關(guān)于平板電容器教學(xué)的兩點(diǎn)注記

鄭文珍

(衢州學(xué)院教師教育學(xué)院 浙江 衢州 324000)

電容器是現(xiàn)代電工電子技術(shù)中的重要元件，有關(guān)電容器的教學(xué)也是大學(xué)物理課程教學(xué)內(nèi)容的一個(gè)重要組成部分[1].而在眾多琳瑯滿(mǎn)目的各式電容器中，平行板電容器因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、便于計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)而作為常用電容器的代表在相關(guān)理論推導(dǎo)、能量?jī)?chǔ)存、介質(zhì)極化、耦合回路等多個(gè)方面得到了典型應(yīng)用.但在實(shí)際的大學(xué)物理教學(xué)中，除對(duì)平行板電容器作了最基本的討論外，對(duì)平行板電容器的其他特征卻極少涉及[2,3]，對(duì)其物理本質(zhì)也缺少深層次的剖析.為了更進(jìn)一步闡明平行板電容器的典型特征，下面通過(guò)兩個(gè)例子對(duì)這一問(wèn)題作一些物理上的拓展和延伸，以豐富電容器內(nèi)容的教學(xué).

1 充電電流與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系

對(duì)于一個(gè)兩極板間充以空氣的空氣平行板電容器，當(dāng)其充電時(shí)，考慮一個(gè)質(zhì)量為m,電荷量為e的電子，在電場(chǎng)E作用下，其運(yùn)動(dòng)速度由無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)的速度和在電場(chǎng)力作用下的定向運(yùn)動(dòng)速度疊加而成.則有

ma=-eE

(1)

即，由電場(chǎng)作用而產(chǎn)生的加速度為

(2)

而電子的運(yùn)動(dòng)是在不斷的碰撞中進(jìn)行的，設(shè)電子每?jī)纱闻鲎仓g的自由時(shí)間為τ，碰撞后速度為v0，則電子在兩次碰撞之間的平均自由程為

(3)

由于電子是全同的，對(duì)大量電子的平均自由程求統(tǒng)計(jì)平均，并注意到v0的平均值為零，則有

(4)

則電子定向運(yùn)動(dòng)的漂移速度為

(5)

設(shè)N為電子總數(shù)(為宏觀量)，根據(jù)大數(shù)微觀粒子熱運(yùn)動(dòng)統(tǒng)計(jì)規(guī)律的定義[4]，得

(6)

式(6)代入式(5)，得到

(7)

設(shè)導(dǎo)體中電子數(shù)密度為n，則電容器充電時(shí)的電流密度為

(8)

故通過(guò)任一截面S的充電電流為

(9)

式(9)表明，電流實(shí)際上是由大量電子運(yùn)動(dòng)統(tǒng)計(jì)平均值的結(jié)果，是由電荷的連續(xù)傳輸造成的.當(dāng)電容器未充電時(shí)，體內(nèi)無(wú)電場(chǎng)，自由電子沒(méi)有定向運(yùn)動(dòng)，從而導(dǎo)線(xiàn)中無(wú)電流；但當(dāng)對(duì)電容器充電時(shí)，電場(chǎng)就會(huì)把場(chǎng)源變化的信息很快傳輸出去，使電子迅速達(dá)到重新分布，電路里建成了電場(chǎng)，推動(dòng)當(dāng)?shù)氐碾娮幼龆ㄏ蜻\(yùn)動(dòng)從而形成電流.在對(duì)電容器充電時(shí)，充電電流取決于所有參加導(dǎo)電的電子相對(duì)于晶格位移的統(tǒng)計(jì)平均值，電流的大小與電場(chǎng)強(qiáng)度E和截面積S有直接的關(guān)系.這也是宏觀電流連續(xù)性的具體體現(xiàn).

2 非平行板電容器

設(shè)有一非平行板電容器，如圖1所示，兩極板A和B形狀相同，其長(zhǎng)和寬分別為L(zhǎng)和l，A，B延伸后相交于點(diǎn)O，交角為θ，點(diǎn)O與極板近、遠(yuǎn)端的距離分別為a和b.考慮兩極板雖非平行，但其間距很小，忽略邊緣效應(yīng).

圖1 非平行板電容器

設(shè)兩極板分別帶等量異號(hào)電荷±q，在兩板間距點(diǎn)O分別為r和r′處的場(chǎng)強(qiáng)分布分別為E和E′.由電荷分布的對(duì)稱(chēng)性，在A，B的角平分面上，每一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)都與該面垂直，該面為等勢(shì)面.因此沿場(chǎng)強(qiáng)E和E′計(jì)算的電勢(shì)差相等，有

即

Erθ=E′r′θ

(10)

故

(11)

選取一個(gè)包圍A極板內(nèi)表面的閉合高斯面cdefc，顯見(jiàn)，只有與電場(chǎng)線(xiàn)垂直的ef平面對(duì)所取高斯面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量有貢獻(xiàn)，即

故由高斯定理

得

(12)

從而，得到

(13)

式(13)代入式(11)，得到非平行板電容器極板間的場(chǎng)強(qiáng)分布為

(14)

進(jìn)而可得，此非平行板電容器極板間電勢(shì)差為

故求得此電容器的電容為

(15)

顯見(jiàn)，此電容器的電容除依賴(lài)于本身的形狀外，還與其相對(duì)位置及兩極板的交角等自身特征相關(guān)，而與其他條件無(wú)關(guān)，滿(mǎn)足電容器電容遵從的共性.

如果兩極板間最小距離為d，則當(dāng)θ→0時(shí)，d=aθ；當(dāng)b-a=L?a時(shí)，由ln(1+x)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式

從而式(15)可化為

(16)

式中Ll=S，為極板面積，由式(11)可知θ=0時(shí)，括號(hào)中第二項(xiàng)為零，則式(16)即退化為平板電容器的電容表達(dá)式.

若極板為正方形，即L=l，則有

(17)

與相關(guān)文獻(xiàn)結(jié)果一致[5].