控制力矩陀螺MIMO解耦控制實(shí)驗(yàn)

錢玉恒， 王佳偉， 楊亞非

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 飛行器控制實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心,哈爾濱 150001)

0 引 言

隨著航天科技高速發(fā)展，航天器種類愈加繁多，用途愈加廣泛，精度與穩(wěn)定性要求越來(lái)越高，要達(dá)到航天器高精度要求，姿態(tài)穩(wěn)定性控制是基礎(chǔ)。航天器的姿態(tài)控制一般采用控制力矩陀螺(Control Moment Gyroscope，CMG)作為執(zhí)行器[1-4]，如國(guó)際空間站應(yīng)用的單框架力矩陀螺或雙框架力矩陀螺，需要配置力矩陀螺構(gòu)型，使多個(gè)陀螺可協(xié)同動(dòng)作，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)姿態(tài)控制作用。目前有近400個(gè)航天器采用CMG作為姿態(tài)控制系統(tǒng)的主要執(zhí)行器，我國(guó)天宮一號(hào)和二號(hào)已使用CMG作為飛船執(zhí)行機(jī)構(gòu)[5-6]，與此同時(shí)，針對(duì)CMG的有關(guān)研究成果越來(lái)越多[7-10]。美國(guó)ECP公司生產(chǎn)的Model 750型CMG是一種能夠全面驗(yàn)證力矩陀螺特性的實(shí)驗(yàn)裝置，已應(yīng)用到眾多世界知名大學(xué)，促進(jìn)了對(duì)力矩陀螺的研究和教學(xué)。通過(guò)對(duì)CMG數(shù)學(xué)模型分析發(fā)現(xiàn)，陀螺框架之間存在耦合力矩，轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)速度的變化會(huì)對(duì)外框架形成力矩干擾，造成外框架的速度波動(dòng)，而內(nèi)外框架的耦合又會(huì)影響外框架速度精度，進(jìn)而影響輸出力矩精度。針對(duì)力矩陀螺的耦合問(wèn)題，已經(jīng)有文獻(xiàn)提出一些解耦方法[11-12]。

本文首先介紹Model 750 CMG的結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)模型，隨后對(duì)軸鎖定時(shí)CMG單軸控制的有效性和局限性展開(kāi)了控制方法實(shí)驗(yàn)分析，這種單軸控制方法在軸自由狀況下無(wú)法取得較好的解耦控制效果。文中結(jié)合系統(tǒng)耦合二階模型特點(diǎn)，針對(duì)CMG的多軸耦合問(wèn)題，采用了最優(yōu)控制方法實(shí)施解耦控制實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)表明該方法解耦控制有效。

1 實(shí)驗(yàn)裝置組成及數(shù)學(xué)模型

1.1 實(shí)驗(yàn)裝置組成

實(shí)驗(yàn)裝置由機(jī)電部分、控制箱、運(yùn)動(dòng)控制卡及應(yīng)用程序組成。

(1) 機(jī)電部分是力矩陀螺主體，如圖1所示。主體部分有4個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)子D和框架C、B、A分別繞軸1～4旋轉(zhuǎn)，每個(gè)軸安裝的編碼器分別測(cè)量各軸角位移；永磁直流伺服電動(dòng)機(jī)1帶動(dòng)大慣量轉(zhuǎn)子D旋轉(zhuǎn)，提供輸入慣量，永磁直流電動(dòng)機(jī)2通過(guò)絞盤皮帶驅(qū)動(dòng)框架C旋轉(zhuǎn)，輸入控制力矩，框架C、B、A分別帶有滑環(huán)。

圖1 機(jī)電部分

(2) 控制箱是運(yùn)動(dòng)控制卡和機(jī)電部分之間的接口部件，主要含電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)、編碼器檢測(cè)、接口匹配及安全措施(慣性開(kāi)關(guān)、制動(dòng)器)等部分。

(3) 運(yùn)動(dòng)控制卡的核心任務(wù)是執(zhí)行實(shí)時(shí)控制程序，起到控制器作用。支持?jǐn)?shù)據(jù)采集、安全檢測(cè)、狀態(tài)判斷，可輸出各種控制信號(hào)。運(yùn)動(dòng)控制卡可接收和解釋計(jì)算機(jī)發(fā)出的程序指令，也能通過(guò)數(shù)據(jù)總線向計(jì)算機(jī)發(fā)送數(shù)據(jù)。

(4) 應(yīng)用程序依托計(jì)算機(jī)，支持“類C”語(yǔ)言的控制器設(shè)計(jì)、軌跡定義、數(shù)據(jù)采集、繪圖系統(tǒng)、執(zhí)行指令等。豐富的底層函數(shù)和良好的人機(jī)界面為裝置提供了一個(gè)非常強(qiáng)大的實(shí)驗(yàn)環(huán)境。

1.2 數(shù)學(xué)模型

CMG框架坐標(biāo)系如圖2所示[13]，組成轉(zhuǎn)子D和框架C、B、A 4個(gè)固連坐標(biāo)系，對(duì)應(yīng)的4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸為1～4軸。其正交單位向量分別為di，ci，bi，ai(i=1,2,3)，設(shè)置慣性參考坐標(biāo)系N的正交單位向量為Ni(i=1,2,3)，每個(gè)坐標(biāo)系均滿足右手定則，q1定義為D在d2方向的角位移；q2定義為C繞c1相對(duì)B的轉(zhuǎn)角；q3為B繞b2相對(duì)A的轉(zhuǎn)角，q4被定義為A繞a3相對(duì)N的轉(zhuǎn)角，這4個(gè)角度確定了系統(tǒng)的構(gòu)形，圖2的構(gòu)形對(duì)應(yīng)角度為qi=0(i=1～4)。

圖2 控制力矩陀螺框架坐標(biāo)系

系統(tǒng)所有部件的質(zhì)心位于轉(zhuǎn)子D中心，它也是所有框架軸的中心。在只考慮旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)情況下，相對(duì)于其各自的坐標(biāo)系，給出主慣性矩陣如下：

(1)

式中：Ix,Jx,Kx(x=A,B,C,D)分別表示部件A、B、C和D中繞各自第i(i=1,2,3)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

定義A在N中的角速度：

NωA=ω4a3

(2)

同理，定義以下角速度

AωB=ω3b2，BωC=ω2c1，CωD=ω1d2

(3)

則角速度關(guān)系式為

(4)

每個(gè)坐標(biāo)系都可以通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣轉(zhuǎn)換到慣性坐標(biāo)系?？紤]到由C施加于D的轉(zhuǎn)矩T1，以及由B施加于C的轉(zhuǎn)矩T2，有：

(5)

式(1)～(5)唯一地確定系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。通過(guò)拉格朗日方程可以求解運(yùn)動(dòng)方程，其形式為:

(6)

(7)

(8)

(9)

根據(jù)方程(6)～(9)在操作點(diǎn)附近的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的前兩項(xiàng)，就可求出其線性化運(yùn)動(dòng)方程。穩(wěn)定平衡點(diǎn)被定義為ω1=Ω，q2=q20，q3=q30，則線性化方程為:

(10)

(11)

JDΩsinq20·ω2-JDΩsinq20sinq30·ω4-

(12)

JDΩsinq20sinq30·ω3-JDΩcosq20cosq30·ω2+

(ID+KA+KB+KC+(JC+JD-ID-

KC)sin2q20+sin2q30

(IB+IC-KB-KC-(JC+JD-ID-KC)·

(13)

式(10)～(13)表示CMG在任意操作點(diǎn)下，各種構(gòu)形的線性動(dòng)力學(xué)，式(10)～(11)為驅(qū)動(dòng)方程，式(12)、(13)為約束方程，式(10)～(13)簡(jiǎn)化為狀態(tài)方程：

(14)

式(14)表明，力矩陀螺各旋轉(zhuǎn)軸之間存在耦合，控制系統(tǒng)完全是多輸入多輸出系統(tǒng)(MIMO)。

2 零平衡點(diǎn)雙軸控制實(shí)驗(yàn)

(15)

式中，ω3和ω4已無(wú)耦合。對(duì)式(15)進(jìn)行拉氏變換，得出下列傳遞函數(shù)：

(16)

q4/T2=

(17)

q2/T2=

(18)

將參數(shù)代入式(16)～(18)得:

(19)

(20)

(21)

說(shuō)明系統(tǒng)為單輸入單輸出系統(tǒng)，ω3和ω4之間無(wú)耦合。其中，q3/T1是大慣性對(duì)象的反作用陀螺力矩問(wèn)題，大慣性對(duì)象屬于典型對(duì)象，在鎖定2、4軸時(shí)，采用PID方法控制單軸輸出角度q3已獲得較好控制效果[13]。而q4/T2是串級(jí)對(duì)象的控制陀螺力矩問(wèn)題，在鎖定3軸時(shí)，應(yīng)用PID、極點(diǎn)配置和LQR等方法控制單軸輸出角度q4，均取得較好控制效果，經(jīng)過(guò)控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，LQR控制方法較其他方法具有更好的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)特性[14]。

如果取消軸鎖定條件，系統(tǒng)自由度變?yōu)?個(gè)，各軸旋轉(zhuǎn)波動(dòng)將會(huì)形成互擾耦合，如果實(shí)驗(yàn)初始位置正確(見(jiàn)圖3)，互擾將會(huì)較弱，采用PID和LQR方法分別控制q3和q4，控制效果也是比較理想[15]。

根據(jù)式(16)，PID控制q3框圖見(jiàn)圖4。圖中：r1、u1為控制算法輸入和輸出；KA3=-ke3ku1，負(fù)號(hào)表示轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反；ku1=1.28×10-5為控制算法輸出對(duì)應(yīng)的扭矩T1輸出增益；ke3=2 547×32為編碼器3增益。

海事部門要積極與當(dāng)?shù)卣e極溝通協(xié)調(diào)，聯(lián)合海洋漁業(yè)局等相關(guān)職能部門，加大對(duì)非法占用防臺(tái)應(yīng)急錨地的查處力度。充分發(fā)揮VTS、智慧海事監(jiān)管服務(wù)系統(tǒng)的作用，結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)執(zhí)法，加大對(duì)錨地的巡航巡查，及時(shí)制止?jié)O業(yè)養(yǎng)殖等非法占用防臺(tái)錨地行為。協(xié)調(diào)地方政府相關(guān)職能部門對(duì)在錨地水域設(shè)置的養(yǎng)殖區(qū)進(jìn)行清理整頓。開(kāi)展聯(lián)動(dòng)執(zhí)法，減少漁業(yè)養(yǎng)殖等非法用?；顒?dòng)對(duì)船舶錨泊帶來(lái)的影響。

根據(jù)式(17)，LQR控制q4框圖見(jiàn)圖5。圖中：

D(s)=(IC+ID)(ID+KA+KB+

KC)s3+Ω2JDs

(21)

圖3 零平衡點(diǎn)雙軸控制力矩陀螺的位置

圖4 PID控制軸3框圖

圖5 LQR控制軸4框圖

N2(s)=ke2ku2(ID+KA+KB+KC)s

(22)

N4(s)=-ke4ku2ΩJD

(23)

r1、u1為控制算法輸入和輸出；ke2=3 883×32為編碼器2增益；ku2=9.07×10-5為控制算法輸出對(duì)應(yīng)的扭矩T2輸出增益；ke4=2 547×32為編碼器4增益；kpf為濾波器增益，r2(s)與q4(s)的匹配項(xiàng)。

同時(shí)輸入幅值r1=r2=200的方波階躍信號(hào)，雙軸零平衡點(diǎn)控制經(jīng)過(guò)反復(fù)調(diào)試。控制q3的PID參數(shù)確定為：kp=4.5；kd=0.89；ki=0。借助LQR參數(shù)優(yōu)化思路，控制q4的LQR參數(shù)經(jīng)尋優(yōu)后，確定

K=[k1k2k3]=[-4.5 0.076 -0.23]

kpf=-4.5

控制曲線如圖6所示。

圖6 零平衡點(diǎn)雙軸控制階躍響應(yīng)曲線

同理，零平衡點(diǎn)雙軸控制斜坡跟蹤曲線見(jiàn)圖7。圖中：r1為軸1控制輸入；q3為軸3控制輸出；r2為軸2控制輸入；q4為軸4控制輸出。

受框架不平衡力矩和框架軸承摩擦等影響，q3與q4存在互擾耦合。雙軸階躍響應(yīng)曲線表明，q4的階躍變化對(duì)q3交叉耦合略大；q3的階躍變化對(duì)q4交叉耦合較少。雙軸斜坡響應(yīng)曲線在q4飽和情況下，對(duì)q3交叉耦合不明顯。因此，在零平衡點(diǎn)處，上述PID、LQR控制方法可行。

圖7 零平衡點(diǎn)雙軸控制斜坡跟蹤曲線

3 非零平衡點(diǎn)雙軸控制實(shí)驗(yàn)

在零平衡點(diǎn)條件下，各軸之間的互擾輕微，采用普通的控制方法就能達(dá)到控制效果。根據(jù)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，系統(tǒng)耦合隨著非零平衡點(diǎn)角度增加而變大，在q2=20°和q3=-20°時(shí)(見(jiàn)圖8)，耦合現(xiàn)象十分明顯，這與式(14)的理論分析一致。將圖8角度作為耦合控制實(shí)驗(yàn)位置能較好地反映控制的解耦效果，確定有效的控制方法和策略。為便于控制曲線分析，將q2=20°和q3=-20°初始位置的控制指令和編碼器輸出設(shè)置為零，即參量零化處理后，進(jìn)行階躍響應(yīng)和斜坡跟蹤響控制實(shí)驗(yàn)，觀察控制效果。

框架角度 q20=20,q30=20軸4制動(dòng):關(guān)軸3制動(dòng):關(guān)軸2制動(dòng):關(guān)

圖8 非零平衡點(diǎn)雙軸控制力矩陀螺的位置

3.1 反作用力矩和陀螺力矩激勵(lì)的雙軸控制

仍采用上述雙軸控制方法，非零平衡點(diǎn)反作用力矩和陀螺力矩激勵(lì)的雙軸控制階躍響應(yīng)和斜坡跟蹤曲線如圖9和圖10所示。從圖9、10可見(jiàn)，非零平衡點(diǎn)控制比零平衡點(diǎn)控制交叉耦合嚴(yán)重，特別是q3耦合極其明顯。這是由于在陀螺力矩作用下，軸2旋轉(zhuǎn)力矩將引起一個(gè)繞軸3的力矩，在q2≠0狀況下，q2的變化會(huì)引起q3狀態(tài)變化。同理，q4的速度突變，也會(huì)引起q3狀態(tài)變化。這說(shuō)明，反作用力矩和陀螺力矩激勵(lì)的雙軸控制方法在非平衡點(diǎn)處解耦效果不佳。

3.2 MIMO雙軸解耦控制

考慮到力矩陀螺屬性和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，可判斷出系統(tǒng)輸出變量q3,q4,ω2,ω3,ω4均對(duì)耦合有影響。為此選取q2,q4,ω2,ω3,ω4作為狀態(tài)反饋?zhàn)兞浚瑥闹蟹治龈髯兞繉?duì)耦合的影響程度。而式(10)～(13)表明，q3和q4之間的耦合呈現(xiàn)二階系統(tǒng)特征，適合采用PD控制策略解耦，考慮到系統(tǒng)軟件平臺(tái)功能和實(shí)驗(yàn)的可實(shí)現(xiàn)性，結(jié)合實(shí)驗(yàn)教學(xué)效果等因素，最終選用LQR最優(yōu)控制方法實(shí)施MIMO控制，利用求得最優(yōu)狀態(tài)反饋增益矩陣，獲取最優(yōu)控制律。最優(yōu)多變量控制框圖如圖11所示。

圖9 反作用力矩和陀螺力矩激勵(lì)雙軸控制階躍響應(yīng)曲線

圖10 反作用力矩和陀螺力矩激勵(lì)雙軸控制斜坡跟蹤曲線

圖11 最優(yōu)多變量控制框圖

LQR反饋控制律設(shè)計(jì)為u=-Kx，其中參數(shù)矩陣為

式中：k12、k15是控制q3輸出的去耦合PD控制參量；k21、k24是控制q4輸出的去耦PD控制參量，從中起到消減交叉耦合作用。

針對(duì)q20=20°,q30=-20°非平衡點(diǎn)模型，通過(guò)求解Riccati方程，使用LQR綜合算法找到可以最小化代價(jià)函數(shù)J的控制器K，代價(jià)函數(shù)，

選擇Q=C′C，使得預(yù)期輸出q3和q4的誤差最小，

解耦控制實(shí)驗(yàn)的難點(diǎn)在于反饋矩陣參數(shù)K調(diào)試，反復(fù)實(shí)驗(yàn)最終確定反饋增益矩陣

MIMO雙軸解耦控制的階躍響應(yīng)和斜坡跟蹤曲線如圖12和圖13所示。

圖12 MIMO雙軸解耦控制階躍響應(yīng)曲線

圖13 MIMO雙軸解耦控制斜坡跟蹤曲線

反饋矩陣參數(shù)實(shí)驗(yàn)曲線表明q3,q4,ω4對(duì)參數(shù)耦合程度影響較為明顯，反饋增益矩陣的q3,q4,ω4在反饋控制律中所占權(quán)重最大，反饋增益參數(shù)既起到了控制作用又發(fā)揮了解耦作用。對(duì)q20=20°，q30=-20°情況，由于引入LQR代價(jià)函數(shù)J使q4的誤差最小化，當(dāng)q4階躍信號(hào)狀態(tài)時(shí)，q3交叉耦合與前面控制方法相比減少很多。但受到q4帶寬略增影響，對(duì)q3的階躍輸入時(shí)，q4的交叉耦合與前面控制方法相比有輕微增加。在斜坡跟蹤控制效果圖能看出，解耦控制跟蹤效果很好。

注意，上述LQR解耦方法對(duì)PD控制有效的耦合關(guān)系解耦效果顯著，對(duì)于復(fù)雜的耦合系統(tǒng)，LQR方法有效性需要實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。另外，本實(shí)驗(yàn)也可拓展至其他非零平衡點(diǎn)，獲取更多非零平衡點(diǎn)最優(yōu)控制參數(shù)，為其他智能化方法提供研究參考。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文以Mode 1750控制力矩陀螺裝置為研究對(duì)象，分析了動(dòng)力學(xué)模型的耦合特征，對(duì)多框架反作用力

矩和陀螺力矩的相互作用，完成了零平衡點(diǎn)和非零平衡點(diǎn)的耦合控制實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，多框架自由時(shí)在零平衡點(diǎn)處各變量間互擾耦合微弱，在非零平衡點(diǎn)處受反作用和陀螺力矩影響各變量耦合明顯。這也表明，反作用力矩和陀螺力矩激勵(lì)的雙軸控制方法解耦效果較差，僅適合耦合程度微弱的狀況。LQR最優(yōu)控制解耦方法在MIMO雙軸解耦控制實(shí)驗(yàn)中控制性能指標(biāo)良好，解耦效果顯著。