分段函數(shù)、函數(shù)的可積性與原函數(shù)存在性

王寶嫦

【摘要】在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中，函數(shù)及分段函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容占據(jù)主要部分，其也是發(fā)展和鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的有效性。本文討論了數(shù)學(xué)定理中分段函數(shù)的含義及應(yīng)用，并借助分段函數(shù)的運(yùn)用，討論了原函數(shù)的存在性與函數(shù)的可積性之間的相互關(guān)系，有助于掌握基元的兩個(gè)重要概念函數(shù)和定積分。

【關(guān)鍵詞】分段函數(shù) 可積性 原函數(shù) 間斷點(diǎn)

在單變量函數(shù)的積分中，原函數(shù)（不定積分）和定積分的定義是不同的，但是當(dāng)我們?cè)诶斫馕⒎e分的基本理論時(shí)，我們將它們聯(lián)系在一起。因此，許多初學(xué)者都有原始函數(shù)存在的假象，那么函數(shù)是黎曼可積函數(shù)或函數(shù)可積函數(shù)，那么它的原始函數(shù)就必然存在。在目前的數(shù)學(xué)分析教科書(shū)中，雖然指出原始函數(shù)的存在性和函數(shù)的可積性不一定是相關(guān)的，但由于原始函數(shù)的局限性以及書(shū)本知識(shí)的容量和教學(xué)時(shí)間的局限，對(duì)于原始函數(shù)的存在性和函數(shù)可積性之間的關(guān)系沒(méi)有普遍的討論。本文在數(shù)學(xué)教材學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，借助分段函數(shù)對(duì)原始函數(shù)的存在性和函數(shù)的可積性進(jìn)行一般的證明討論，進(jìn)一步理解原始函數(shù)存在性與函數(shù)的可積性?xún)蓚€(gè)重要定義之間的關(guān)系。

一、分段函數(shù)的討論

初等函數(shù)的應(yīng)用是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容。而非初等函數(shù)的討論往往在對(duì)某些重要概定理和問(wèn)題的進(jìn)一步證明和理解中，它的主要運(yùn)用之一是假設(shè)反例來(lái)滿足一些要求，然后分析和闡述定義或定理。分段函數(shù)是如此重要的一種函數(shù)。例如Dirichlet函數(shù)，黎曼函數(shù)，符號(hào)函數(shù)等等都是這個(gè)應(yīng)用的例子。分段函數(shù)是函數(shù)域的不同分段部分函數(shù)并不是一個(gè)分析表達(dá)式，是由幾個(gè)不相同的分析表達(dá)式概括的函數(shù)，有時(shí)具有無(wú)限數(shù)量的分析表達(dá)式。分段函數(shù)通常被定義為：設(shè)工是一個(gè)區(qū)間，f在I上有意義且滿足

則稱(chēng)f為I上的分段函數(shù)。由于數(shù)學(xué)定理學(xué)習(xí)中的分段函數(shù)，每個(gè)fi都是Ii上的函數(shù)，我們可以討論它們的特點(diǎn)性質(zhì)，如極限，函數(shù)的連續(xù)性，可微分性和函數(shù)可積性。由于這些函數(shù)在函數(shù)域的不同分段由不相同的分析表達(dá)式表示，它們通常具有一些不同的屬性，這是我們所關(guān)心的。尤其是在功能表達(dá)式表達(dá)的邊界點(diǎn)，它是這種獨(dú)特狀態(tài)的臨界點(diǎn)，因此它是討論的焦點(diǎn)。通過(guò)討論分界點(diǎn)用來(lái)證明函數(shù)的一些特點(diǎn)或重要的特性。比如黎曼函數(shù)，討論了它在有理臨界點(diǎn)是不連續(xù)的，而在無(wú)理臨界點(diǎn)是連續(xù)的。因此，學(xué)生在一個(gè)連續(xù)的點(diǎn)上對(duì)功能的局部特征有更強(qiáng)烈的印象。一般而言，通過(guò)使用分段函數(shù)可以增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一些基本定理的理解，并且通過(guò)使用分段函數(shù)可以討論函數(shù)的連續(xù)性，可微分性和可積性，具有一些獨(dú)特性質(zhì)的函數(shù)可以利用分段函數(shù)來(lái)構(gòu)造，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一些難題可以通過(guò)使用分段函數(shù)來(lái)解決。

作為函數(shù)的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容來(lái)說(shuō)，分段函數(shù)思想可以根據(jù)實(shí)際數(shù)學(xué)題目的具體思想，按照實(shí)際教學(xué)和學(xué)習(xí)內(nèi)容，不斷的在學(xué)習(xí)過(guò)程中鍛煉自己的邏輯思維意識(shí)，將函數(shù)應(yīng)用到各領(lǐng)域的內(nèi)容中，例如物理學(xué)、化學(xué)和相關(guān)的學(xué)科內(nèi)容中，只有這樣才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)中函數(shù)應(yīng)用的有效性，從中體會(huì)到函數(shù)及分段函數(shù)的實(shí)際內(nèi)容的有效性及重要性。

二、對(duì)于原函數(shù)的存在性與可積性的相關(guān)討論

（一）關(guān)于可積函數(shù)的原函數(shù)存在性的討論

第一種可積函數(shù)，連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)。此時(shí)，原始函數(shù)可以由一個(gè)變量上限合格積分表示。即若f在[a，b]上連續(xù)，則F（x）=∫axf（t）dt是f在[a，b]上的一個(gè)原函數(shù)。第二種可積函數(shù)，有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)的有界函數(shù)。若f在[a，b]內(nèi)具有第一種間斷點(diǎn)，那么f在[a，b]內(nèi)不具有原函數(shù)，若f在[a，b]上具有無(wú)限類(lèi)型的第二類(lèi)型不連續(xù)點(diǎn)，則f在[a，b]上不具有原函數(shù)，如果f在[a，b]上具有第二類(lèi)非無(wú)限類(lèi)型的不連續(xù)點(diǎn)，則f在[a，b]上原函數(shù)的存在是不確定的。關(guān)于可積函數(shù)的原函數(shù)存在性原理的證明一定要結(jié)合實(shí)際給出的條件，利用條件進(jìn)行反推，只有這樣才能找到有效的解決措施及方法，利用函數(shù)的基本定理及相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行解題，并按照實(shí)際教學(xué)的內(nèi)容對(duì)整個(gè)函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程產(chǎn)生深刻體會(huì)。

（二）關(guān)于原函數(shù)存在的可積性的討論

顯然，若f在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f在區(qū)間[a，b]上可積，如果f在[a，b]上是不連續(xù)的函數(shù)，那么就說(shuō)，在[a，b]內(nèi)f對(duì)應(yīng)的原函數(shù)F（x）是具有的，f在區(qū)間[a，b]上也不一定可積。因此對(duì)于函數(shù)的可積性與原函數(shù)的存在性相關(guān)分析，將整個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)的有效性及相關(guān)定理的運(yùn)用結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的有效性。

Dirichlet函數(shù)和黎曼函數(shù)原函數(shù)的存在性和可積性主要與連續(xù)點(diǎn)的“數(shù)量”不同。前者的不連續(xù)點(diǎn)是不可數(shù)的，而后者的不連續(xù)點(diǎn)是可數(shù)的。因此，一個(gè)不是可積的，另一個(gè)是可積的。由于黎曼積分本來(lái)就是對(duì)一個(gè)連續(xù)函數(shù)的一個(gè)積分，所以為了使函數(shù)是可積的，其連續(xù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)該足夠大而成為一個(gè)密集集合。

三、結(jié)語(yǔ)

原函數(shù)的存在性與函數(shù)的可積性是不相同的定義，這意味著可積函數(shù)不一定具有原函數(shù)，而存在原函數(shù)的函數(shù)也不一定是可積或不可積。當(dāng)然，有些功能既不是可積也不是原始的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或者擴(kuò)展到高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，分段函數(shù)作為一種具有獨(dú)特性質(zhì)的函數(shù)，具有重要的運(yùn)用和意義。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果能充分運(yùn)用分片函數(shù)的特點(diǎn)，理解函數(shù)的可積性與函數(shù)的存在性之間的關(guān)系，可以正確指引學(xué)生進(jìn)一步理解理論的基本定義和正負(fù)兩種意義。此外，正確認(rèn)知和運(yùn)用這些基本定理和理論是非常重要的，對(duì)于提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教學(xué)效果也是非常有意義的。

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