改進Laplace小波字典在軸承故障診斷中的應用

李景樂，謝馨，王華慶

(北京化工大學 機電工程學院，北京 100029)

稀疏分解與稀疏表示的理論由MALLAT提出，并廣泛應用于故障診斷領域[1]。稀疏表示方法中合適的原子及字典結構能夠極大地提升字典構造和稀疏表示的效率。滾動軸承的局部故障會產(chǎn)生周期性的沖擊，從而在其振動信號中表現(xiàn)出周期性的瞬態(tài)沖擊成分，軸承故障引起的瞬態(tài)沖擊一般表現(xiàn)為周期振蕩的指數(shù)衰減形式[2]。文獻[3]提出了Laplace小波的數(shù)學表達式并驗證其對故障沖擊特征提取的有效性。文獻[4-5]將相關濾波法結合Laplace小波運用于滾動軸承的故障診斷，有效地提取出了滾動軸承故障特征，充分驗證了基于Laplace小波原子庫的稀疏表示方法在滾動軸承故障診斷中的可行性。然而，通過傳統(tǒng)相關濾波法構造的過完備原子庫必須涵蓋相位、阻尼系數(shù)及衰減頻率信息，字典的規(guī)模異常龐大，導致運算速度緩慢甚至算法無法運行。

綜上所述，采用一種新的字典構造方式，通過改進的相關濾波法選取合適的Laplace原子，并經(jīng)過Toeplitz矩陣拓展構造完備字典；稀疏系數(shù)的求解則選用優(yōu)化的正交匹配追蹤算法(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)。通過相關濾波篩選阻尼和振蕩頻率，以及字典中的原子表示相位，在縮減字典規(guī)模的同時，可以更直觀和準確地找到合適的原子，得出稀疏系數(shù)能直接體現(xiàn)沖擊的相位，從而準確地提取出故障特征頻率。

1 稀疏表示及Laplace字典構造原理

一維信號的稀疏表示模型可以表示為

y=D×x+ε，

(1)

式中：y為N×1維的原信號；D為N×N維的字典；x為N×1維的稀疏系數(shù)；ε為N×1維的噪聲信號[1]。

恒定轉速下，滾動軸承的局部故障通常會引起周期性的沖擊，一般表現(xiàn)為周期性的單邊振蕩衰減波形。Laplace小波是一種單邊振蕩衰減的復指數(shù)小波，比較符合滾動軸承的沖擊形式，考慮到滾動軸承的振動信號為實信號，故將Laplace小波的實部作為稀疏表示的特征原子，Laplace小波實函數(shù)的數(shù)學表達式為

(2)

式中：A為歸一化小波函數(shù)的系數(shù)；f為振蕩頻率；ζ為阻尼系數(shù)。

Laplace小波與沖擊信號特征相似，所以兩者的相關系數(shù)高，而Laplace小波與噪聲及其他信號的相關系數(shù)低，找到合適的Laplace小波就能夠準確的識別沖擊信號。因此，提出基于自適應相關Laplace字典的構造方法，構造出能較好表達滾動軸承故障特征的字典，并且運用高效的OMP算法[6]從原信號中提取能夠表示沖擊特征的稀疏系數(shù)，并通過提取的稀疏系數(shù)進一步分析信號的故障信息。算法的具體流程如下(圖1)：

圖1 改進Laplace小波字典方法流程圖Fig.1 Flow chart of improved Laplace dictionary

1)截取適當長度的軸承振動信號，通過快速Fourier變換尋找可能的振蕩衰減頻率范圍，由經(jīng)驗確定阻尼參數(shù)的范圍，在此選定原子長度為1/10的信號長度；

2)分別設定振蕩頻率增量Δf及阻尼參數(shù)增量Δζ，得到變量范圍內(nèi)的m個頻率值和n個阻尼系數(shù)值，代入小波表達式中得到m×n個不同的Laplace小波，并對每個小波做能量歸一化處理；

3)分別求取這些小波與原信號的互相關函數(shù)，記錄每組互相關函數(shù)的最大值；

4)取出步驟3記錄的所有最大峰值中的最大值，其對應的頻率及阻尼系數(shù)即為與原信號最相關的Laplace小波的參數(shù)；

5)由步驟4得到的參數(shù)構造Laplace小波原子，并展開成Toeplitz矩陣，此矩陣即為稀疏表示的完備字典，且其特殊的字典構造使其每一列即對應原信號中沖擊的一個相位；

6)通過高效OMP算法求出原信號在完備字典下的稀疏表示，稀疏表示系數(shù)的個數(shù)可由經(jīng)驗選取，一般選取2的整數(shù)次冪；

7)通過上述步驟得到的稀疏系數(shù)對原信號進行進一步包絡譜分析等處理。

2 仿真信號驗證

構造仿真信號的表達式為

y(t)=A0e-πfnζ(t-kτ)×

式中：A0為幅度參數(shù)；fn為振蕩頻率；ζ為衰減阻尼系數(shù)；τ為沖擊時間間隔；k為整數(shù)。

仿真信號幅值參數(shù)為5，振蕩頻率為3 000 Hz，衰減阻尼系數(shù)為0.1，假設采樣頻率為100 kHz，總時間為0.1 s，并且加入信噪比為10 dB的高斯噪聲，沖擊時間間隔為0.01 s，即仿真信號沖擊特征頻率為100 Hz，通過以上參數(shù)共同構造仿真信號，其時域波形及包絡譜如圖2所示。從仿真信號的時域圖可以看出，沖擊峰值被噪聲淹沒，無明顯沖擊特征，而包絡譜中也無法準確識別沖擊特征頻率。采用上述算法對原信號進行處理，振蕩頻率區(qū)間設定為[1 000，5 000]Hz，Δf為50 Hz，阻尼系數(shù)區(qū)間設定為[0.01，0.3]，Δζ為0.01，稀疏系數(shù)個數(shù)設定為16，原子長度0.01 s；計算得到最適應于原信號的Laplace原子參數(shù)振蕩頻率為3 100 Hz，阻尼系數(shù)為0.1，基本符合原信號沖擊特征參數(shù)，稀疏表示結果如圖3所示。

圖2 仿真信號的時域波形及其包絡譜Fig.2 Time domain waveform and its envelope spectrum of simulation signals

圖3 仿真信號的稀疏系數(shù)及其包絡譜Fig.3 Sparse coefficient and its envelope spectrum of simulation signals

從圖3可以看出，從原信號中提取的稀疏系數(shù)能夠比較準確地從信號中提取沖擊成分，提取出的沖擊頻率為101.5 Hz及其倍頻，與預設特征頻率100 Hz相符，驗證了改進算法的可行性。

3 實際驗證

為進一步驗證改進算法的實用性和可靠性，采用故障試驗臺對NTN 204型軸承進行故障試驗，利用線切割在軸承內(nèi)圈滾道上加工一個寬0.7 mm、深0.25 mm的凹槽，在軸承外圈滾道上加工一個寬0.3 mm，深0.05 mm的凹槽，分別模擬內(nèi)、外圈故障。通過恒轉速900 r/min的主軸驅動試驗臺，采用加速度傳感器采集振動信號，采樣頻率為100 kHz。任意截取一段內(nèi)、外圈故障振動信號，利用改進算法進行分析處理。

3.1 外圈故障特征提取

所截取軸承外圈故障信號的時域波形如圖4所示。對原信號進行快速Fourier變換頻譜分析，得出沖擊振蕩衰減頻率峰值在23 000 Hz左右，依據(jù)試驗信號特征及多組試驗信號處理過程的參數(shù)總結，設定振蕩頻率范圍[21 000，25 000]Hz，Δf為50 Hz，阻尼系數(shù)范圍[0.01，0.3]，Δζ為0.01，稀疏系數(shù)個數(shù)設定為32，原子長度0.01 s。改進算法得到的稀疏系數(shù)及其包絡頻譜如圖5所示。

圖4 外圈故障信號Fig.4 Fault signal in outer ring

圖5 外圈故障信號稀疏系數(shù)及其包絡譜Fig.5 Sparse coefficient and its envelope spectrum of fault signal in outer ring

從圖5可以看出，稀疏系數(shù)集中于故障信號中的4個主要沖擊成分位置，可從其包絡譜中提取出61.04 Hz的故障特征頻率，與外圈故障特征頻率理論值59.76 Hz相近。

3.2 內(nèi)圈故障特征提取

同樣截取一段內(nèi)圈故障信號進行分析，參數(shù)設定與外圈信號分析一致，結果如圖6所示。從圖中可以看出，通過改進算法處理后提取出的故障特征頻率為100.7 Hz，與內(nèi)圈故障特征頻率理論值100.97 Hz相近。雖然內(nèi)圈故障特征成分受采集傳遞路徑等因素影響在信號中表現(xiàn)較微弱，但處理結果表明改進算法同樣適用于內(nèi)圈故障特征提取。

圖6 內(nèi)圈故障信號處理Fig.6 Processing of fault signal in inner ring

3.3 處理效率對比

對比現(xiàn)有的基于Laplace小波構造的過完備字典稀疏表示方法，參數(shù)設定一致，內(nèi)、外圈故障信號的處理時間見表1。由表可知，稀疏表示結果相似的情況下，改進算法所需時間明顯縮短，效率更高。

表1 算法運算效率比較Tab.1 Comparison of computation efficiency of algorithm

4 結束語

針對滾動軸承故障信號的稀疏表示問題，提出一種基于改進Laplace小波字典的滾動軸承故障診斷新方法，通過優(yōu)化方法提高計算效率，并實現(xiàn)滾動軸承故障沖擊信號的稀疏表示；通過對稀疏系數(shù)進一步的頻譜分析，可以有效判斷滾動軸承的故障類型。

但是，如果在計算過程中信號維度過大，依然會造成字典過大的問題，導致計算失敗。因此可針對這一問題，進一步開展信號降維方法及字典結構優(yōu)化方法的研究。