一類系統(tǒng)譜的上界的不等式

吳 平

(蘇州職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215004)

1 問(wèn)題提出

設(shè)Ω?Rm是一個(gè)逐片光滑的區(qū)域，考慮的譜的估計(jì)，其中n是邊界?Ω的單位法向量，

(1)

根據(jù)相關(guān)方程理論知道問(wèn)題(1)的譜都是正實(shí)數(shù)且是離散的，離散譜又稱特征值。

問(wèn)題(1)可寫成矩陣式，設(shè)

問(wèn)題(1)可寫成矩陣形式

(2)

設(shè)問(wèn)題(2)的譜為：

0≤λ1≤λ2≤···≤λn≤···

對(duì)應(yīng)的正交規(guī)范特征向量為u1,u2,···,un,···,即滿足：

(3)

利用分部積分，得：

(4)

設(shè)：

其中，

顯然，φik與uj正交(i,j=1,2,···,n,k=1,2,···,m)，且滿足：

于是，根據(jù)Rayleigh定理，得到下列不等式：

(5)

計(jì)算得：

(6)

(7)

由(7)式，有：

(8)

(9)

用λn替代(6)式中的λi，則(λn+1-λn)U≤I。

(10)

2主要引理

(11)

(12)

同理，

化簡(jiǎn)，由分部積分法，Schwartz不等式，有：

(13)

由式(11)和式(13)，得：

既得引理1。

證明 由恒等式和分部積分法，得：

(14)

由(14)式，有：

(15)

由于：

(16)

(17)

(18)

由分部積分，得：

(19)

(20)

由(18)式，(19)式，(20)式和分部積分，有：

即得引理2。

引理3 對(duì)于φik和λi(i=1,2,···,n,k=1,2,···,m)，則：

證明 由φik的定義，有：

(21)

顯然：

(22)

由Schwartz不等式和引理1，有：

即得引理3

3 主要結(jié)論

定理1 如果λi(i=1,2,···,n+1)是問(wèn)題(3)的譜，則：

23)

(24)

證明 利用引理3，再利用(10)式和引理2，我們可得定理1的(23)式，在(23)式右端用λn替代λi，可得(24)式。

定理2 對(duì)于n≥1，則：

證明 選擇參數(shù)σ>λn，由(9)式，得：

(25)

利用(22)式和Young不等式，得：

(26)

其中δ>0為待定常數(shù)。

由(25)式，(26)式和引理1，化簡(jiǎn)得：

(λn+1-σ)U+V≤I，

(27)

(28)

為了使(28)式右端的值達(dá)到最小，取

(29)

將(29)式代入(28)式，得：

(30)

根據(jù)引理2，(27)式和(28)式，得：

(31)

其中σ>λn，選擇σ使(31)式右端等于零，即：

(32)

易知，f(σ)是在(λn,+)內(nèi)單調(diào)減少連續(xù)函數(shù)，其值域?yàn)?0,+)，因此，存在唯一的σ使等式(32)成立。從(31)式知σ≥λn+1，用λn+1來(lái)替代等式中σ，即得定理2。

4 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)學(xué)科研究的一個(gè)重要領(lǐng)域就是方程的特征值問(wèn)題，偏微分方程及偏微分方程組特征值問(wèn)題的研究就是其中很重要的一個(gè)方面。本文所研究的問(wèn)題就屬于這一方面的內(nèi)容，文中采用了分部積分、Rayleigh定理以及不等式估計(jì)等數(shù)學(xué)方法，得到了問(wèn)題(1)的譜的上界的不等式。其結(jié)果應(yīng)用廣泛，特別在物理學(xué)和力學(xué)等領(lǐng)域。