策略分析，優(yōu)化提升——高中數(shù)學不等式高考試題分析與教學策略研究

江蘇省常熟外國語學校 孔令華

不等式在高中數(shù)學知識體系中占據(jù)著重要地位，與函數(shù)、方程、數(shù)列、立體幾何等知識都有一定的交集，并對學生的問題解決能力產(chǎn)生著極大影響，是檢驗學生學習情況的重要介質(zhì)。鑒于不等式的重要作用，近年來，高考試題中也逐漸加大了不等式題型的所占比重，這些試題涵蓋了不等式的概念、解法、證明、線性規(guī)劃等多項內(nèi)容，考驗著學生對不等式知識的掌握程度，同時也檢驗著教師教學策略的有效性。對近年來高考試題中出現(xiàn)的不等式問題進行全面分析，其目的是為了制定具有針對性的教學策略，籍此以最大限度發(fā)掘不等式的教育潛力，培養(yǎng)高中生的學科素養(yǎng)。本文現(xiàn)結(jié)合教學實踐，圍繞高考試題分析與教學策略探究兩個維度進行探究。

一、高考試題中不等式問題的考查分析

近年來，高考試題中逐漸增多了不等式考題。以2015年高考為例，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，2015年全國卷理科考試中與不等式相關(guān)的試題約占全部試題總數(shù)的18.5%，試題以必修作為考試的重點對象。其中，不等式概念類試題約占不等式試題總數(shù)的2%；解不等式類試題占不等式試題總數(shù)的36.7%；證明不等式類試題占不等式試題總數(shù)的8.2%；含參數(shù)不等式的成立問題占不等式試題總數(shù)的18.4%；線性規(guī)劃類問題占不等式試題總數(shù)的16.3%；基本不等式類占不等式試題總數(shù)的10.2%；取值范圍和最值占不等式試題總數(shù)的8.2%。

具體形式方面，很多試題是與其他知識相結(jié)合后再求解的題型，如不等式與函數(shù)結(jié)合、與數(shù)列結(jié)合等等。

試題分析：答案B。這是一道典型的關(guān)于不等式性質(zhì)的試題，這道題的特別之處在于它將函數(shù)與不等式相結(jié)合，考驗學生在面對實際問題時能否靈活運用知識以及能否正確處理函數(shù)與不等式的關(guān)系。由此可見，每一項知識都不是獨立的，在教學過程中，教師需將不同類型的知識進行糅合，著力于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，而不能讓學生通過死記硬背來掌握知識。

例2 （2011上海卷·理15）若 且 ，那么，下列不等式關(guān)系中恒成立的是（ ）

試題分析：答案為D,這道題屬于不等式的應(yīng)用這一范疇，考驗的是學生對不等式知識的掌握情況，包括不等式應(yīng)用和成立條件的判斷等等。題的特點在于它將“ ”這一關(guān)鍵條件置于題的第二項，一旦學生在讀題時忽略這一關(guān)鍵，則必將影響解題的結(jié)果。因此，在教學實踐中，教師應(yīng)引導學生善于觀察和思考，對不等式的各項構(gòu)成要素進行充分的揣摩和掌握，從而提高問題解決能力。

試題分析：這道題也是一道典型的不等式求參類試題，通過讀題可知，試題仍然是將不等式與函數(shù)相結(jié)合，通過函數(shù)性質(zhì)、最值問題與不等式恒成立問題的相互作用來加強解題的難度。然而，這道題卻有著很多種解法，而關(guān)鍵在于學生是否具備化歸思想，能否化繁為簡，找準解題的切入點。因此，教師在教學中需要引導學生反復進行一題多解的嘗試，籍此讓學生掌握數(shù)學的思想方法，從而提高解題效率。

通過上述高考中出現(xiàn)的三道不同類型的不等式試題可以看出，目前高考評測學生的主要標準已不再是“知識儲備”和“臨場發(fā)揮”，而是“數(shù)學思維”和“問題解決”。其中，數(shù)學思維是解決一切數(shù)學問題的“萬能鑰匙”，而“問題解決”則強調(diào)知識的靈活運用，兩者相輔相成，是檢驗學生學科素養(yǎng)的重要依據(jù)。因此，高中數(shù)學日常教學的設(shè)計和組織也應(yīng)針對高考試題有所調(diào)整，將培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和問題解決能力作為一項常態(tài)任務(wù)納入教學目標體系，從而提高教學質(zhì)量，推動學生不斷發(fā)展。

二、高中數(shù)學不等式的教學策略探究

1.基于數(shù)學思維培養(yǎng)的不等式教學設(shè)計

數(shù)學思維的形成是一個逐漸積累的過程，因此，數(shù)學思維的培養(yǎng)也應(yīng)由淺至深，通過讓學生掌握解決數(shù)學問題的思想方法，形成數(shù)學思維，提高學科素養(yǎng)。

以“解一元二次不等式”教學為例，對于這一課，學生們之前曾學習過一元一次不等式的解法，那么，在學習一元一次不等式時運用了哪些數(shù)學思想方法？是否可以運用相同的方法來解一元二次不等式？帶著疑問，筆者以解一元一次不等式為突破口，讓學生通過回顧舊知識來發(fā)現(xiàn)數(shù)學思想方法的共通性，籍此形成數(shù)學思維，提高問題解決能力。

在課堂開篇，筆者首先設(shè)計了探究小課題：一元一次不等式與一元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)聯(lián)。

探究過程：

（1）以多媒體展示函數(shù)圖象：

x 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y -3 -2 -1 0 1 2 3

分析上表可知：

（3）提問：如何運用數(shù)學思想方法列式？

（4）學生合作探究。

利用數(shù)形結(jié)合，可得出結(jié)論：

解集為……

如此，則讓學生們歸納出了解一元一次不等式所用的數(shù)學思想方法，而在此基礎(chǔ)上，筆者導入新課，再圍繞解一元二次不等式設(shè)計探究小課題。

師：前面的探究主要針對的是三個“一次”之間的關(guān)系，那么對于三個“二次”，即一元二次不等式、一元二次方程和二次函數(shù)的關(guān)系，又該運用怎樣的探究方法？

探究過程：

（1）多媒體展示函數(shù)圖象：

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6

結(jié)合上表分析：

（3）合作探究：再次利用分析三個“一次”時所運用的數(shù)形結(jié)合的思想方法，分析一元二次不等式的解集，則結(jié)果如下……

綜上所述，通過新舊知識的相互印證，使學生們體驗了數(shù)學思想方法的共通性。通過兩次解題的對比，學生們自然而然地會對“數(shù)形結(jié)合”這一思想方法產(chǎn)生深刻印象，從而形成“數(shù)學思維的作用大于知識儲備”這一觀念，由此則培養(yǎng)了他們的數(shù)學思維，加強了日常教學與高考試題之間的聯(lián)系。

2.基于問題解決培養(yǎng)的不等式教學設(shè)計

通過分析高考中關(guān)于不等式的相關(guān)試題可知，問題解決是考驗學生綜合能力的一項重要標準。高考試題慣于將不同類型的知識相結(jié)合，其主旨不是為了檢驗學生的知識量，而是檢驗學生是否具備靈活運用知識的能力，因此，在教學中，教師需將培養(yǎng)學生的問題解決能力作為一項重點目標來加以落實，讓學生能夠?qū)W有所用，提高數(shù)學素養(yǎng)。

在實踐中，教師可將解不等式與生活實際聯(lián)系起來，將解不等式的過程轉(zhuǎn)化為解決生活實際問題的過程，以此來培養(yǎng)學生的問題解決能力。

如題：某漁場為擴大產(chǎn)量，計劃建造一個新養(yǎng)魚池。新池容積為4800m2，深度為3m，假設(shè)新池的池底每平方米預(yù)算為150元，池壁每平方米預(yù)算為120元，那么，怎樣設(shè)計才能將使造價最低？預(yù)算最低價為多少？

針對這道題，教師需要讓學生首先將實際問題抽象為數(shù)學問題，繼而讓學生們運用自己熟悉的解不等式的方式來歸納答案，而學生解不等式的過程，即是培養(yǎng)問題解決能力的過程。

此外，教師還可直接引用發(fā)生在學生身邊的一些具體實例，讓學生通過分析將實例抽象為不等式。例如：質(zhì)檢部門規(guī)定酸奶中脂肪含量不得低于2.5%，蛋白質(zhì)含量不得低于2.3%，而怎樣才能將兩個數(shù)據(jù)抽象為不等式組？通過這些生活化問題，能讓學生在潛意識里將數(shù)學與生活聯(lián)系起來，形成知識應(yīng)用意識，提高問題解決的能力。

嚴格來說，高考試題是高中數(shù)學不等式教學的“風向標”，它隱含了社會發(fā)展對學生素質(zhì)提出的要求，因此，考查高考試題的類型和特點，為日常教學提供參考依據(jù)，是提高教學質(zhì)量、推動學生不斷成長的重要途徑。