基于MATLAB的電場(chǎng)空間分布可視化教學(xué)研究

莫 增 崔春雨

(陸軍軍醫(yī)大學(xué)基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院 重慶 400038)

史書杰

(中國(guó)解放軍76146部隊(duì) 廣西 桂林 541500)

1 引言

物理學(xué)是高等院校理工類專業(yè)的一門必修基礎(chǔ)課， 其中電磁學(xué)是其重要的組成部分. 由于電場(chǎng)分布不能被直接觀察，電場(chǎng)的概念十分抽象、難以理解，怎樣形象地描繪出電場(chǎng)矢量對(duì)于學(xué)生而言一直是個(gè)難題.因此，在電場(chǎng)的學(xué)習(xí)中不僅要求學(xué)生具有較高的邏輯思維能力和空間想象力，還要求教師會(huì)借助計(jì)算機(jī)等輔助工具進(jìn)行三維構(gòu)圖將電場(chǎng)線等描繪出來(lái)，便于學(xué)生更直觀地理解電場(chǎng)矢量的相關(guān)理論.

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，具有高效、可視化等優(yōu)點(diǎn)的科學(xué)計(jì)算軟件MATLAB近些年來(lái)廣為流行，把它應(yīng)用到電場(chǎng)教學(xué)中可將抽象的場(chǎng)可視化，可以使抽象的電磁場(chǎng)分布更加形象，從而幫助學(xué)生更好地理解場(chǎng)的概念和性質(zhì)[1].利用MATLAB的圖形功能繪制矢量線(電場(chǎng)線)和等勢(shì)線等，可以幫助學(xué)生更好地理解抽象的場(chǎng)[2].下面通過(guò)幾個(gè)典型的例子介紹MATLAB計(jì)算軟件在電場(chǎng)課程教學(xué)中的應(yīng)用，使學(xué)生更加直觀地理解電場(chǎng)的性質(zhì).

2 MATLAB建模

2.1 一對(duì)點(diǎn)電荷在二維平面內(nèi)電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度分布

設(shè)電荷量分別為q1和q2的一對(duì)點(diǎn)電荷位于坐標(biāo)軸的正反兩個(gè)方向,與原點(diǎn)的距離都為a,應(yīng)用電磁場(chǎng)理論可以求出這對(duì)點(diǎn)電荷在空間任一點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)U以及電場(chǎng)強(qiáng)度E.

應(yīng)用MATLAB編程，在GUI界面輸入這對(duì)點(diǎn)電荷的電荷量以及電荷間距，即可以得到電場(chǎng)及等勢(shì)面分布圖,如圖1(a)所示.其中：箭頭方向表示電場(chǎng)強(qiáng)度矢量線，閉合曲線表示等勢(shì)線，等勢(shì)線的疏密程度可表示電場(chǎng)強(qiáng)度大小.

通過(guò)圖1(a)可以得出二維平面上任一點(diǎn)的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度.距離正點(diǎn)電荷近的位置電勢(shì)高，距離負(fù)點(diǎn)電荷近的位置電勢(shì)低.

為了直觀地描繪一對(duì)電荷所在平面內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小，通過(guò)MATLAB編程，采用surf函數(shù)繪圖可以得到電場(chǎng)強(qiáng)度在平面內(nèi)的分布狀況,如圖1(b)所示.

圖1 平面內(nèi)點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度和等勢(shì)面分布

特殊地，當(dāng)q1+q2=0時(shí)，為電偶極子的電場(chǎng)分布.

2.2 均勻帶電球殼在二維平面內(nèi)電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度分布

設(shè)電荷量為Q的均勻帶電球殼圓心為O，半徑為R,應(yīng)用電磁場(chǎng)理論可以求出均勻帶電球殼在空間任一點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)以及電場(chǎng)強(qiáng)度.由于均勻帶電球殼電荷分布具有球?qū)ΨQ性,所激發(fā)的電場(chǎng)也是球?qū)ΨQ的，所以用高斯定理比較簡(jiǎn)單.設(shè)與球心距離為r的球面上電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，電勢(shì)為U.

根據(jù)高斯定理

取無(wú)窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零，取一條從P1開始的電場(chǎng)線作為微積分路徑，如圖2(a)所示，則P1的電勢(shì)為

r=R時(shí)，球殼外表面的電勢(shì)為

取一條從P2開始的電場(chǎng)線作為積分路徑，如圖2(b)所示，則P2的電勢(shì)為

圖2 均勻帶電球殼的電場(chǎng)在空間的分布

應(yīng)用MATLAB編程，在GUI界面輸入均勻帶電球殼的半徑，即可以得到電場(chǎng)及等勢(shì)面分布圖,如圖3(a)所示.其中箭頭方向表示電場(chǎng)強(qiáng)度矢量線，閉合曲線表示等勢(shì)線，除等勢(shì)線的疏密程度之外，箭頭的長(zhǎng)短也可表示電場(chǎng)強(qiáng)度大小.

通過(guò)圖3(a)可以得出二維平面上任一點(diǎn)的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度.截面上的電場(chǎng)和電勢(shì)分布可以用來(lái)表示球殼的電場(chǎng)特征量.球殼表面及其內(nèi)部電勢(shì)處處相等，而球殼以外的電勢(shì)變化與球殼的電性有關(guān)，若球殼帶正電，則從球殼沿電場(chǎng)線往外電勢(shì)逐漸降低，若球殼帶負(fù)電，則從球殼沿電場(chǎng)線往外電勢(shì)逐漸升高[3].

為了直觀地描繪均勻帶電球殼截面所在平面內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小，通過(guò)MATLAB編程，采用三維建模的方法可以得到電場(chǎng)強(qiáng)度在平面內(nèi)的分布狀況，如圖3(b)所示.

圖3 平面內(nèi)帶電球殼電場(chǎng)強(qiáng)度和等勢(shì)面分布

2.3 三維空間內(nèi)均勻帶電圓環(huán)的電場(chǎng)強(qiáng)度分布

設(shè)線電荷密度為ρ的均勻帶電圓環(huán)圓心為O，半徑為a，R為A和B點(diǎn)之間的距離，應(yīng)用電磁場(chǎng)理論可以求出均勻帶電圓環(huán)在空間任一點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度E[4].

圓環(huán)上一點(diǎn)電荷元產(chǎn)生的電勢(shì)

式中

如圖4所示，取A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1,z1)，則有如下式

x1=acosθy1=asinθz1=0

則

可得出任一點(diǎn)的電勢(shì)

圖4 均勻帶電圓環(huán)的電場(chǎng)在空間的分布

應(yīng)用MATLAB編程，通過(guò)GUI界面輸入圓環(huán)半徑以及截面半徑，即可以得到電場(chǎng)強(qiáng)度分布圖,如圖5所示[5].其中：箭頭方向表示電場(chǎng)強(qiáng)度矢量線，其疏密程度表示電場(chǎng)強(qiáng)度的大小.通過(guò)圖5可以得出三維空間內(nèi)任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.從圓環(huán)中心沿圓環(huán)軸線向外，電場(chǎng)強(qiáng)度先增大后減小[6].

圖5 均勻帶電圓環(huán)的電場(chǎng)強(qiáng)度分布圖

2.4 三維空間內(nèi)均勻帶電桿及其復(fù)合體的電場(chǎng)強(qiáng)度分布

如圖6所示，設(shè)均勻帶電桿AB的線電荷密度為λ，由庫(kù)侖定律可知C點(diǎn)的電場(chǎng)

(1)

利用圖6中的微元關(guān)系dlsinα=rdα可以求得

(2)

(3)`

圖6 有限長(zhǎng)均勻帶電細(xì)桿的電場(chǎng)疊加

對(duì)上面的微分表達(dá)式在線段AB上積分即可求得帶電細(xì)桿AB在點(diǎn)C處的電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式

(4)

(5)

建立如圖7所示的三維直角坐標(biāo)系，取平行于水平邊向右為y軸正方向，垂直于紙面向外的方向?yàn)閤軸的正方向，z軸垂直于xy平面向上.設(shè)帶電桿長(zhǎng)為2l，位置與y軸重合并關(guān)于xOz平面對(duì)稱，場(chǎng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z)，其中

(6)

l1=l+y

(7)

l2=l-y

(8)

圖7 均勻帶電桿的電場(chǎng)在空間的分布

將式(6)、式(7)和式(8)代入式(4)和式(5)可得帶電桿AB在C點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)在y方向和zx方向的分量分別為

(9)

(10)

由此可知此時(shí)帶電桿AB的電場(chǎng)在x和z方向的分布表達(dá)式

(11)

(12)

應(yīng)用MATLAB編程，在GUI界面輸入帶電桿的長(zhǎng)度，即可以得到電場(chǎng)分布圖(圖8).黃色線表示均勻帶電桿及其復(fù)合體，藍(lán)色線表示電場(chǎng)強(qiáng)度矢量線[黃色、藍(lán)色在圖(a)中已標(biāo)示出，圖(b)、(c)、(d)與(a)相同].

圖8 三維空間內(nèi)帶電桿及帶電桿復(fù)合體電場(chǎng)分布

通過(guò)圖8可以得出三維空間內(nèi)任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.當(dāng)帶電桿帶正電荷時(shí)，距離帶電桿近的位置電勢(shì)高，距離帶電桿遠(yuǎn)的位置電勢(shì)低，當(dāng)帶電桿帶負(fù)電荷時(shí)，距離帶電桿近的位置電勢(shì)低，距離帶電桿遠(yuǎn)的位置電勢(shì)高.

圖8從單桿模型推廣到多桿模型乃至四棱錐和四棱柱，使分析帶電桿復(fù)合體甚至不規(guī)則復(fù)雜帶電體的電場(chǎng)分布成為可能.

最后，我們制作了電場(chǎng)模擬程序的圖形化界面(圖9).通過(guò)改變物理模型的特征值，例如點(diǎn)電荷距離、帶電體長(zhǎng)度等參數(shù)，可以改變電場(chǎng)演示效果，增強(qiáng)教學(xué)應(yīng)用的靈活性.

圖9 程序界面

3 結(jié)束語(yǔ)

本文采用MATLAB進(jìn)行電磁場(chǎng)可視化教學(xué)，避免了繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算，結(jié)合具體事例，著重介紹MATLAB繪制電場(chǎng)強(qiáng)度分布圖的應(yīng)用，將抽象的場(chǎng)形象、具體化，可有效地幫助學(xué)生更好地理解和掌握電磁場(chǎng)概念和性質(zhì)，幫助教師改善電磁場(chǎng)章節(jié)的教學(xué)效果，為電磁學(xué)的教學(xué)研究開辟一條新的途徑.