一種基于統(tǒng)計(jì)損傷理論的老黏土本構(gòu)模型

李 雋 毅

(上海申元巖土工程有限公司，上海 200021)

老黏土是一種地區(qū)性的黏性土，具有結(jié)構(gòu)性強(qiáng)、超固結(jié)、裂隙節(jié)理發(fā)育的特點(diǎn)，不少學(xué)者進(jìn)行了研究[1,2]。如果將老黏土中具有較弱結(jié)合力的顆粒或裂隙節(jié)理看作缺陷，則其非均勻性可以借用巖石統(tǒng)計(jì)損傷理論，新建基于強(qiáng)度隨機(jī)分布特性的損傷本構(gòu)模型[3]。D-P(Drucker-Prager)準(zhǔn)則作為巖土力學(xué)強(qiáng)度研究中最為重要的理論之一，廣泛應(yīng)用于巖土工程數(shù)值分析[4]和工程實(shí)際應(yīng)用[5]。本文通過(guò)對(duì)老黏土三軸壓縮試驗(yàn)，采用D-P準(zhǔn)則描述合肥老黏土的損傷行為，建立了一種基于Weibull統(tǒng)計(jì)理論的損傷模型，最后比對(duì)分析了圍壓等參數(shù)對(duì)老黏土損傷性質(zhì)的影響。

1 統(tǒng)計(jì)損傷強(qiáng)度理論

壓力作用下，發(fā)生破壞的土體內(nèi)部微元一般會(huì)隨機(jī)分布，并且認(rèn)為土體微元破壞與應(yīng)力—應(yīng)變狀態(tài)存在緊密的關(guān)聯(lián)?？蓪⑼馏w的破壞準(zhǔn)則寫(xiě)為：

f(σ)-k=0

(1)

其中，k為材料常數(shù)。設(shè)定F=f(σ)為強(qiáng)度隨機(jī)分布變量,強(qiáng)度破壞的概率隨F的分布密度為P(F)，則定義損傷變量D為破壞概率：

(2)

荷載水平達(dá)到F的時(shí)候，則損壞的微元數(shù)量Nt等于：

(3)

其中，N為微元的總數(shù)目。損傷D即為微缺陷所占的表面密度，即：

(4)

一般認(rèn)為土微元強(qiáng)度是存在差異的。但是考慮到土體的加載是連續(xù)的，可假設(shè)微元在破壞前具有線彈性特性。

假定土體微元強(qiáng)度的概率密度函數(shù)為:

(5)

其中，m為形狀參數(shù)；F0為尺度參數(shù)。

結(jié)合式(4)，式(5)，進(jìn)一步得到采用Weibull分布描述土體微元強(qiáng)度情況時(shí)的損傷變量D如下：

(6)

考慮到D-P強(qiáng)度準(zhǔn)則是在庫(kù)侖—摩爾強(qiáng)度準(zhǔn)則基礎(chǔ)上的擴(kuò)展，在一定程度上克服了庫(kù)侖—摩爾準(zhǔn)則的主要弱點(diǎn)，因此，這里選用D-P準(zhǔn)則以更好的反映老黏土本構(gòu)行為。D-P強(qiáng)度準(zhǔn)則可以表示為：

(7)

對(duì)于確定的土體材料，參數(shù)k為一定值，則α的表達(dá)式為：

(8)

其中，φ為內(nèi)摩擦角。對(duì)于特定的土體材料，α為一定值，并且有：

(9)

(10)

在常規(guī)的三軸壓縮試驗(yàn)中，圍壓是相等的，即σ2=σ3，并且由上文所述，土體微元在破壞前滿足胡克定律，則有：

(11)

結(jié)合Lemaitre應(yīng)變等價(jià)性假說(shuō)，并由式(9)～式(11)綜合聯(lián)立可得到：

(12)

(13)

再由式(6)，式(7)，式(11)可得到三軸壓縮下的本構(gòu)模型：

(14)

2 Weibull分布參數(shù)確定

以往模型參數(shù)的確定需要處理大量三軸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)獲取難且計(jì)算繁瑣，精度也無(wú)法保證。為了更好的反映峰值點(diǎn)的擬合精度，筆者采取峰值點(diǎn)法確定三軸壓縮本構(gòu)模型的參數(shù)。計(jì)算只需要三軸試驗(yàn)得到峰值應(yīng)力、峰值應(yīng)變、初始彈模、泊松比等常用的力學(xué)參量，所需的參量不多，也容易獲取。以下是Weibull分布參數(shù)的計(jì)算。

首先需要確定應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系曲線的峰值點(diǎn)p(ε1p,σ1p)，該峰值點(diǎn)必在模型曲線之上，因此：

(15)

而此時(shí)的Fp則需要代入峰值點(diǎn)的數(shù)據(jù)，則可以表示為：

(16)

(17)

(18)

根據(jù)式(12)～式(14)，并且對(duì)軸向應(yīng)變?chǔ)?求導(dǎo)：

(19)

代入峰值點(diǎn)條件，即：

(20)

整理可得到：

(21)

聯(lián)立式(15)和式(21)可得到m和F0的表達(dá)式為：

(22)

(23)

3 實(shí)驗(yàn)分析與模型驗(yàn)證

表1 本構(gòu)模型的基本參數(shù)

圍壓/kPa初始彈性模量E/kPaE1pσ1p/kPamF0/kPa100145．40．02693．070．62083．3200270．30．01654．550．51793．4300252．60．021544．630．86212．8

為了驗(yàn)證本文模型，現(xiàn)引入合肥典型老黏土三軸壓縮試驗(yàn)予以分析和驗(yàn)證。筆者完成了3組比對(duì)實(shí)驗(yàn)，其中實(shí)驗(yàn)的壓力分別是100 kPa，200 kPa和300 kPa。本次本構(gòu)模型參數(shù)見(jiàn)表1，其中內(nèi)摩擦角取值18°，泊松比取值0.32。將所得數(shù)據(jù)結(jié)合式(14)，經(jīng)計(jì)算可以得到對(duì)應(yīng)的土體微元體應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系曲線，分別見(jiàn)圖1～圖3。根據(jù)三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果與本構(gòu)模型曲線對(duì)比可以看出，所提出的本構(gòu)模型能較好反映合肥老黏土的應(yīng)力應(yīng)變行為。

下面分析圍壓的影響，將m與F0和圍壓的關(guān)系繪圖展示，見(jiàn)圖4，圖5。從圖4，圖5可見(jiàn)，加載增大，這兩個(gè)參數(shù)也隨之增大。用線性函數(shù)去擬合數(shù)據(jù)，得出表達(dá)式分別為：

m=0.000 8σ3+ 0.499 3

(24)

F0=16.032σ3-150.97

(25)

將上述兩個(gè)表達(dá)式整合到三軸損傷本構(gòu)方程，即式(14)中，可以得到合肥典型老黏土的本構(gòu)方程：

(26)

4 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)連續(xù)損傷理論和統(tǒng)計(jì)強(qiáng)度理論，建立了反映合肥老黏土三軸壓縮的土體統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型。根據(jù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比，表明本文建立的損傷本構(gòu)模型是合理的。初步分析結(jié)果顯示，本文統(tǒng)計(jì)損傷理論的本構(gòu)模型可表征合肥老黏土的受壓損傷特征。經(jīng)比對(duì)計(jì)算，本研究還發(fā)現(xiàn)本構(gòu)模型參數(shù)m和F0會(huì)隨著圍壓增加而變大。