，本文的研究為最小值優(yōu)化問題。

3 提出的算法

將詳細(xì)介紹本文提出的基于反射變異策略的自適應(yīng)差分進(jìn)化算法（RMADE），首先介紹提出的反射變異策略。

3.1 反射變異策略

作為一種無約束非線性優(yōu)化的直接搜索方法，Nelder-Mead方法使用單純形進(jìn)行搜索（對(duì)于D維優(yōu)化問題，其單純形是D+1個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的廣義三角形）。首先，計(jì)算單純形各頂點(diǎn)的函數(shù)值并對(duì)其按從小到大進(jìn)行排序，得到最好點(diǎn)、次壞點(diǎn)和最壞點(diǎn)。由除最壞點(diǎn)外的其余個(gè)體計(jì)算單純形中心，然后通過反射、擴(kuò)張、收縮和壓縮等操作搜索更好的點(diǎn)構(gòu)成新的單純形，當(dāng)達(dá)到預(yù)期的精度或其他終止條件時(shí)，方法終止，否則，迭代單純形。Nelder-Mead方法簡單易于實(shí)現(xiàn)，且適用于導(dǎo)數(shù)未知的非線性最優(yōu)化問題，有著優(yōu)秀的局部收斂速度，因此，Nelder-Mead方法廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。

盡管Nelder-Mead方法存在上述優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)初始解有著較強(qiáng)的依賴性，并且當(dāng)求解多模態(tài)問題時(shí)，易于陷入局部收斂。因此，除了對(duì)于一些特定問題的優(yōu)化外，Nelder-Mead方法有著很大的局限性。Nelder-Mead方法的反射是最壞點(diǎn)基于中心點(diǎn)的反射，其擴(kuò)張操作進(jìn)行的前提是反射點(diǎn)優(yōu)于最好點(diǎn)。收縮操作是在反射點(diǎn)劣于次壞點(diǎn)的情況下進(jìn)行的。若反射和收縮操作都不能找到優(yōu)于次壞點(diǎn)的點(diǎn)時(shí)，才進(jìn)行壓縮操作。壓縮操作的作用是壓縮搜索空間。反射和擴(kuò)張操作的搜索方向是一致的，都是最壞點(diǎn)到中心點(diǎn)的方向。差分進(jìn)化算法經(jīng)過一定的進(jìn)化代數(shù)后，種群個(gè)體將呈現(xiàn)出往最優(yōu)解附近聚集的趨勢[16-17]。因此，差分進(jìn)化算法的搜索過程實(shí)際上是和Nelder-Mead方法的壓縮操作類似。受Nelder-Mead方法啟發(fā)，提出一種新型的變異策略，本文稱之為反射變異策略。該變異策略同樣引入一種單純形的概念，即不論求解問題的維數(shù)，始終選擇種群中的4個(gè)任意個(gè)體組成單純形，每完成一次變異操作須引入一個(gè)單純形。該策略操作如下：

其中，Vi,g為i個(gè)體在g代的試向量；Xo,g是單純形中心；Xa,g和Xd,g分別為單純形中的最好點(diǎn)和最壞點(diǎn)，F(xiàn)為變異縮放因子。

不同于Nelder-Mead方法，本文使用的單純形中心Xo,g是根據(jù)單純形頂點(diǎn)的函數(shù)值計(jì)算的，并且除最壞點(diǎn)外的各個(gè)頂點(diǎn)均按其函數(shù)值權(quán)重分配到中心中。單純形中心Xo,g的計(jì)算公式如下：

其中，w1，w2和w3分別為除最壞點(diǎn)外的其余單純形頂點(diǎn)的權(quán)重；Xa,g,Xb,g和Xc,g為除最壞點(diǎn)外的剩余單純形頂點(diǎn)。

這種變異策略既類似于Nelder-Mead方法中的反射操作，具有明確的搜索方向，又類似于基本差分進(jìn)化算法中的rand/1變異操作，其基向量擁有一定的隨機(jī)性。采用本文提出的變異操作生成子代個(gè)體的過程如圖1所示。

圖1 反射變異策略的變異操作示意圖

3.2 控制參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整機(jī)制

傳統(tǒng)的差分進(jìn)化算法采用固定的變異因子和交叉因子，而針對(duì)不同的優(yōu)化問題，使用固定的控制參數(shù)將嚴(yán)重妨礙了算法的性能。參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整機(jī)制允許每一個(gè)體使用不同于其他個(gè)體的縮放因子F和交叉因子CR去生成子代個(gè)體，且能根據(jù)算法進(jìn)化過程中成功個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)反饋調(diào)節(jié)控制參數(shù)。本文采用SHADE[7]算法中的參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整方法。

F和CR分別由一個(gè)柯西分布和一個(gè)正態(tài)分布隨機(jī)產(chǎn)生，這兩個(gè)分布的標(biāo)準(zhǔn)差都為0.1。均值則是從兩個(gè)大小都為H的用來存儲(chǔ)控制參數(shù)均值的數(shù)組中隨機(jī)抽取。初始這個(gè)數(shù)組中的元素為0.5。

變異因子F和交叉因子CR分別按式（7）和（8）自適應(yīng)生成：

其中，randc(MF,ri,0.1)和randn(MCR,ri,0.1)分別為服從均值為MF,ri標(biāo)準(zhǔn)差為0.1的柯西分布和均值為MCR,ri標(biāo)準(zhǔn)差為0.1的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。當(dāng)Fi＞1，則令Fi＞1；若 Fi＜0，則重新使用公式（8）生成 Fi。CRi∈[0，1]，若超出邊界，則使用距其最近的邊界替換。MF,ri為MF中序號(hào)為ri的元素，MCR,ri為MCR中序號(hào)為ri的元素，ri為一個(gè)1～H的隨機(jī)整數(shù)。MF和MCR內(nèi)的值影響F和CR的隨機(jī)產(chǎn)生，根據(jù)每一個(gè)優(yōu)化問題的不同進(jìn)化階段中成功個(gè)體的參數(shù)信息反饋調(diào)節(jié)MF,ri和MCR,ri的值，將改進(jìn)算法的性能。引入一個(gè)位置參數(shù)pos用來控制MF和MCR的更新位置，pos初始值為1，當(dāng) pos＞H ，則 pos=1，否則 pos每更新完一次則+1。MF,pos和MCR,pos的更新過程如下：

其中，SF和SCR是當(dāng)前代中所有成功個(gè)體的相應(yīng)控制參數(shù)信息。SF和SCR的數(shù)組大小等于當(dāng)前代中成功個(gè)體的個(gè)數(shù)。當(dāng)試向量Ui,G有一個(gè)更低的目標(biāo)函數(shù)值（最小值優(yōu)化問題）時(shí)，其相應(yīng)的母個(gè)體的控制參數(shù)將保存在SF和SCR中，即Fi→SF，CRi→SCR。

其中，meanWA(·)是算術(shù)平均算子，meanWL(·)是Lehmer平均算子。wk為控制MF,i和MCR,i更新的權(quán)值，用于減緩進(jìn)化過程中SCR和SCR可能偏于較小值的問題[18]。使用Δf來記錄成功個(gè)體的減少的函數(shù)值Δf(k)=fold(k)-fnew(k)，數(shù)組Δf的大小等于當(dāng)前代中成功個(gè)體的數(shù)目。

3.3 算法的基本思想和步驟

變異策略DE/rand/1具有很強(qiáng)的全局收斂能力，卻有著較慢的收斂速度。傳統(tǒng)的Nelder-Mead方法具有優(yōu)秀的局部收斂能力，卻有著很差的全局探測能力。怎樣在全局收斂性和局部搜索速度之間尋求一個(gè)平衡是本文的核心。對(duì)此，本文受Nelder-Mead方法啟發(fā)，提出了一種新型的變異策略。該策略既結(jié)合了rand/1的隨機(jī)性，又結(jié)合了Nelder-Mead方法的搜索方向的明確性，因此能在降低早熟收斂的可能性的同時(shí)提高算法的收斂速度。使用自適應(yīng)參數(shù)調(diào)節(jié)方法進(jìn)一步提升了算法的整體性能。具體步驟如下：

步驟1初始化H、縮放因子均值MF和交叉因子均值MCR。

步驟2根據(jù)公式（1）隨機(jī)產(chǎn)生初始種群并計(jì)算初始種群。

步驟3判定是否達(dá)到終止條件，若是轉(zhuǎn)步驟8，若否則轉(zhuǎn)步驟4。

步驟4按公式（7）和（8）隨機(jī)生成控制參數(shù)。

步驟5對(duì)每一靶個(gè)體，從當(dāng)前種群中隨機(jī)抽取4個(gè)個(gè)體，比較它們的函數(shù)值，按公式（5）完成變異操作并按公式（2）完成交叉操作。

步驟6計(jì)算試向量的函數(shù)值并與靶個(gè)體比較，若好于靶個(gè)體，則替換靶個(gè)體。

步驟7根據(jù)公式（9）和（10）更新縮放因子均值MF和交叉因子均值MCR；返回步驟3。

步驟8輸出最優(yōu)個(gè)體。

4 測試函數(shù)與參數(shù)設(shè)置

本文使用的算法使用Frotran90編寫，編譯環(huán)境為Intel Visual FORTRAN Composer XE 2013 with VS2010，在配置為2.83 GHz Intel?Core?2 Quad CPU和4 GB內(nèi)存的計(jì)算機(jī)上運(yùn)行，運(yùn)行Windows 7系統(tǒng)。

4.1 測試函數(shù)

本文采用和文獻(xiàn)[19]相同的12個(gè)測試函數(shù)來進(jìn)行測試算法的性能。 f1～f5為單峰函數(shù)，其中 f5為階梯函數(shù)，f6為噪音函數(shù)，f7～f12為多峰函數(shù)。值得注意的是，f4是Rosenbrock函數(shù)，當(dāng)其維數(shù)D=2和3時(shí)，是單峰函數(shù)，但其在高維問題上存在多個(gè)極小值點(diǎn)[20]。測試函數(shù)的相關(guān)特性如表2所示。

表2 測試函數(shù)的名稱、維數(shù)、搜索空間和最優(yōu)值

4.2 算法性能比較

為了使本文算法具有可比性，將RMDE與HSDE[12]，jDE[5]和SHADE[7]進(jìn)行比較。參與比較的算法的參數(shù)與原文參數(shù)一致。對(duì)于上述12個(gè)問題，種群規(guī)模都設(shè)置為100。記錄獨(dú)立運(yùn)行30次的平均值（Mean）和標(biāo)準(zhǔn)差（Std Dev）。為使實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較具有統(tǒng)計(jì)性，使用Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)對(duì)各算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，使用符號(hào)“+”、“=”和“－”分別表示本文算法比目標(biāo)算法在統(tǒng)計(jì)學(xué)上“顯著更好”、“沒有顯著的更好或更差”和“顯著更差”。為了增加測試結(jié)果的可讀性，將性能表現(xiàn)最好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果加粗顯示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示，表中后3行分別統(tǒng)計(jì)了“+”、“=”和“－”的數(shù)目。

由表3可知，RMADE在單峰函數(shù)和多峰函數(shù)上的求解中都表現(xiàn)出了最好的性能。對(duì)于單峰函數(shù) f1～f5，RMADE表現(xiàn)在函數(shù) f3和 f4上相比其他算法具有顯著優(yōu)勢，在噪音函數(shù) f6的優(yōu)化中，RMADE表現(xiàn)最佳，其次為SHADE、jDE表現(xiàn)最差，說明了本文的算法在求解噪音函數(shù)方面具有較好的抗干擾能力，這主要?dú)w功于本文提出的反射變異策略在生成試向量的過程中使用了較多個(gè)體的信息。RMADE在多峰函數(shù) f7～f12相比其他算法表現(xiàn)最佳，特別在求解函數(shù) f8～f9中，RMADE相比表中其他算法具有顯著的優(yōu)勢，說明RMADE具有不錯(cuò)的全局收斂能力。需要注意的是，RMADE在對(duì)函數(shù) f8的優(yōu)化中在給定的較少函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)的情況下能收斂到全局最優(yōu)值，而其他算法均未完成收斂，說明RMADE相比參與比較的其他算法具有更快的收斂速度?？偟膩碚f，使用反射變異策略并結(jié)合3.2節(jié)中的參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整機(jī)制的RMADE能較好地平衡算法的探測和開發(fā)能力。

表3 RMADE和其他DE變體在12個(gè)測試函數(shù)上的測試結(jié)果

為了更直觀地對(duì)比各算法的收斂速度，繪制了各算法求解上述12個(gè)測試函數(shù)時(shí)的收斂過程曲線，如圖2所示。從圖中可以看出，RMADE在單峰函數(shù)和多峰函數(shù)下都具有最佳的收斂速度。RMADE與SHADE具有可比性，RMADE和SHADE使用相同的參數(shù)調(diào)整機(jī)制但RMADE的收斂速度比SHADE更好，這是由于RMADE采用的反射變異策略利用4個(gè)個(gè)體的信息去指導(dǎo)試向量的生成，并且將其中的最優(yōu)個(gè)體和最劣個(gè)體的差分向量作為變異的方向，從某種程度上講反射變異策略屬于貪婪變異策略。

4.3 變異策略比較

為進(jìn)一步考察本文提出的變異策略在探測和開發(fā)方面的性能，從表2中選取單峰函數(shù) f1和多峰函數(shù) f8作為測試函數(shù)，將本文提出的反射變異策略與表1中基本變異策略進(jìn)行比較。為了保證比較的公平性，所有的變異策略使用二項(xiàng)式交叉策略，并使用3.2節(jié)描述的自適應(yīng)參數(shù)方法。繪制兩種函數(shù)下的收斂過程曲線如圖3所示。

由圖3可知，對(duì)于單峰函數(shù) f1，策略best/1的收斂速度最快、精度最高，其次就是本文提出的反射變異策略，rand/2的收斂速度最慢。對(duì)于多峰函數(shù) f8，只有本文提出的反射變異策略在給定的函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)下搜索到了全局最優(yōu)值0，因此精度最高，其后為rand/1和rand/2。策略best/1、best/2和current-to-best/1在前期收斂速度快，但它們過于強(qiáng)調(diào)算法的開采能力而忽略了算法的探測性，因而陷入了早熟收斂。從總體上看，本文提出的反射變異策略既具有不錯(cuò)的局部收斂速度，又具有良好的全局收斂能力。因此本文提出的反射變異策略相比其他基本的變異策略具有更好的性能，因而其的提出是有意義的。

4.4 自適應(yīng)參數(shù)分析

縮放因子F和交叉因子CR的取值對(duì)算法的性能具有很大的影響，為了研究算法RMADE的參數(shù)自適應(yīng)機(jī)制，繪制了12個(gè)測試函數(shù)下的控制參數(shù)進(jìn)化曲線，如圖4所示。從圖4可以看出，兩參數(shù)的均值(MF和MCR)隨算法的進(jìn)化而取不同的值，以滿足不同階段下的參數(shù)要求。算法求解的函數(shù)類型不同時(shí)，較優(yōu)的參數(shù)取值亦不相同。相比縮放因子F，交叉因子CR對(duì)算法的收斂性有著更加重要的作用。當(dāng)求解單峰函數(shù)時(shí)(f1～f5)，由圖2中可知，交叉因子CR隨著進(jìn)化的進(jìn)行變得越來越大。而在多峰函數(shù)(f7～f12)時(shí)，算法在搜索過程中會(huì)先后經(jīng)歷兩個(gè)階段，即探測和開采。在探測階段，算法所需CR相對(duì)較小以滿足維持種群多樣性的要求，而當(dāng)算法搜索到最優(yōu)解的山谷時(shí)，則即將進(jìn)入開采階段，此時(shí)算法所需的CR相對(duì)較大，以達(dá)到加速開采的目的。從圖2（g）、圖2（h）和圖2（l）中可以明顯地看到 CR 的這一變化過程。對(duì)噪音函數(shù) f6的求解中，由于噪音元素為0～1之間的隨機(jī)數(shù)，因此噪音在搜索初期相對(duì)較小，可以看成普通單峰優(yōu)化問題，隨著進(jìn)化的進(jìn)行，噪音干擾將變得越來越明顯，CR變大將更偏于隨機(jī)搜索。由圖4可知，本文所使用的參數(shù)調(diào)節(jié)機(jī)制能有效地調(diào)整算法各個(gè)進(jìn)化階段下控制參數(shù)的值。

圖2 各算法收斂過程曲線比較

圖3 各變異策略在函數(shù) f1和 f8下的收斂過程曲線

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