求解平面向量數(shù)量積的三種方法

謝偉杰

摘 要 梅州市高一數(shù)學質(zhì)量抽測題第11題是一道關(guān)于平面向量數(shù)量積的考題，這道考題引起了筆者的注意。此題很好地考察了學生對數(shù)量積概念的理解，也能很好地考察學生對求解平面向量數(shù)量積的方法是否掌握到位。

關(guān)鍵詞 平面向量數(shù)量積；解法

中圖分類號：O241.7 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018） 34-0211-01

做題中的“少運算”是建立在對基本概念理解的基礎(chǔ)之上的，學生只有對相關(guān)的概念、性質(zhì)有深刻的理解，而不是純粹的記公式或套方法，才能在做題中真正實現(xiàn)“多思考，少運算”。教師在教學中，要幫助學生去認識相關(guān)知識點的核心及實質(zhì)，而不是認為學生只要能記住相關(guān)的公式或會套用某類方法解題就行，否則，在具體的問題情境中，學生極容易在公式與計算中迷失，從而找不到解決問題的有效途徑。

一、原題呈現(xiàn)

已知 是邊長為 的等邊三角形，點 ， 分別是邊 ， 的中點，連接 并延長到點 ，使得 ，則 的值為 （ ）

二、解法展示與對比

解法一：如圖1，

解法二：如圖2，以點 為坐標原點， 為 軸正方向，建立如圖所示的直角坐標系。則 ， ，

解法三：如圖3，點 在 上的投影為點 ，作點 在 上的投影 ，則 在 是的投影為 ，由向量數(shù)量積的含義可知 ，易得 與 相似，所以 ，又 ，所以 ，即 . 故

作為選擇題，解法三有明顯的優(yōu)點，即我們只需將 在 上的投影 作出，對圖中線段 的長度作大致估計，就可迅速判斷只有 選項才是合理的。筆者認為這樣并不是投機取巧，恰恰相反，在考場上會做這樣的思考，并采取此策略的學生，說明該生對數(shù)量積的概念有更深刻的理解，并有更好的思維能力。這與高考命題中所提倡的“多思考，少運算”的理念也是一致的。