不同方法測彈簧勁度系數(shù)在不同數(shù)據(jù)處理方法中的結(jié)果比較分析

（白山市第二中學(xué) 吉林長春 134300）

引言

測量彈簧的勁度系數(shù)有不同的實(shí)驗(yàn)方法，例如用集成霍爾傳感器、新型焦利稱、氣軌上的簡諧振動(dòng)等測定彈簧的勁度系數(shù)，但是把這些整合在一起作比較的內(nèi)容很少，筆者力圖通過以測量彈簧的勁度系數(shù)為例，在胡克定律原理與測量振動(dòng)周期兩種不同的實(shí)驗(yàn)方法下用逐差法、線性擬合法、最小二乘法三種不同的數(shù)據(jù)處理方法，做橫向與縱向的比較分析，研究在不同的實(shí)驗(yàn)方法下用不同的數(shù)據(jù)處理方法所得到的誤差何時(shí)可以最小。[1]

一、實(shí)驗(yàn)測量方法及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法原理

1. 實(shí)驗(yàn)測量方法

（1）胡克定律法原理

胡克定律原理：彈簧在發(fā)生形變時(shí)，彈簧的彈力F和彈簧的形變量（伸長量或壓縮量）△x成正比，即F=-k·△x。其中k是勁度（倔強(qiáng)）系數(shù)。在此實(shí)驗(yàn)中，通過測量施加給彈簧的負(fù)載重量，以及相應(yīng)的形變量，在多次實(shí)驗(yàn)下測量彈簧的勁度系數(shù)。[2]

因F=kx，F(xiàn)=mg其中m為砝碼的質(zhì)量，g為重力加速度。

方法：在鐵架臺上掛一空彈簧，利用“三線對齊”（即反光鏡A上的水平刻線、玻璃管B的水平刻線和玻璃管水平刻線在反光鏡C中的像重合）的方式記錄此時(shí)的刻度x，然后每次增加一個(gè)砝碼，記錄一次它的刻度值。每次增加的砝碼的質(zhì)量是一樣的，測量六次。

實(shí)驗(yàn)中使用的砝碼和彈簧情況如下：砝碼：共5只，空托盤的編號記為1，其余五次編號為2、3、4、5、6。

質(zhì)量分別為0、40g、60g、80g、100g、120g。

（2）約利稱法原理

以30個(gè)振動(dòng)周期用秒表計(jì)時(shí)，測出每個(gè)周期的時(shí)間，用電子天平測出空托盤的質(zhì)量。

實(shí)驗(yàn)中使用的砝碼和彈簧情況如下:

砝碼：

共5只，空托盤的編號記為1，其余五次編號為2、3、4、5、6。質(zhì)量分別為：

20.37 g、40.37g、60.37g、80.37g、100.37g、120.37g

2. 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法

（1）逐差法原理

由于隨機(jī)誤差具有抵償性，多次測量求平值可以減少這種誤差，但是，當(dāng)自變量與因變量成線性關(guān)系時(shí)，對于自變量等間距變化的多次測量，會(huì)使中間測量的數(shù)據(jù)由于兩兩抵消，而失去求平均值的意義。為了彌補(bǔ)這種缺憾，可以將測量得到的數(shù)據(jù)按自變量的大小順序排列后平分為前后兩組，先求出兩組中對應(yīng)項(xiàng)的差值，后取平均。[3]

設(shè)已知x，y 為線性關(guān)系: y= bx+a，其中a，b 為待定常數(shù)，測量n組x、y的值，取偶數(shù)或?qū)⒔M數(shù)據(jù)分成兩半，分別求

（2）線性擬合法原理

線性擬合法應(yīng)用的原理是利用計(jì)算機(jī)中的線性回歸處理離散點(diǎn)，與人工作圖的圖解法原理相同，測出的n組數(shù)據(jù)，參照數(shù)據(jù)點(diǎn)繪一條擬合直線。使直線盡量的接近數(shù)據(jù)點(diǎn)；分散在直線兩側(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)目要相近，兩側(cè)各點(diǎn)距直線的距離之和也近似相近，這樣做的依據(jù)是誤差的抵償性。[4]

（3）最小二乘法原理

一般直線y=a+bx的最小二乘法擬合，判據(jù)是使yi的殘差平方和RSS（residual sum of square）極小，即各測量點(diǎn)到擬合直線距離平方和最小。從和可以導(dǎo)出a、b的最小二乘估計(jì)值為

又相關(guān)系數(shù)r的估計(jì)值為

相關(guān)系數(shù)r表示各數(shù)據(jù)點(diǎn)靠近擬合直線的程度。r值在-1到+1之間，越接近1，各數(shù)據(jù)點(diǎn)就越接近擬合直線。

以上過程討論的要求是：

二、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及處理

1.胡克定律實(shí)驗(yàn)方法下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

n 1 2 3 4 5 6 m/g 0 20 40 60 80 100 F/N 0 0.196 0.392 0.588 0.784 0.98 x/cm 7 9.46 11.95 14.43 16.89 19.36△x/m 0 0.0246 0.0495 0.0743 0.0989 0.1236

（1）逐差法處理數(shù)據(jù)

圖書的形態(tài)從長形式演變成長形式與網(wǎng)形式的結(jié)合，使傳統(tǒng)的長形式圖書在保持自身特有優(yōu)勢的基礎(chǔ)上又兼具了網(wǎng)形式的功能，延伸了圖書的產(chǎn)業(yè)鏈，圖書的商業(yè)價(jià)值與閱讀價(jià)值均得到了較好體現(xiàn)。

編號∑?xi∑?Fi /61∑?xi 6 F/6 1∑i 6 1—3 0.0741 0.588 0.2227 1.764 3—6 0.2968 2.352

胡克定律表達(dá)式a=7.8401 b=0.00535

由y=bx+a

F=7.8401?x+0.00535

測得彈簧的勁度系數(shù)k=7.8401N/m

（2）線性擬合法處理數(shù)據(jù)

編號 形變量△x/m 彈簧彈力F/N 1 0 0截距 0.000152 2 0.0246 0.196 斜率 7.924199 3 0.0495 0.392 測定系數(shù) 0.999 4 0.0743 0.588 標(biāo)準(zhǔn)誤差 0.000 5 0.0989 0.784 6 0.1236 0.98 997 717

測的彈簧的勁度系數(shù)為k=7.9242N/m

（3）最小二乘法處理數(shù)據(jù)

測的彈簧的勁度系數(shù)為k=7.9224N/m

2.約利稱實(shí)驗(yàn)方法下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

n x=m/kg x=m/g 30T/s T/s y=T*T 1 2 1 0.02037 20.37 12.08 11.96 0.3987 0.159 2 0.04037 40.37 15.22 14.91 0.497 0.247 3 0.06037 60.37 17.88 17.87 0.596 0.3552 4 0.08037 80.37 20.31 20.18 0.675 0.4556 5 0.10037 100.37 22.25 22.18 0.7407 0.5486 6 0.12037 120.37 24.25 24.37 0.8103 0.6566

編號∑m 2 2 i∑Ti m/6 1∑i 6∑6 1 T/i 6 1—3 0.1211 0.7612 0.18 0.8996 3—6 0.3011 1.6608

彈簧勁度系數(shù)k=7.8992N/m

（2）線性擬合法處理數(shù)據(jù)

編號 質(zhì)量m/kg 周期的平方T*T 1 0.02037 0.159 截距 0.0525 2 0.04037 0.247 斜率 4.990286 3 0.06037 0.3552 測定系數(shù) 0.999355 4 0.08037 0.4556 標(biāo)準(zhǔn)誤差 0.005305 5 0.10037 0.5486 6 0.12037 0.6566

彈簧勁度系數(shù)k=7.9110N/m

（3）最小二乘法處理數(shù)據(jù)

彈簧勁度系數(shù)k=7.9110N/m

三、計(jì)算結(jié)果的比較分析

1.相同方法測量實(shí)驗(yàn)中，不同數(shù)據(jù)處理方法所得結(jié)果的比較分析

（1）胡克定律法：用逐差法，線性擬合法，最小二乘法所得結(jié)果分析

（2）約利稱法：用逐差法，線性擬合法，最小二乘法所得結(jié)果分析

2.不同方法測量實(shí)驗(yàn)中，相同數(shù)據(jù)處理方法所得結(jié)果的比較分析

（1）線性擬合法：胡克定律法與約利稱法所得結(jié)果的比較分析胡克定律和約利稱方法測量下的到的相關(guān)系數(shù)分別是：

標(biāo)準(zhǔn)偏差分別是：

（2）最小二乘法：胡克定律法與約利稱法所得結(jié)果的比較分析

胡克定律方法測量下得到的相關(guān)系數(shù)分別是：

y和k的標(biāo)準(zhǔn)偏差分別是：

結(jié)語

1.在胡克定律法測量實(shí)驗(yàn)中，線性擬合法是誤差最小，測量結(jié)果最接近真實(shí)值的；逐差法的誤差是相對線性擬合法和最小二乘法誤差較大的一種處理數(shù)據(jù)的方法。在逐差法中，根據(jù)結(jié)果分析，約利稱法比利用胡克定律原理測量得到的值更準(zhǔn)確。在手寫計(jì)算時(shí)，逐差法是相對簡單、快速的方法，但在有計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)的時(shí)代，它的優(yōu)點(diǎn)就沒有那么突出.

2.在約利稱的實(shí)驗(yàn)方法下，最小二乘法比線性擬合法更接近真實(shí)值，但相關(guān)系數(shù)相差不大。

3.在1和2結(jié)論的基礎(chǔ)上，并不能說明線性擬合法和最小二乘法哪一種方法更好，還要考慮到實(shí)驗(yàn)用的具體測量方法，因此在選擇測量方法時(shí)，要根據(jù)具體的實(shí)驗(yàn)原理，選擇合適的數(shù)據(jù)處理方法，才能盡可能讓誤差最小。在本次研究中，在胡克定律的原理下用線性擬合法誤差較小，在約利稱法的實(shí)驗(yàn)中，用最小二乘法誤差較小。

4.從橫向進(jìn)行比較，即在相同的數(shù)據(jù)處理方法下，利用胡克定律原理下線性擬合的處理方法最為準(zhǔn)確。胡克定律法比約利稱法更接近真實(shí)值。

原因分析：約利稱法測量過程中，誤差相對較大。誤差主要體現(xiàn)在秒表測周期時(shí)的讀數(shù)誤差、彈簧初始位置的不一致以及彈簧作簡諧振動(dòng)時(shí)與鏡面的摩擦、負(fù)載較大時(shí)上下振動(dòng)時(shí)略偏離豎直方向等造成的。而在利用胡克定律的實(shí)驗(yàn)中，讀數(shù)時(shí)彈簧是靜止的，干擾因素較少，因此相比較而言，誤差較小，勁度系數(shù)更接近真實(shí)值。

5.綜上，最接近彈簧勁度系數(shù)的真實(shí)值的是k=7.9242N/m.

附錄