多元邏輯代數(shù)理論及其在機(jī)械工程中的應(yīng)用初探

朱永迪

（蘭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

邏輯代數(shù)也稱為布爾代數(shù)，是分析和設(shè)計(jì)邏輯關(guān)系的一種數(shù)學(xué)工具，邏輯代數(shù)有“0”和“1”兩種邏輯值，它們并不表示數(shù)量的大小，而表示邏輯兩種狀態(tài)，如開(kāi)關(guān)的開(kāi)與關(guān)等，所以邏輯代數(shù)中的“0”和“1”與自然數(shù)1和0有著本質(zhì)區(qū)別[1]。若將邏輯代數(shù)兩種狀態(tài)推廣到n種狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的可用符號(hào)“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、……、“n-1”來(lái)表示 n 種邏輯值，同理邏輯代數(shù)有“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、……、“n-1”n 種邏輯值，它們并不表示數(shù)量的大小，而表示n種邏輯狀態(tài)。傳統(tǒng)的邏輯設(shè)計(jì)都是基于二值邏輯器件來(lái)處理邏輯問(wèn)題的。然而，自然界多姿多彩的許多邏輯問(wèn)題用二值邏輯是不易或不能解決的。在實(shí)際生產(chǎn)生活中，邏輯代數(shù)中“0”、和“1”兩種邏輯值并不能完全滿足應(yīng)用要求。例如：機(jī)械控制中的“正轉(zhuǎn)”、“停止”、“反轉(zhuǎn)”三態(tài)，交通燈的紅、黃、綠三種顏色等等，本身都屬于三元邏輯問(wèn)題。顯然，研究多元邏輯代數(shù)在機(jī)械工程中的應(yīng)用有著極其重要的意義。

1 多元邏輯代數(shù)的引入

多元邏輯代數(shù)同布爾代數(shù)一樣，也是用字母表示變量。所不同的是，在布爾代數(shù)中邏輯變量的取值只有“0”、“1”、，多元邏輯代數(shù)根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)生活應(yīng)用可以定義n個(gè)值，n為有限值。0-1布爾代數(shù)邏輯變量為{0,1}，如引言中提到的機(jī)械控制中“正轉(zhuǎn)”、“停止”、“反轉(zhuǎn)”三態(tài)可用3元邏輯變量{0,1,2}，以此類推 n 元邏輯變量為{0,1,2,3,4,···,n-1}，其中 n 為有限值。用0-1布爾代數(shù)法進(jìn)行邏輯表達(dá)式的運(yùn)算及簡(jiǎn)化時(shí)一般需要掌握布爾代數(shù)的基本定律、結(jié)合律、交換律、分配律、互補(bǔ)律、0-1律、吸收律、還原律、狄摩根定理、分解定理等；以及一些規(guī)則，如代入規(guī)則、反演規(guī)則、對(duì)偶規(guī)則及一些常用的恒等式等[2]。布爾代數(shù)基本邏輯關(guān)系有，與邏輯：F=A·B；或邏輯：F=A+B；非邏輯：F=Aˉ。在多元邏輯代數(shù)中與邏輯：F=A·B和或邏輯：F=A+B成立但是其中的A和B必須為同維度變量，即A和B的邏輯變量數(shù)必須相同。在0-1邏輯代數(shù)基礎(chǔ)上研究3元及3元以上邏輯代數(shù)，即 {0,1,2}，{0,1,2,3}，{0,1,2,3,4,···,n-1}（其中 n 為有限值），的運(yùn)算性質(zhì)。

在3元邏輯代數(shù)中，即邏輯變量為{0,1,2}，“邏輯與”的計(jì)算 0·0=0，0·1=0，0·2=0；1·0=0，1·1=1，1·2=1；2·0=0，2·1=1，2·2=2；“邏輯或”的計(jì)算 0+0=0，0+1=1，0+2=2；1+0=1，1+1=1，1+2=2；2+0=2，2+1=2，2+2=2；在4元邏輯代數(shù)中，即邏輯變量為{0,1,2,3}，“邏輯與”的計(jì)算 0·0=0，0·1=0，0·2=0，0·3=0；1·0=0，1·1=1，1·2=1，1·3=1；2·0=0，2·1=1，2·2=2，2·3=2；3·0=0，3·1=1，3·2=2，3·3=3；“邏輯或”的計(jì)算0+0=0，0+1=1，0+2=2，0+3=3；1+0=1，1+1=1，1+2=2，1+3=3；2+0=2，2+1=2，2+2=2，2+3=3；3+0=3，3+1=3，3+2=3，3+3=3；在n元邏輯代數(shù)中，即邏輯變量為{0,1,2,3,4,···,n-1}（其中n為有限值）“邏輯與”的計(jì)算F=A·B取決于A和B中值小的一個(gè)，“邏輯或”的計(jì)算F=A+B取決于A和B中值大的一個(gè)。

表1 電工考試總成績(jī)真值表

2 多元邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算法則和基本定律

2.1 基本運(yùn)算法則

在 n 邏輯系統(tǒng)中，設(shè) Ln={0,1,2,3,4,···,n-1}，為多元變量的取值集合，且 0＜1＜2＜···＜n-1，那么系統(tǒng)的兩種基本運(yùn)算為

（1）多元“與”運(yùn)算

n 變量 X1，X2，X3，…，Xm的邏輯“與”，其積 F 為m變量中的最小值，可表示為

式中Xi∈Ln。多元“與”運(yùn)算也稱為最小運(yùn)算。

（2） 多元“或”運(yùn)算

n 變量 X1，X2，X3，…，Xm的邏輯“或”，其和 F 為m變量中的最大值，可表示為

式中Xi∈Ln。多元“或”運(yùn)算也稱為最大運(yùn)算。

（3）多元“與”和多元“或”基本運(yùn)算法則

0·A=0，n·A=A（A 值≤n），n·A=n（A 值≥n)，A·A=A；

0+A=A，n+A=n（A 值≤n），n+A=A（A 值≥n），A+A=A；

2.2 基本定律

交換律：A·B=B·A，A+B=B+A

結(jié)合律：ABC=（AB）C=A（BC），A+B+C=（A+B）+C=A+（B+C）

分配率：A（B+C）=AB+AC，（A+B）（A+C）=A+A（B+C）+BC

其中的A、B和C必須為同維度變量，如同為3值或4值或5值…n值，n為有限項(xiàng)。

同理n元邏輯代數(shù){0,1,2,3,4,…,n-1}（其中n為有限值）中取值0時(shí)F≠0，在n元邏輯空間中除0以外其余值的取值概率為1/n；A取值1時(shí)F≠1，在n元邏輯空間中除1以外其余值的取值概率為1/n；A取值n時(shí)F≠n，在n元邏輯空間中除n以外其余值的取值概率為1/n。

非邏輯的兩個(gè)運(yùn)算性質(zhì)：在n值邏輯空間{0,1,2,3,4,···,n-1}（其中n為有限值）中有

3 多值邏輯代數(shù)的應(yīng)用初探

3.1 基于多元邏輯代數(shù)的小球分揀系統(tǒng)探析

以一個(gè)小球分揀系統(tǒng)為例，研究多元邏輯代數(shù)在機(jī)械系統(tǒng)中的應(yīng)用。為使研究的問(wèn)題簡(jiǎn)化，本文將一些復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)簡(jiǎn)單化、模型化。如圖1所示的圓盤(pán)小球分揀系統(tǒng)，圓盤(pán)以ω的角速度旋轉(zhuǎn)，圓盤(pán)有四個(gè)不同孔徑的孔，分揀四種不同直徑的小球（單位：mm），定義有四種孔（單位：mm）：

圖1 小球分揀系統(tǒng)

定義兩個(gè)4元邏輯代數(shù)變量，孔的邏輯變量定義為A，A的邏輯值為 {0,1,2,3}，?孔對(duì)應(yīng)的邏輯值取“0”；?孔對(duì)應(yīng)的邏輯值取“1”；?孔對(duì)應(yīng)的邏輯值取“2”；?孔對(duì)應(yīng)的邏輯值取“3”。

小球的邏輯變量定義為B，B的邏輯值為{0,1,2,3}，球?qū)?yīng)的邏輯值取“0”；球?qū)?yīng)的邏輯值取球?qū)?yīng)的邏輯值取球?qū)?yīng)的邏輯值取“3”。

I孔邏輯表達(dá)式：F1=0·B，即 F1=0，對(duì)邏輯表達(dá)式的取值進(jìn)行分析易知I孔僅能分揀的球。II 孔邏輯表達(dá)式：F2=1·B，即 F2={0,1}T，對(duì)邏輯表達(dá)式的取值進(jìn)行分析可知II孔可以分揀和的球。III孔邏輯表達(dá)式：F3=2·B，即F3={0,1,2}T，對(duì)邏輯表達(dá)式的取值進(jìn)行分析可知III孔可以分揀的球。IV孔邏輯表達(dá)式：F4=3·B，即 F2={0,1,2,3}T，對(duì)邏輯表達(dá)式的取值進(jìn)行分析可知IV孔的四種直徑的球均能分揀。

對(duì)邏輯表達(dá)式F的取值進(jìn)行分析可以得出不同孔的分揀情況，此例雖然較為簡(jiǎn)單卻可以清晰地反映出多元邏輯代數(shù)中“邏輯與”在機(jī)械系統(tǒng)中的應(yīng)用和分析方法。

3.2 基于多元邏輯代數(shù)的零件配合精度探析

以兩個(gè)機(jī)械零件的配合精度為研究對(duì)象，研究多元邏輯代數(shù)在機(jī)械工程中的另一應(yīng)用。為使研究的問(wèn)題更加清晰，現(xiàn)將復(fù)雜的機(jī)械零件配合精度問(wèn)題簡(jiǎn)單化處理。有1號(hào)零件的A軸和2號(hào)零件的B孔配合，不考慮其他因素的前提下，設(shè)定A軸和B孔的配合精度由A軸和B孔的加工精度決定。

規(guī)定A軸和B孔有五種加工精度，對(duì)應(yīng)的為IT5、IT6、IT7、IT8、IT9 級(jí)。定義兩個(gè)五維邏輯變量 A和 B，A的邏輯值為 {0,1,2,3,4}，B的邏輯值為{0,1,2,3,4}，A軸、B孔精度與邏輯值的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表2所列，則1號(hào)零件和2號(hào)零件配合精度F的表達(dá)式為：F=A+B。

表2 A軸、B孔精度與邏輯值的對(duì)應(yīng)關(guān)系[3]

表3 1號(hào)零件和2號(hào)零件配合精度真值表

由邏輯表達(dá)式可得出1號(hào)零件和2號(hào)零件的配合精度真值表，如表3所示。

對(duì)邏輯表達(dá)式F的取值進(jìn)行分析可得出A軸和B孔的配合精度等級(jí)。此例是多元邏輯代數(shù)在機(jī)械工程公差配合部分的典型應(yīng)用，可清晰反映出多元邏輯代數(shù)中“邏輯或”在機(jī)械工程中的應(yīng)用和分析方法。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在經(jīng)典的0-1邏輯代數(shù)的基礎(chǔ)上引入了多元邏輯代數(shù)問(wèn)題，研究了多元邏輯代數(shù)“邏輯與”和“邏輯或”的運(yùn)算方法。研究了多元邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算法則和基本定律，研究了交換律、結(jié)合律、分配率、邏輯非的運(yùn)算性質(zhì)。多元邏輯代數(shù)可以應(yīng)用到生產(chǎn)生活及機(jī)械工程的多個(gè)方面，本文以一個(gè)小球分揀系統(tǒng)為例研究了多元邏輯代數(shù)“邏輯與”的應(yīng)用，以兩個(gè)機(jī)械零件軸孔配合精度為例研究了多元邏輯代數(shù)“邏輯或”的應(yīng)用。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，大型復(fù)雜系統(tǒng)的研制日益增多，對(duì)其可靠性、維修性及有效性的分析與評(píng)定已成為系統(tǒng)研制過(guò)程中不可缺少的重要組成部分[4]。相信隨著多元邏輯代數(shù)這一全新概念的引入，與其相關(guān)的一些理論和規(guī)律將會(huì)進(jìn)一步發(fā)展和完善，多元邏輯代數(shù)在機(jī)械可靠性、有效性及故障分析等方面必將有其獨(dú)到建樹(shù)。