例看數(shù)形結(jié)合中“以形助數(shù)”的“魔力”

四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校 郭 東

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，尤其是其中的“以形助數(shù)”，可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，特別是在高考選填題中。以下就用例子來向大家展示：

一、在函數(shù)中的魔力

例1 已知函數(shù)f（x）滿足下列關(guān)系：①f（x+1）=f（x-1）;②當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x2，則方程f（x）=lgx解的個(gè)數(shù)是（ ）

A.5 B.7 C.9 D.10

解：由題可知，f（x）是以2為周期，值域?yàn)閇0，1]的函數(shù)。又f（x）=lgx，則x∈（0，10]，畫出兩函數(shù)圖象，則交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為解的個(gè)數(shù)。由圖象可知共9個(gè)交點(diǎn)，故選C。

二、在方程和不等式中的魔力

例2 當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式（x-1）2＜logax恒成立，求a的取值范圍。

解：設(shè) T1：f（x）=（x-1）2，T2：g（x）=logax，則T1的圖象為如右圖所示的拋物線，要使對一切x∈（1，2），f（x）＜g（x）恒成立，即T1的圖象一定要在T2的圖象的下方，顯然a＞1，并且必須也只需g（2）＞（f2），故loga2＞1，a＞1，∴1＜a≤2。

三、在三角函數(shù)中的魔力

例3 已知sinα＞sinβ，那么下列命題正確的是（ ）

A.若α，β是第一象限角，則cosα＞cosβ

B.若α，β是第二象限角，則tanα＞tanβ

C.若α，β是第三象限角，則cosα＞cosβ

D.若α，β是第四象限角，則tanα＞tanβ

四、在數(shù)列中的魔力

例4 設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4≥10，S5≤15，求a4的最大值。

解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則S4=4a1+6d≥10，即2a1+3d≥5，

S5=5a1+10d≤15，即a1+2d≤3，又a4=a1+3d，

因此求a4的最值可轉(zhuǎn)化為在線性約束條件 限制之下的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，作出可行域，如圖所示：

可知當(dāng)a4=a1+3d，經(jīng)過點(diǎn)A（1，1）時(shí)有最大值4。

五、在解析幾何中的魔力

例5 已知點(diǎn)P在拋物線y2=4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，-1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）

解：點(diǎn)Q（2，-1）在拋物線y2=4x的內(nèi)部，要使點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，-1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離之和取得最小值，根據(jù)拋物線的定義知，須使點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，-1）的距離與點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線距離之和最小，即PQ⊥準(zhǔn)線l時(shí)最小，則，故選A。

總之，數(shù)形結(jié)合思想在各個(gè)模塊及高考中占有非常重要的地位，“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合來尋找解題思路，使問題得到解決。