3-P(4S)并聯(lián)平臺振動特性分析與實(shí)驗驗證

趙星宇 趙鐵石 徐雪寒 趙延治 李忠杰

(1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗室, 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗室, 秦皇島 066004)

0 引言

為了實(shí)現(xiàn)更好地振動模擬及測試，將并聯(lián)平臺應(yīng)用到振動領(lǐng)域是國內(nèi)外的研究熱點(diǎn)[1-7]。美國的MTS公司生產(chǎn)了多種類型的振動臺，其中354.2型六維振動臺可應(yīng)用于大型設(shè)備的地震模擬，323.2型六維振動測試臺可應(yīng)用于汽車零部件的振動測試[8-9]。美國TEAM公司生產(chǎn)的電液伺服驅(qū)動六自由度振動臺，可用于汽車組件的測試[10-11]。德國Instron公司生產(chǎn)的六自由度振動臺，采用電液驅(qū)動形式，可應(yīng)用于整車的振動模擬以及疲勞測試[12-13]。日本IMV公司生產(chǎn)的大型六自由度振動臺可應(yīng)用于地震模擬[14]。加拿大QUANSER公司生產(chǎn)的六自由度振動臺，主要應(yīng)用于小型設(shè)備的低頻率振動測試[15]。中國水利水電科學(xué)研究院研制了一種三維平動的振動模擬臺，可應(yīng)用于地震模擬以及大型設(shè)備的動力試驗[16]。中國科學(xué)院長春光學(xué)機(jī)械研究所基于傳統(tǒng)的Stewart構(gòu)型設(shè)計了一款多維振動模擬平臺，可用來模擬空間環(huán)境中的多維擾動[17]。上海交通大學(xué)自主研發(fā)的多維電動振動臺，可用于多維振動模擬[18]。

本文在文獻(xiàn)[19]的研究基礎(chǔ)上，對3-P(4S)平臺的振動特性進(jìn)行深入分析，首先建立機(jī)構(gòu)的簡化振動模型，并應(yīng)用仿真軟件進(jìn)行驗證，然后對機(jī)構(gòu)的固有頻率隨運(yùn)動位置變化特性和靈敏度特性進(jìn)行分析，并通過實(shí)驗進(jìn)行驗證。

1 3-P(4S)機(jī)構(gòu)振動模型

1.1 振動方程的簡化

圖1為3-P(4S)并聯(lián)平臺三維造型和結(jié)構(gòu)簡圖[19]。該機(jī)構(gòu)由上平臺、基座以及3個P(4S)分支組成，其中驅(qū)動部件為包含磁力彈簧的直線電機(jī)。機(jī)構(gòu)簡圖中坐標(biāo)系的建立以及結(jié)構(gòu)參數(shù)的意義在文獻(xiàn)[19]中已闡明，該機(jī)構(gòu)有沿著xp、yp、zp的3個平動自由度，且其動力學(xué)方程可表示為[19]

(1)

圖1 3-P(4S)并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 3-P(4S) parallel mechanism

式(1)出自文獻(xiàn)[19]中式(23)，為了避免符號重復(fù)，故本文中用E和F代替文獻(xiàn)[19]中式(23)的M和N。在振動分析過程中，只考慮電機(jī)的伺服剛度，假設(shè)其他構(gòu)件為剛性件，則有

τA=Kq

(2)

其中K=diag(k1，k2，k3)

式中K——直線電機(jī)廣義剛度矩陣

ki——直線電機(jī)的伺服動剛度，i=1,2,3

其測定值為ki=2.19×106N/m。

由于τG為常數(shù)項，而求解機(jī)構(gòu)的固有頻率的實(shí)質(zhì)在于求解動力學(xué)方程拉普拉斯變換后的微分方程，常數(shù)項對其無影響，可忽略，則式(1)可表達(dá)為[19]

(3)

其中

則式(3)可化簡為

(4)

其中M=EJ-1

式中M——廣義質(zhì)量矩陣

(5)

(6)

假設(shè)外界激勵為F，則振動方程可表示為

(7)

1.2 固有頻率及振型

對式(7)做拉普拉斯變換，可得

(s2M+K)q(s)=F(s)

(8)

式中q(s)、F(s)——振動響應(yīng)和外界激勵的Laplace變換結(jié)果

令Z(s)=(s2M+K)，根據(jù)線性系統(tǒng)有s=jω，則Z(ω)=(K-ω2M)。則機(jī)構(gòu)的振動特征方程為

Δ(ω2)=det(K-ω2M)=0

(9)

在無阻尼自由振動下，振動響應(yīng)可列為

q(ω)=uqr

(10)

式中u——振型向量

qr——對應(yīng)的坐標(biāo)矩陣

(11)

式中un——機(jī)構(gòu)第n階振型向量

ωn——機(jī)構(gòu)第n階固有頻率

(12)

式中urr——機(jī)構(gòu)的正則主振型

通過式(12)可得到機(jī)構(gòu)的正則固有振型u=[u11u22u33]T。

1.3 數(shù)值算例

該機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，將結(jié)構(gòu)參數(shù)代入1.2節(jié)，可求得機(jī)構(gòu)在初始位置下的固有頻率及正則固有振型向量，如表2所示。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Mechanism parameters

表2 固有頻率及固有振型Tab.2 Natural frequencies and natural modes

由表2可知，機(jī)構(gòu)的1階和2階固有頻率的值均為45.424 1 Hz，并根據(jù)其固有振型，可將1階主振動視作為沿xp方向的平動，2階主振動作為沿yp向的平動。機(jī)構(gòu)的3階固有頻率為87.122 7 Hz，其主振動為沿zp方向的平動。

為驗證振動臺的理論模型，應(yīng)用ADAMS進(jìn)行振動仿真分析。由于該直線電動機(jī)實(shí)際為欠阻尼，其阻尼數(shù)值對振動臺固有頻率的影響可忽略，并和理論推導(dǎo)保持一致，所以在驅(qū)動位置添加彈簧時只設(shè)定具體剛度，阻尼設(shè)為零，并假設(shè)振動臺的各構(gòu)件是剛性的。首先定義機(jī)構(gòu)激勵的輸入通道，在機(jī)構(gòu)上平臺中心點(diǎn)P處，分別建立3個沿移動坐標(biāo)軸方向上的正弦激振力，力的大小均為500 N，相角均設(shè)為零；其次，定義輸出響應(yīng)通道，同樣輸出響應(yīng)的拾振點(diǎn)選在上平臺的中心點(diǎn)P處，選擇沿3個移動坐標(biāo)軸xp、yp、zp的方向為拾振方向，選擇測量類型為輸出位移，通過模態(tài)仿真，可以得到機(jī)構(gòu)的各階模態(tài)，如圖2所示。

圖2 3-P(4S)平臺各階模態(tài)Fig.2 Sketches of modes of 3-P(4S) mechanism

通過給定仿真步長以及測量頻率的范圍，可分別測得的機(jī)構(gòu)沿xp、yp、zp方向的輸出響應(yīng)的幅頻特性曲線，并將其數(shù)據(jù)點(diǎn)導(dǎo)入Matlab中進(jìn)行顯示，如圖3所示。

圖3 振動幅頻曲線Fig.3 Amplitude frequency curves of vibration

如表3所示，通過將理論計算以及ADAMS仿真所得到的機(jī)構(gòu)固有頻率的結(jié)果相對比可知，兩者結(jié)果很接近，兩者誤差均在0.5%以內(nèi)，說明應(yīng)用振動方程得到的計算結(jié)果足夠精確，可以作為進(jìn)一步計算的依據(jù)。

表3 固有頻率對比Tab.3 Contrast of natural frequencies

圖4 zp向運(yùn)動時固有頻率變化Fig.4 Natural frequency variation of motion zp

2 振動特性分析

2.1 機(jī)構(gòu)固有頻率隨位置變化分析

假設(shè)該平臺在中心線上沿zp向運(yùn)動，根據(jù)式(9)可得，機(jī)構(gòu)固有頻率變化如圖4所示，其1、2階固有頻率沿zp向位移的增加而遞減，3階固有頻率沿zp向位移的增加而遞增。

假設(shè)機(jī)構(gòu)在初始高度下，沿xp和yp方向運(yùn)動，根據(jù)式(9)，固有頻率的變化如圖5所示，其1階固有頻率在初始位置有最大值，向運(yùn)動空間的四周擴(kuò)散遞減，而2、3階固有頻率在初始位置最小，向運(yùn)動空間的四周擴(kuò)散遞增。

圖5 機(jī)構(gòu)的固有頻率變化Fig.5 Changing charts of natural frequency of mechanism

2.2 機(jī)構(gòu)固有頻率靈敏度分析

(13)

設(shè)x代表各結(jié)構(gòu)參數(shù)，求導(dǎo)可得到

(14)

將式(14)展開并化簡，可得

(15)

圖6 固有頻率對各結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度Fig.6 Sensitivity of natural frequency to various structural parameters

將機(jī)構(gòu)固有頻率隨結(jié)構(gòu)參數(shù)變化趨勢稱為靈敏度特性，其表達(dá)式為

(16)

式(16)表示了機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)對振動特性的影響程度。設(shè)機(jī)構(gòu)處于初始位置,可得機(jī)構(gòu)的固有頻率對各結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度如圖6所示。

由圖6a可知，隨著ra的增大，機(jī)構(gòu)的1、2階固有頻率的靈敏度為負(fù)值但其絕對值逐漸增加，而3階固有頻率靈敏度近似為恒定的正值。這說明隨著ra的增大，該機(jī)構(gòu)的1、2階固有頻率逐漸減小，并且其減小的幅度越來越大，而3階固有頻率呈遞增趨勢，并且其與ra近似呈線性關(guān)系。由圖6b、6c可知，機(jī)構(gòu)的1、2階固有頻率對d和L的靈敏度均為正，3階固有頻率對d和L的靈敏度均為負(fù)，但其變化趨勢相反。這說明隨著d和L的增大，機(jī)構(gòu)的1、2階固有頻率不斷增加，但增加幅度不同，而3階固有頻率變化趨勢相反，兩者的靈敏度都逐漸減小，且減小幅度也不同。由圖6d可得，隨著rb的不斷增大，1、2階固有頻率靈敏度為正且遞減，而3階固有頻率靈敏度為負(fù)且保持不變。這說明隨著rb的增加，1、2階固有頻率逐漸增加，3階固有頻率單調(diào)減小，并且與rb呈線性關(guān)系。

對于振動臺而言，1階固有頻率對其振動特性以及振動臺的工作狀況影響最大。因此，根據(jù)式(16)，在圖7中得到了3-P(4S)振動臺在初始高度平面(zp=0)內(nèi)，1階固有頻率對各結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度的位置變化圖。

由圖7可以看出，3-P(4S)振動臺在初始位置(xp=0,yp=0,zp=0)對各結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度最小，而越靠向運(yùn)動空間的邊緣，其靈敏度則越來越大。而且，3-P(4S)振動臺只對ra的1階固有頻率靈敏度是負(fù)值，對其他結(jié)構(gòu)參數(shù)的1階固有頻率靈敏度均是正值，這說明機(jī)構(gòu)的1階固有頻率同結(jié)構(gòu)參數(shù)ra呈反向變化，同其他結(jié)構(gòu)參數(shù)則呈同向變化。

圖7 1階固有頻率對結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度Fig.7 Sensitivity of the first order natural frequency to structural parameters

由圖7中還可看出，固有頻率對ra和rb的靈敏度高于對d和L的靈敏度，這說明ra和rb對機(jī)構(gòu)的低階振動特性的影響更大，因此在實(shí)驗過程中，如果機(jī)構(gòu)的固有頻率不符合工作條件要求，改變機(jī)構(gòu)上下平臺的結(jié)構(gòu)尺寸可以達(dá)到更好的效果。

3 模態(tài)實(shí)驗

模態(tài)實(shí)驗主要對機(jī)構(gòu)進(jìn)行激振測試，應(yīng)用傳感器對激勵信號以及振動響應(yīng)信號進(jìn)行采集并處理，將信號輸入模態(tài)分析軟件中，得到系統(tǒng)的振動特性。模態(tài)測試包括激勵系統(tǒng)、測試系統(tǒng)及分析系統(tǒng)[20]。

激勵系統(tǒng)的激勵形式有穩(wěn)態(tài)正弦激勵、隨機(jī)激勵和脈沖激勵，為了節(jié)約成本，提高實(shí)驗效率，選擇脈沖激振形式。通過帶有力傳感器的沖擊力錘進(jìn)行敲擊，以施加給振動臺寬頻脈沖信號，從而實(shí)現(xiàn)脈沖激勵，進(jìn)而激發(fā)振動臺的各階模態(tài)。

測試及分析系統(tǒng)主要包括力傳感器、加速度傳感器以及計算機(jī)分析系統(tǒng)，其中力傳感器可用來采集激勵信號，加速度傳感器可用來采集拾振點(diǎn)的振動響應(yīng)信號。傳感器將采集到的模擬量信號通過電荷放大器、數(shù)據(jù)采集卡輸送到計算機(jī)，計算機(jī)通過數(shù)據(jù)處理，得到各階幅頻特性曲線，從而得到機(jī)構(gòu)各階固有頻率。模態(tài)測試步驟框圖如圖8所示。所搭建的模態(tài)實(shí)驗系統(tǒng)如圖9所示。

圖8 振動臺模態(tài)實(shí)驗框圖Fig.8 Modal experiment diagram of vibration platform

圖9 模態(tài)實(shí)驗平臺Fig.9 Experimental platform of modal1.計算機(jī) 2.數(shù)據(jù)采集卡 3.控制柜 4.帶力傳感器的力錘 5.加速度傳感器 6.3-P(4S)振動臺 7.電荷放大器

實(shí)驗選用LC-1型電荷式模態(tài)力錘，其靈敏度為4.74 pC/N，適用范圍為0～5 kN，整體由錘體、錘帽以及力傳感器組成。加速度傳感器型號為YD81D電荷輸出型，安裝在上平臺的螺紋孔內(nèi)，靈敏度為1.39 pC/(m·s-2)，其諧振響應(yīng)頻率為27 kHz，遠(yuǎn)高于測試頻率，可滿足實(shí)驗要求。

對于電荷型加速度傳感器所接的SD1436型電荷電壓積分放大器，需將撥碼開關(guān)上的數(shù)值設(shè)定成傳感器的靈敏度，并將功能轉(zhuǎn)換器設(shè)定為輸出加速度，采用低通濾波模式，并將輸出數(shù)值設(shè)為1 mV/(m·s-2)，然后，所采集到的電壓模擬量即可作為振動加速度。

圖12 輸出響應(yīng)的時域波形Fig.12 Output response time domain waveform

最后數(shù)據(jù)采集卡選用USB-1608G十六位數(shù)據(jù)采集卡，模擬量信號通過USB接口傳給計算機(jī)，計算機(jī)經(jīng)數(shù)據(jù)處理后得到振動分析結(jié)果。

上平臺激振點(diǎn)以及拾振點(diǎn)的位置布置如圖10所示，由于振動臺具有分別沿坐標(biāo)軸X、Y、Z方向的模態(tài)，所以需要在每個模態(tài)方向上分別進(jìn)行一次敲擊測試。圖中激振點(diǎn)1、2、3代表著力錘敲擊點(diǎn)的位置和方向，拾振點(diǎn)1、2、3則為加速度傳感器的布置位置及方向，拾振點(diǎn)處有螺紋孔，可將加速度傳感器旋入安裝。由于上平臺呈六邊形結(jié)構(gòu)，所以對Y軸模態(tài)測試的激振點(diǎn)和拾振點(diǎn)不好布置，因此選擇六邊形兩組對應(yīng)的鄰邊作為X軸和Y軸的激振點(diǎn)和拾振點(diǎn)的布置位置。

圖10 激振點(diǎn)以及拾振點(diǎn)布置Fig.10 Layout of exciting point and vibration point

測定的是機(jī)構(gòu)在初始位置(X=0,Y=0,Z=0)下的各階模態(tài)參數(shù)，因此測試前需將機(jī)構(gòu)調(diào)整到0位，分別沿激振點(diǎn)1、2、3進(jìn)行敲擊測試，每個激振點(diǎn)測定3次，然后應(yīng)用LabVIEW軟件采集每次測試的輸出信號。圖11為機(jī)構(gòu)沿X軸方向的敲擊模態(tài)實(shí)驗過程。

圖11 沿X軸方向的模態(tài)敲擊測試Fig.11 Modal strike test along X direction

對測得的加速度傳感器的信號進(jìn)行處理，可得振動臺輸出響應(yīng)加速度的時域波形，共得3組，圖12所示為其中1組，由于實(shí)際中阻尼的存在，響應(yīng)會逐漸衰減。

對3組時域信號分別進(jìn)行傅里葉變換，然后求其平均值，可得到輸出響應(yīng)的頻譜圖，如圖13所示。

將實(shí)驗結(jié)果和理論計算結(jié)果對比分析，由表4可知，理論與測定結(jié)果存在誤差，其原因有：理論模型的建立中忽略了阻尼以及非線性因素的影響；在實(shí)驗過程中，傳感器的測量以及頻譜分析都存在一定的誤差，但總誤差在3%以內(nèi)，從而驗證了理論計算過程的正確性。

本實(shí)驗并未應(yīng)用力錘的激勵信號，因為本次實(shí)驗是為了驗證固有頻率的理論求解，以確保共振頻率高于工作頻率范圍，通過對振動輸出響應(yīng)的處理，并得到響應(yīng)頻譜圖即可實(shí)現(xiàn)。應(yīng)用力錘的激勵信號可求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)，并對振動臺進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別，本實(shí)驗系統(tǒng)的搭建為其奠定了基礎(chǔ)。

圖13 輸出響應(yīng)的頻域波形Fig.13 Output response frequency domain waveform

表4 理論與實(shí)驗結(jié)果比較Tab.4 Contrast of theory and experiment results

4 結(jié)束語

對3-P(4S)振動臺的振動特性進(jìn)行了深入分析，首先建立了機(jī)構(gòu)的簡化振動模型，并應(yīng)用仿真軟件進(jìn)行驗證，其誤差在0.5%以內(nèi)。然后對機(jī)構(gòu)的固有頻率隨運(yùn)動位置變化特性以及靈敏度特性進(jìn)行了具體分析。最后進(jìn)行了3-P(4S)振動臺的模態(tài)實(shí)驗。通過比較，振動臺的固有頻率的實(shí)驗測定值與理論計算值的誤差均在3%以內(nèi)，從而證明了理論模型的正確性，對3-P(4S)機(jī)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)用提供了可靠的基礎(chǔ)。