函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

湖北省孝感市云夢(mèng)縣黃香高級(jí)中學(xué) 田永紅

函數(shù)與方程思想其實(shí)是包括兩個(gè)方面的內(nèi)容：函數(shù)思想與方程思想。函數(shù)思想指的是運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)來分析數(shù)學(xué)問題、轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題并解決數(shù)學(xué)問題，而方程思想則是從遇到的數(shù)學(xué)問題中找到數(shù)學(xué)關(guān)系，運(yùn)用我們掌握的數(shù)學(xué)語(yǔ)言把問題中的已知條件轉(zhuǎn)化為可以解答的數(shù)學(xué)模型。在我們學(xué)習(xí)和教學(xué)的過程中，會(huì)遇到許多函數(shù)的問題，我們要運(yùn)用方程的方式進(jìn)行解決和理解，也會(huì)遇到很多方程的問題需要我們通過函數(shù)思想來解決，所以說，函數(shù)和方稱二者是可以相互轉(zhuǎn)化的，兩者關(guān)系密切。我們以高中數(shù)學(xué)人教A版為例，對(duì)函數(shù)與方程思想在解決問題中的應(yīng)用進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析和說明。

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，我們可能會(huì)遇到以下幾類需要運(yùn)用函數(shù)與方程思想的題型：

一、用轉(zhuǎn)化函數(shù)與方程、表達(dá)式相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)解決函數(shù)、方程、表達(dá)式的問題

（1）設(shè)t=k2，若函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)性相同，求k的取值范圍;

（2）是否存在正實(shí)數(shù)k，都能找到t∈[1，2]，使得關(guān)于x的方程f（x）=g（x）在[1，5]上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，且在[－5，－1]上至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根？若存在，請(qǐng)求出所有k的值的集合；若不存在，請(qǐng)說明理由。

此題考查的是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性，求解參數(shù)的取值范圍，并且還對(duì)應(yīng)方程解的問題，可以將其轉(zhuǎn)化為圖象與圖象的交點(diǎn)問題來進(jìn)行處理。

二、通過構(gòu)造函數(shù)或方程來解決問題

在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，我們會(huì)遇到需要通過構(gòu)造一個(gè)函數(shù)或者方程才能解決的數(shù)學(xué)題，例如：設(shè)f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng) x＜0 時(shí)，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＞0，且g（-3）=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集是？

我們會(huì)在解題的過程中首先可以構(gòu)造一個(gè)函數(shù)h（x）=f（x）g（x），x∈R，我們可以得到h（x）是定義在R上的奇函數(shù)，通過題意，可得h（x）在（-∞，0）區(qū)間是單調(diào)遞增的，并且零點(diǎn)是-3，通過數(shù)形結(jié)合，我們就可以得出h（x）＜0的解集是：（-∞，-3）∪（0，3）。

三、數(shù)列問題也可以運(yùn)用函數(shù)與方程的思想

數(shù)列問題是高考中的一個(gè)重要部分，但是，很多時(shí)候，數(shù)列問題的解決并不是只靠數(shù)列的公式就可以的，而是需要結(jié)合函數(shù)與方程思想。

例如：已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列。（1）若a1=2，且a2，a3，a4+1成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式an；（2）在（1）的條件下，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)bn=若對(duì)任意的n∈N＊，不等式bn≤k恒成立，求實(shí)數(shù)k的最小值。

（1）數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比數(shù)列，

所以設(shè)等差數(shù)列的公差為d，即可得到(2+2d)2=(2+d)(3+3d)，解得d=2或d=-1。

當(dāng)d=-1時(shí)，a3=0，與a2，a3，a4+1成等比數(shù)列矛盾，舍去，所以d=2。

所以an=a1+2(n-1)=2n，即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n。

（2）由（1）可得Sn=n(n+1)，所以：

這樣，我們就把一個(gè)復(fù)雜的數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)問題，使解題過程變得容易。

四、不等式中運(yùn)用函數(shù)思想

不等式在高考中占有很大的比例，而很多的不等式都是和函數(shù)相結(jié)合，使得題目的難度增加，這就要求學(xué)生在解題的過程中找準(zhǔn)函數(shù)關(guān)系，例如：解關(guān)于x的不等式：x2+5ax+6a＞0。

分析：此不等式可以分解為：（x+2a）（x+3a）＞0，故對(duì)應(yīng)的方程必有兩解。又因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)為1，大于0，所以本題只需討論兩根的大小即可。

解：原不等式可化為：（x+2a）（x+3a）＞0，

對(duì)應(yīng)一元二次方程（x+2a）（x+3a）=0的兩根為-2a，-3a。

①-2a＞-3a→a＞0，所以不等式的解集為：（-∞，-3a）∪（-2a，+∞）。

②-2a=-3a→a=0，此時(shí)不等式為x2＞0，所以不等式的解集為（-∞，0）∪（0，+∞）。

③-2a＜-3a→a＜0，所以不等式的解集為：（-∞，-2a）∪（-3a，+∞）。

二次項(xiàng)系數(shù)正負(fù)確定的情況下，先看能否因式分解，若能因式分解，則自然不必去求對(duì)應(yīng)的一元二次方程的求根判別式，因?yàn)榉纸庵?，根已顯而易見，同樣，因?yàn)楦泻凶帜?，故其大小也不確定，所以討論又勢(shì)在必行。

五、在解決實(shí)際問題時(shí)靈活運(yùn)用函數(shù)思想，簡(jiǎn)化解題過程

在人教版高中數(shù)學(xué)必修五《基本不等式》的教學(xué)中，有這樣一個(gè)例題：用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，問這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短是多少？

在解答這個(gè)問題時(shí)，求的其實(shí)是周長(zhǎng)最短，實(shí)際上我們已經(jīng)可以知道xy=100，求當(dāng)x和y分別為多少時(shí)，2（x+y）的值最小，即（x+y）的值最小。這樣，一個(gè)實(shí)際問題就被我們用一個(gè)方程表達(dá)出來了，使我們的解題思路清晰起來。

六、三角函數(shù)中運(yùn)用函數(shù)思想

三角函數(shù)本身就是一種函數(shù)的類型，所以在進(jìn)行三角函數(shù)的學(xué)習(xí)時(shí)，要注意的就是把函數(shù)的思想和三角的特點(diǎn)和公式相結(jié)合，達(dá)到高效率地解決問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的內(nèi)化。

七、在函數(shù)最值問題中應(yīng)用方程思想

最值問題可以和很多知識(shí)相結(jié)合，和代數(shù)、三角函數(shù)、一次函數(shù)等等，我們現(xiàn)在就以二次函數(shù)為例進(jìn)行解釋說明：

已知a、b、c為正整數(shù)，方程ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2（x1≠x2），且|x1|＜1，|x2|＜1，則a+b+c的最小值為？

依題意，可知Δ=b2-4ac＞0,x1+x2=0,＞0,從而可知 x1，x2∈（-1,0)，

又 a，b，c為 正 整 數(shù)，取 c=1，則 a+1＞ b a≥ b， 所 以a2≥b2＞4ac=4a a＞4，從而a≥5，所以b2＞4ac≥20。又b＜5+1=6，所以b=5，因此a+b+c有最小值為11。下面可證c≥2時(shí)，a≥3，從而b2＞4ac≥24，所以b≥5，又a+c＞b≥5，所以a+c≥6，所以a+b+c≥11。

綜上可得，a+b+c的最小值為11。

本題主要考查了一元二次方程的根的分布問題的求解，主要應(yīng)用了方程的根與系數(shù)的關(guān)系及，還考查了一定的運(yùn)算推理的能力.

函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是非常重要的，要想在高中這個(gè)重要的階段要求學(xué)生在數(shù)學(xué)上取得好的成績(jī)，那么，掌握函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想就是一個(gè)重要的跳板，教師要在不斷地學(xué)習(xí)中為學(xué)生的進(jìn)步做出研究，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效率。