基于障礙期權(quán)的比例擔(dān)保的定價研究

王祥宇，吳建華

（1.山東財經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，濟(jì)南 250200；2.濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，濟(jì)南 250022）

引言

中小企業(yè)的發(fā)展面臨的最大問題就是融資問題，從銀行的角度考慮，對中小企業(yè)的貸款不僅管理成本高而且風(fēng)險也很大，這就造成中小企業(yè)從銀行等金融中介機(jī)構(gòu)融資的困難，導(dǎo)致企業(yè)的經(jīng)營處于停滯狀態(tài)，甚至破產(chǎn)。造成銀行對中小企業(yè)實行信貸配給[1]的主要原因就是小企業(yè)和銀行之間的信息不對稱。因此，解決中小企業(yè)融資難題的根本思路應(yīng)該是減少信息不對稱對貸款融資的負(fù)面影響，提高中小企業(yè)與銀行之間的信息傳遞，其中途徑之一就是發(fā)揮第三方擔(dān)保機(jī)構(gòu)的作用，對中小企業(yè)給予融資信用擔(dān)保，在企業(yè)與銀行之間搭建橋梁，從而實現(xiàn)中小企業(yè)順暢的間接融資。事實上，這也是中小企業(yè)信用擔(dān)保機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的根本原因。

但是，在我國目前的中小企業(yè)信用擔(dān)保實踐中，貸款信用擔(dān)保并沒有很好地解決中小企業(yè)的融資問題。我國信用擔(dān)保業(yè)起步較晚，加上金融體制改革不到位和監(jiān)管錯位，導(dǎo)致我國中小企業(yè)擔(dān)保業(yè)發(fā)展一直落后于實踐的需要，特別是在擔(dān)保風(fēng)險的控制與防范方面比較落后。另外，在我國目前的銀行業(yè)還處在相對強(qiáng)勢的地位，大都采用全額擔(dān)保的形式，其中擔(dān)保機(jī)構(gòu)承擔(dān)幾乎大部分貸款的連帶清償責(zé)任，這將容易造成“道德風(fēng)險”，也就是降低了對貸前的企業(yè)經(jīng)營狀況的調(diào)查和資信審查的標(biāo)準(zhǔn)，導(dǎo)致?lián)９境袚?dān)了很多高風(fēng)險擔(dān)保。同時，在簽訂擔(dān)保合同后，銀行對企業(yè)的事后監(jiān)督的積極性和力度也降低。這種不對等的經(jīng)濟(jì)地位，也迫使中小企業(yè)擔(dān)保行業(yè)畸形發(fā)展，有些甚至變?yōu)榉鸥呃J者，極大地扭曲了本來意義上的擔(dān)保機(jī)制。

從國外信用擔(dān)保運(yùn)作的經(jīng)驗來看，建立風(fēng)險分擔(dān)機(jī)制，由擔(dān)保機(jī)構(gòu)承擔(dān)大部分風(fēng)險，銀行承擔(dān)少部分風(fēng)險，既可以防范金融機(jī)構(gòu)的道德風(fēng)險，強(qiáng)化其對貸款企業(yè)的責(zé)任感，又有利于加強(qiáng)銀保之間的合作。比例擔(dān)保作為一種商業(yè)銀行與擔(dān)保機(jī)構(gòu)風(fēng)險共擔(dān)、利益共享的機(jī)制，應(yīng)該得到銀行及擔(dān)保機(jī)構(gòu)的重視。比例擔(dān)保的核心問題就是，擔(dān)保比例的確定，即擔(dān)保的定價問題。本文首先簡要回顧了信用擔(dān)保定價的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，分析了比例擔(dān)保與向下敲出的歐式看跌障礙期權(quán)的同構(gòu)性，然后基于期權(quán)定價的保險精算思路給出了比例擔(dān)保理論擔(dān)保費(fèi)的定價模型，并且對模型的應(yīng)用進(jìn)行了分析，最后總結(jié)全文并給出進(jìn)一步研究的思路。

一、信用擔(dān)保定價的國內(nèi)外研究述評

自Samuelson在1969年提出擔(dān)保定價以來，國外的學(xué)者和專家開始了對信用擔(dān)保定價方面的研究。Merton（1974）首次提出信用擔(dān)保的期權(quán)特性，認(rèn)為擔(dān)保合約實際上是一份看跌期權(quán)，該看跌期權(quán)的標(biāo)的物為債務(wù)方企業(yè)的凈資產(chǎn)，所以在一系列強(qiáng)假設(shè)條件下可以使用Black-Scholes期權(quán)定價模型對信用擔(dān)保進(jìn)行定價[2]。Jones et al（1980）首次探討了不可贖回零息債券的全額擔(dān)保、部分擔(dān)保，優(yōu)次級不可贖回零息的全額擔(dān)保、以及可贖回零息債券擔(dān)保的定價問題[3]。Lai（1994）在考慮利率的隨機(jī)性基礎(chǔ)上，使用數(shù)值模擬對可違約貸款擔(dān)保各變量做了比較靜態(tài)分析[4]。Gendron et al（2002）從組合擔(dān)保風(fēng)險分散，債務(wù)擔(dān)保能力及擔(dān)保期限角度分析了貸款擔(dān)保組合的風(fēng)險管理問題[5]。Jun，Jae Bum（2008）在 B-S 期權(quán)定價模型的基礎(chǔ)上，提出了針對實物期權(quán)的二項式模型，給出在BOT項目中政府擔(dān)保的定價方法，并用相關(guān)實際項目對模型進(jìn)行了適用性檢驗[6]。

我國信用擔(dān)保起步較晚，我國經(jīng)濟(jì)學(xué)界對信用擔(dān)保定價的理論研究涉足較少，但是從目前來看，信用擔(dān)保定價已經(jīng)引起了國內(nèi)眾多學(xué)者和專家的廣泛關(guān)注。林昆輝等（2000）從理論和實證兩方面論述了如何運(yùn)用Blake-Scholes的期權(quán)定價模型確定擔(dān)保收費(fèi)的問題[7]。陳富權(quán)等（2004）在Black-Scholes期權(quán)定價理論的基礎(chǔ)上，提出了信用擔(dān)保的兩階段定價模型[8]。徐友傳、何佳（2007）在考慮最低凈現(xiàn)金流與擔(dān)保定價關(guān)系的基礎(chǔ)上，給出了在最低凈現(xiàn)金流要求條件下的信用擔(dān)保定價方法[9]。陳曉紅等（2007）基于債務(wù)展期,研究了擔(dān)保定價問題[10]。顧海峰（2007）在展期階段可選的情況下,研究了存在多個債務(wù)展期情況下的擔(dān)保價值及其影響因素[11]。鐘田麗等（2008）通過相對VaR的方法，研究了既考慮企業(yè)原有債務(wù)，又考慮企業(yè)對于擔(dān)保方的展期債務(wù)的兩期擔(dān)保定價模型[12]。徐云（2015）還針對服從布朗運(yùn)動的標(biāo)的資產(chǎn)價格，采用擬鞅定價方法對信用擔(dān)保進(jìn)行定價研究[13]。

以上文獻(xiàn)中的擔(dān)保定價，大多數(shù)是基于全額擔(dān)保的條件下，通過改變利率的隨機(jī)性，信用風(fēng)險的度量的方式，擔(dān)保期限的延伸，以及組合形式下的擔(dān)保的定價問題和實證分析思路。關(guān)于非全額擔(dān)保的研究相對較少，近期比較有代表性的是熊熊等（2011）[14]運(yùn)用博弈論對銀行、企業(yè)、擔(dān)保機(jī)構(gòu)三方的合作過程進(jìn)行分析，研究發(fā)現(xiàn)，比例擔(dān)保是比全額擔(dān)保更為有利的選擇，在實際操作中擔(dān)保機(jī)構(gòu)應(yīng)承擔(dān)較大的比例。但是，該文只是強(qiáng)調(diào)了比例擔(dān)保的優(yōu)越性，僅僅引用了美國、英國、法國、德國和加拿大幾個國家采用的擔(dān)保比例，但并沒有給出如何得到這些擔(dān)保比例，而且沒有給出在該比例下的應(yīng)當(dāng)收取的擔(dān)保費(fèi)率的大小。本文的研究重點(diǎn)就是利用期權(quán)與擔(dān)保的同構(gòu)性，推演出比例擔(dān)保與向下敲出歐式看跌期權(quán)的同構(gòu)性，并且給出了比例擔(dān)保下的擔(dān)保費(fèi)率的確定。

二、比例擔(dān)保與歐式障礙期權(quán)的同構(gòu)性

所謂比例擔(dān)保，就是擔(dān)保機(jī)構(gòu)只對擔(dān)保貸款的一定比例負(fù)責(zé)，超出比例的部分由銀行承擔(dān)。下面給出比例擔(dān)保運(yùn)行機(jī)制的數(shù)理模型。

設(shè)擔(dān)保機(jī)構(gòu)對企業(yè)的貸款L進(jìn)行信用擔(dān)保，擔(dān)保額為M（0＜M＜L），擔(dān)保比例為 δ=M/L（0＜δ＜1），具體運(yùn)行機(jī)制如下：

1.當(dāng)企業(yè)資產(chǎn)價值VT大于到期債務(wù)值DT的時候，即所有者權(quán)益ST＞0，企業(yè)能夠按期償還貸款本息，保留企業(yè)控制權(quán)繼續(xù)經(jīng)營，此時無須擔(dān)保，擔(dān)保的內(nèi)在價值為0；銀行收回全部的貸款本息，即銀行收益CT=D。

2.當(dāng)企業(yè)資產(chǎn)價值VT小于或等于到期債務(wù)值DT的時候，即所有者權(quán)益ST≤0，企業(yè)不能足額償還貸款本息。首先，如果-Lδ＜ST≤0，企業(yè)處于“休克狀態(tài)”，擔(dān)保機(jī)構(gòu)支付擔(dān)保額-ST之后，剩余部分債務(wù)（D+ST）企業(yè)仍然有能力償還，此時企業(yè)保留企業(yè)控制權(quán)。擔(dān)保的內(nèi)在價值為-ST=D-VT，銀行收益CT=D。其次，如果 ST≤-Lδ，企業(yè)處于“瀕死狀態(tài)”，擔(dān)保機(jī)構(gòu)支付擔(dān)保額Lδ，但是剩余部分債務(wù)（D-Lδ）企業(yè)沒有能力償還，此時企業(yè)將企業(yè)控制權(quán)移交給銀行。擔(dān)保的內(nèi)在價值為Lδ；銀行只能夠收回部分的貸款本息Lδ，但是獲得了企業(yè)資產(chǎn)的控制權(quán)，可以通過破產(chǎn)清算進(jìn)一步的降低損失，即銀行收益CT=Lδ+VT。因此，比例擔(dān)保在T時刻的內(nèi)在價值為：

顯然，此時的比例擔(dān)保可以看成是一個標(biāo)的資產(chǎn)為VT、執(zhí)行價格為D、障礙價格為B=D-Lδ、到期日為T的向下敲出歐式看跌期權(quán)，該障礙期權(quán)在t時刻期權(quán)的價格C（Vt，t）。那么，C（V0，0）就是我們要求的比例擔(dān)保的擔(dān)保費(fèi)。

三、比例擔(dān)保理論保費(fèi)確定的精算模型

下面將根據(jù)比例擔(dān)保與歐式障礙期權(quán)的同構(gòu)關(guān)系，利用期權(quán)定價的保險精算思路給出計算比例擔(dān)保的理論保費(fèi)的方法。

1.基于保險精算方法的期權(quán)定價原理。保險精算定價方法最早由Bladt和Rydberg于1998年提出，并且可用于期權(quán)定價。利用期望均衡原理確定的期權(quán)費(fèi)就是相應(yīng)收益（損失）的期望值。以歐式看漲期權(quán)為例，標(biāo)的資產(chǎn)的價格可認(rèn)為是到期日標(biāo)的資產(chǎn)可能發(fā)生的損失ST，雙方互相約定的執(zhí)行價格則相當(dāng)于免賠額X，假定初始時刻為t，保險到期日為T，t∈[0，T]，則到期日 T 保險人的損失為 max（ST-X，0），如果以CT表示在T時刻期權(quán)價值，則在到期日T，保險費(fèi)（期權(quán)費(fèi)）的價值為：

由于收到（支付）保險費(fèi)（期權(quán)費(fèi)）發(fā)生在現(xiàn)在，未來在期權(quán)到期日才會支付（收到）保險費(fèi)（期權(quán)費(fèi)）的償付，因此需要對保險費(fèi)（期權(quán)費(fèi)）的期望損失（收益）貼現(xiàn)。在初始時刻t收到（支付）的保險費(fèi)（期權(quán)費(fèi)）Ct由下式給出，即：

2.基于保險精算定價方法的障礙期權(quán)定價模型。首先給出向下敲出歐式看跌期權(quán)的運(yùn)行機(jī)制（如圖1所示）。

圖1 向下敲出的歐式看跌期權(quán)運(yùn)行機(jī)制

下面給出該障礙期權(quán)的到期現(xiàn)金流（期權(quán)到期價值），以公式表示如下：

由期望均衡原理可知，考慮在條件為風(fēng)險中性的情況下，在t時刻期權(quán)的價格可按照其到期現(xiàn)金流量的期望值以無風(fēng)險利率r折現(xiàn)到時刻t，其表達(dá)式為：

式（3）中的I為示性函數(shù)。式（3）則是基于保險精算方法的一個障礙期權(quán)定價模型，其實質(zhì)是一個最高賠付上限為Lδ且具有現(xiàn)金補(bǔ)償?shù)南蛳虑贸隹吹跈?quán)定價模型。

設(shè)企業(yè)的價值為VT，利用Black-Scholes期權(quán)定價模型的基本假設(shè)，可假定VT服從幾何布朗運(yùn)動：

其中μ，σ＞0為常數(shù)，μ為企業(yè)價值的期望瞬間報酬率，σ是資產(chǎn)報酬率的瞬間標(biāo)準(zhǔn)差，Wt為標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動，滿足式（4）方程的解可稱作幾何Brown運(yùn)動。利用Ito^公式可得：

即 lnVt，t∈[0，T]是一個服從漂移率是常數(shù) μ，波動率是σ2的幾何 Brown 運(yùn)動。當(dāng) t＞0 時，式（5）等價于 lnVt～，即VT服從對數(shù)正態(tài)分布。在風(fēng)險為中性的情況下，期望收益率μ=r。如果給定t時刻企業(yè)的價值Vt，那么在T時刻，企業(yè)資產(chǎn)的價值VT的條件分布就是以均值、方差Var[lnVT|Vt]=σ2（T-t）的對數(shù)正態(tài)分布。則在給定給定Vt的情況下，VT的條件概率密度函數(shù)記為：

將式（6）代入式（3），該期權(quán)價格可表示為：

由式（7）、式（8）、式（9）和式（10）可以得到企業(yè)價值 VT的障礙期權(quán)定價模型為：

式中，N（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積分布函數(shù)。

若令δ→1，即相當(dāng)于不設(shè)障礙價格，沒有最高賠付上限，則可推出基于Black-Scholes公式的企業(yè)價值VT的歐式看跌期權(quán)定價模型為：

式中，N（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積分布函數(shù)。

那么，由式（11）可得，在擔(dān)保合同簽署的時刻0，企業(yè)需要向擔(dān)保機(jī)構(gòu)繳納的擔(dān)保費(fèi)就是C（V0，0），公式如下：

式中，N（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積分布函數(shù)。

四、模型的比較靜態(tài)分析

從上面第四部分推導(dǎo)出的擔(dān)保費(fèi)C（V0，0）可以看出，影響擔(dān)保費(fèi)的因素有多個。為了深入了解擔(dān)保合約價值的影響因素以及影響程度，下面給出擔(dān)保價值影響因素的敏感性分析（如圖2所示）。

從圖2可以看出，貸款擔(dān)保價值隨著企業(yè)的初始總資產(chǎn)價值V0，擔(dān)保比例δ=M/L和無風(fēng)險利率r的增大而減少。貸款企業(yè)資產(chǎn)初值越大，其違約的可能性越小，擔(dān)保方代償?shù)目赡苄詼p小，從而擔(dān)保價值減少；擔(dān)保比例越大合約被敲出的可能性變大，而到期補(bǔ)償?shù)默F(xiàn)金流也減少，由于敲出可能性變大引起擔(dān)保價值增加的作用超過了由于敲出時補(bǔ)償現(xiàn)金流減小引起擔(dān)保價值減小的作用，因而擔(dān)保價值減??；而無風(fēng)險利率是折現(xiàn)利率，它的增大代表擔(dān)保價值現(xiàn)值減小。從圖2中也可以看出，其中貸款企業(yè)資產(chǎn)初值對擔(dān)保價值的影響最為敏感，是擔(dān)保方控制風(fēng)險的重要因素。另外，從圖2還可以看出，隨著擔(dān)保比例的增加，擔(dān)保價值加速下降，敏感性變大；隨著貸款企業(yè)資產(chǎn)增加，擔(dān)保價值減速下降，敏感性變??；而對于無風(fēng)險利率，減小速度基本平緩，敏感性基本不變。從這個角度來看，雖然擔(dān)保價值對貸款企業(yè)的資產(chǎn)初值的敏感性最大，但是擔(dān)保比例得敏感性變化速度最快，當(dāng)變化幅度大過一定程度時，擔(dān)保比例的敏感程度會超過資產(chǎn)初值的敏感性。以上分析表明，資產(chǎn)初值和擔(dān)保比例都是擔(dān)保方控制風(fēng)險的重要因素。

五、模型的應(yīng)用分析

本文所研究的中小企業(yè)沒有發(fā)行股票和債券的資格，企業(yè)的資產(chǎn)僅由所有者權(quán)益S和銀行貸款L兩部分構(gòu)成。企業(yè)的負(fù)債全部為銀行貸款。假設(shè)企業(yè)在0時刻獲得貸款本金是L，貸款期限是T，貸款利率為R，那么，在貸款的初始0時刻，企業(yè)的資產(chǎn)價值V0=L+S0。此時，企業(yè)的資產(chǎn)負(fù)債率為λ=L/V0。在貸款到期T時刻，企業(yè)的總資產(chǎn)VT就等于貸款到期值D=L·R與到期所有權(quán)益價值ST之和，即VT=D+ST。我們給出約束性擔(dān)保額上限為M（≥0）。

1.擔(dān)保費(fèi) C（V0，0）的決定因素。根據(jù)我們得到的擔(dān)保費(fèi)的定價模型（12），可以看出影響擔(dān)保費(fèi)高低的因素主要有以下6個：企業(yè)的總資產(chǎn)價值V0，無風(fēng)險利率r，貸款到期值D，貸款期限T，約束性擔(dān)保額上限為M（0＜M≤L），企業(yè)資產(chǎn)價值的波動率為σ2。下面我們通過一個定價實例來實現(xiàn)模型的定價。（1）企業(yè)的總資產(chǎn)價值V0。被擔(dān)保企業(yè)的初始總資產(chǎn)價值，可以用利潤或者銷售額來估算，這可以通過查閱審核企業(yè)的財務(wù)報表得到較為準(zhǔn)確的數(shù)值，不妨假定某公司的初始總資產(chǎn)價值為500萬元。（2）無風(fēng)險利率r。無風(fēng)險利率r可以參考我國的貨幣市場基準(zhǔn)利率——上海銀行間同業(yè)拆借利率（Shibor），不妨假定r=5%。（3）貸款到期值D和貸款期限T。貸款到期值D和貸款期限T一般由企業(yè)和銀行協(xié)商確定。這里不妨假定貸款的到期值的賬面金額為250萬元，貸款期限為五年。（4）約束性擔(dān)保額上限為M。擔(dān)保額上限M可以由擔(dān)保機(jī)構(gòu)和銀行根據(jù)相關(guān)的擔(dān)保法律法規(guī)協(xié)商確定，并且有B=D-M。不妨假定M為150萬元，B=100萬元。（5）企業(yè)資產(chǎn)價值的波動率為σ2。顯然，只有企業(yè)資產(chǎn)價值的波動率為σ2是一個未知的變量，這個變量代表企業(yè)的資產(chǎn)貶值而產(chǎn)生的信用違約風(fēng)險。下面我們進(jìn)行對σ2進(jìn)行估算，我們可以通過企業(yè)的利潤或銷售額的年復(fù)波動率來估算公司價值的年復(fù)波動率。

2.企業(yè)資產(chǎn)價值的波動率σ2的估算以及擔(dān)保費(fèi)率的計算。首先在固定的時間間隔ΔT選取相應(yīng)的公司價值，并將其記作為：Tk=T0+k·ΔT（k=1，2，…，n），其中 ΔT 以年為單位。Tk對應(yīng)的公司價值為S（kk=1，2，…，n），因為 σ 是公司價值年復(fù)波動率的標(biāo)準(zhǔn)差，于是可設(shè)：Ek=ln（Sk/Sk-1），顯然變量 Ek的標(biāo)準(zhǔn)差為，根據(jù)統(tǒng)計學(xué)相關(guān)理論，變量Ek的無偏統(tǒng)計量是的最優(yōu)估計，根據(jù)無偏統(tǒng)計量的定義，則可得σ的最優(yōu)估計式：

我們借用顧海峰[15]在2009年所采用的數(shù)據(jù)，首先給出此公司每個月（共18個月）的利潤假設(shè)表（如下表所示）來確定，顯然有，以此刻測算企業(yè)資產(chǎn)的年復(fù)波動率σ。

公司每個月的利潤 單位：萬元

下面我們對照定價公式（12）進(jìn)行分析，已知V0=500，D=200，r=5%，T=5，σ=22.98%。把上述數(shù)值代入定價公式（12），則有：

通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，有 N（d1）=0.9818，N（d3）=0.9428，N（d2）=0.9999，N（d4）=0.9996。因此，在擔(dān)保合同簽署的時刻0，企業(yè)需要向擔(dān)保機(jī)構(gòu)繳納的擔(dān)保費(fèi)就是C（500，0），公式如下：

六、結(jié)論和下一步的研究方向

比例擔(dān)保可以合理降低擔(dān)保機(jī)構(gòu)的風(fēng)險，本文基于比例擔(dān)保與歐式障礙期權(quán)的同構(gòu)性，利用保險精算思路給出了比例擔(dān)保的理論保費(fèi)，即：

其中，無風(fēng)險利率r可以參考我國的貨幣市場基準(zhǔn)利率——上海銀行間同業(yè)拆借利率（Shibor）；貸款到期本息D，貸款期限T由企業(yè)和銀行協(xié)商確定；企業(yè)的總資產(chǎn)價值V0可以通過查閱審核企業(yè)的財務(wù)報表得到較為準(zhǔn)確的數(shù)值；擔(dān)保機(jī)構(gòu)承擔(dān)的比例δ可以由擔(dān)保機(jī)構(gòu)和銀行根據(jù)相關(guān)的擔(dān)保法律法規(guī)協(xié)商確定；只有企業(yè)資產(chǎn)的波動率為σ2是一個未知的變量，這個變量代表企業(yè)的資產(chǎn)貶值而產(chǎn)生的信用違約風(fēng)險，可以利用已有的信用違約風(fēng)險理論進(jìn)行估算。

對該理論保費(fèi)進(jìn)行了敏感性分析，發(fā)現(xiàn)企業(yè)資產(chǎn)初值對擔(dān)保價值的影響最為敏感，是擔(dān)保方控制風(fēng)險的重要因素。另外，隨著擔(dān)保比例的增加，擔(dān)保價值加速下降，敏感性變大；隨著貸款企業(yè)資產(chǎn)增加，擔(dān)保價值減速下降，敏感性變??；而對于無風(fēng)險利率，減小速度基本平緩，敏感性基本不變。從這個角度來看，雖然擔(dān)保價值對貸款企業(yè)的資產(chǎn)初值的敏感性最大，但是擔(dān)保比例得敏感性變化速度最快。當(dāng)變化幅度大過一定程度時，擔(dān)保比例的敏感程度會超過資產(chǎn)初值的敏感性。這些分析表明，資產(chǎn)初值和擔(dān)保比例都是擔(dān)保方控制風(fēng)險的重要因素。