隨鉆用光纖陀螺慣導系統(tǒng)振動誤差建模與辨識

王 濤，陳善秋，王 璐，張 林

（1.北京航天時代激光導航技術有限責任公司，北京100094；2.北京航空航天大學儀器科學與光電工程學院，北京100191）

0 引言

定向鉆井技術是使井身沿著預先設計的方向和軌跡鉆達目的層的鉆井工藝方法[1]，井下鉆井工具組合利用隨鉆測量（Measurement while Drilling，MWD）提供定位定向信息[2]。目前，MWD中傳統(tǒng)的定向傳感器為磁通門與加速度計傳感器。磁通門通過敏感地磁場提供井下鉆具組合的姿態(tài)信息，但是，磁通門易受干擾磁場的影響，導致測量出現(xiàn)偏差[3]。基于光纖陀螺的光纖慣導系統(tǒng)由于具備全自主、抗磁場干擾的優(yōu)點[4-5]，適用于隨鉆測量。但是，鉆井時的長時間振動環(huán)境，會導致光纖陀螺慣導系統(tǒng)出現(xiàn)較大導航誤差[6]。因此，急需減小隨鉆振動環(huán)境下光纖慣導系統(tǒng)的振動誤差。

目前，針對振動對光纖陀螺以及光纖陀螺慣導系統(tǒng)的影響機理已經(jīng)進行諸多研究。2004年，北京航空航天大學的宋凝芳等針對數(shù)字閉環(huán)光纖陀螺振動誤差進行了分析[7]。2009年，哈爾濱工業(yè)大學的吳磊等利用有限元法對光纖陀螺慣導系統(tǒng)的結構進行分析，從結構上提高了光纖陀螺慣導系統(tǒng)的抗振動性能[8]。2011年，哈爾濱工業(yè)大學的舒建濤分析了振動對引起光纖陀螺的彈光效應，詳細推導了振動通過彈光效應引起的相位變化和振動之間的數(shù)學模型，得出了振動影響下通過光纖的光波會產(chǎn)生附加相位延遲的結論，并提出了抑制振動誤差的信號處理方案，改進了解調算法[9]。2015年，北京航空航天大學光電技術研究所的潘雄等為了抑制振動引起的附加相移誤差，在保證閉環(huán)穩(wěn)定的條件下，提出了部分解調提前反饋方法，從而抑制了光纖陀螺振動誤差[10]。2010年，針對振動中慣導平臺誤差辨識，文獻[11]提出了拓展Kalman濾波方法。2012年與2013年，針對激光慣導在線振動、角振動環(huán)境下的誤差，進行了分析和研究，文獻[12]和文獻[13]提出了加速度計交叉耦合項與加速度計二次項誤差是振動中的主要誤差項。

本文建立了適用于振動環(huán)境下的加速度計高階誤差模型，通過誤差傳播特性分析，提出了加速度計的二次項誤差為振動中主要誤差項。在此基礎上，建立包含加速度計二次項誤差的36階Kalman濾波器，對各項器件誤差進行分離、辨識與補償。

1 MWD用光纖陀螺慣導系統(tǒng)誤差模型的建立

捷聯(lián)慣性測量系統(tǒng)誤差源可分為慣性傳感器誤差、安裝誤差及導航參數(shù)誤差等。光纖陀螺和加速度計作為核心傳感器組件，其測量誤差是光纖陀螺隨鉆測量系統(tǒng)的主要誤差源。研究表明，根據(jù)傳感器中不同的誤差來源，可以建立器件誤差模型。在工程應用中經(jīng)常忽略誤差模型中的高階誤差項，僅僅采用1階誤差，即光纖陀螺和加速度計的線性誤差模型。光纖陀螺和加速度計線性誤差主要由零偏誤差、安裝誤差、標度因數(shù)誤差及隨機誤差組成，其誤差模型分別為[14]：

Kg和Ka分別為光纖陀螺和加速度計的標度因數(shù)誤差，Mg和Ma為安裝誤差系數(shù)矩陣，bg和ba分別為光纖陀螺和加速度計零偏誤差，分別為光纖陀螺和加速度計的隨機誤差。在實驗室，利用精密位置速率轉臺可對確定性誤差實現(xiàn)標定與補償，隨機誤差可以通過誤差建模等方式進行抑制。

在隨鉆測量環(huán)境下，由于光纖陀螺慣導系統(tǒng)長時間處于振動等力學環(huán)境下，慣導系統(tǒng)導航精度惡化，說明常用的線性誤差模型對振動環(huán)境中的慣性器件誤差不能進行有效補償。因此，需要建立適用于振動等力學環(huán)境下慣性器件誤差模型。

考慮光纖陀螺與加速度計的高階誤差項，建立適用于振動環(huán)境的光纖陀螺與加速度計的非線性誤差模型[15]。由光纖陀螺的常值漂移誤差bg、標度因數(shù)誤差Kg、安裝誤差Mg、隨機漂移誤差與二次項誤差dg，建立的光纖陀螺非線性模型以及誤差模型如下：

考慮加速度計的常值漂移誤差ba、標度因數(shù)誤差Ka、安裝誤差Ma、隨機漂移誤差與二次項誤差da，建立加速度計非線性模型以及誤差模型如下：

2 振動條件下高階誤差項傳播特性研究

利用軌跡發(fā)生器設定特定的工作狀態(tài)，產(chǎn)生原始的沒有任何誤差的光纖陀螺與加速度計仿真數(shù)據(jù)。然后通過光纖陀螺和加速度計的誤差模型，添加單一誤差項至原始的光纖陀螺與加速度計數(shù)據(jù)中。使用帶有誤差項的數(shù)據(jù)分別進行靜止和振動兩種狀態(tài)下的導航解算，并分別將導航結果與軌跡發(fā)生器產(chǎn)生軌跡做差從而得到導航誤差。通過比較單一誤差項在靜止和振動中產(chǎn)生的導航誤差，可以得到誤差項在兩種狀態(tài)下的傳播特性，并且可辨識出振動中的主要誤差項。

2.1 振動模型

利用軌跡發(fā)生器，在導航坐標系的北向、天向和垂直方向分別存在線振動[16]，其線振動模型為：

其中，A為線振動加速度幅值，取5g；f為線振動頻率，取為25Hz。其他條件與靜態(tài)情況一致。振動中加速度計和陀螺的仿真數(shù)據(jù)（1s）如圖 1所示。

由圖1可知，3個加速度計均有振幅為5g，在1s的時間內，正好產(chǎn)生了25個正弦振動周期，因此頻率為25Hz。由于載體正弦運動，陀螺輸出也圍繞在靜態(tài)輸出值下作正弦振動。

2.2 仿真參數(shù)設置

仿真過程中設定慣性導航的初始位置為北緯39.9778°，東經(jīng)116.3434°。初始姿態(tài)角信息為：工具面角T＝0°，傾斜角I＝0°，方位角A＝0°，東向、北向、天向初始速度均為0m/s。仿真時間2h，數(shù)據(jù)更新率200Hz，生成兩組仿真數(shù)據(jù)。

數(shù)據(jù)1僅加入陀螺二次項誤差，慣導系統(tǒng)誤差設置為：

數(shù)據(jù)2僅加入加速度計二次項誤差，慣導系統(tǒng)誤差設置為：

2.3 陀螺和加速度計二次項誤差仿真分析

利用數(shù)據(jù)1進行導航驗證，仿真結果如圖2、圖3所示。圖中按照緯度誤差、經(jīng)度誤差、高度誤差、傾斜角誤差、工具面角誤差、方位角誤差、東向速度誤差、北向速度誤差、天向速度誤差的順序排列。藍線為慣導系統(tǒng)靜止時誤差的傳播特性，紅線為慣導系統(tǒng)振動時誤差傳播特性。

由圖2可以看出，在靜態(tài)下陀螺的二次項誤差引起的導航誤差非常小，幾乎為0。這也是在工程中機動狀態(tài)比較小的情況下，經(jīng)常忽略二次項誤差的原因。但是，在振動狀態(tài)下，陀螺的二次項誤差導致導航誤差變大，東向速度誤差、北向速度誤差、經(jīng)度誤差和緯度誤差有發(fā)散趨勢。引起的方位角圍繞0進行Schlar振蕩，且噪聲變大。但是1×10－5的二項項系數(shù)在線振動條件下引起的導航誤差項很小，量級很小。因此，陀螺的二次項非線性系數(shù)也不是主要誤差項。

由圖3可以看出，在靜態(tài)下加速度計的二次項誤差引起的導航誤差非常小，幾乎為0，在機動狀態(tài)小的情況下，可以忽略。但是，振動中加速度計的二次項誤差引起的導航誤差非常大。其中，北向位置誤差為50km，東向位置誤差達到150km。3個姿態(tài)角均產(chǎn)生2100″約0.58°的誤差，速度誤差最大達到50m/s。說明振動狀態(tài)下，會激勵慣性器件非線性誤差項引起的導航誤差，非線性誤差項不能忽略。比較加速度計二次項誤差與加速度計零偏誤差引起的導航誤差，兩者在振動中的導航誤差除了量級上的不同，傳播趨勢完全一致。假設二次項系數(shù)為5×10－5s2/m，如果在振動中加速度計持續(xù)有 5g的比力輸入，5×10－5s2/m×(5×10m/s2)2＝12.5mg，則會產(chǎn)生12.5mg的偏值附加給慣導系統(tǒng)。因此可以得出，二次項誤差在振動環(huán)境下相當于一個常值零偏，并且振動幅度越大，即給加速度計越大的輸入比力，由二次項誤差引起的導航誤差越大。因此，在振動中采用線性的誤差模型，將二次項誤差忽略，必將造成較大的導航誤差。

通過以上仿真及分析可以得到如下結論：在靜態(tài)或低動態(tài)環(huán)境下，與加速度有關的二次項誤差往往忽略不計；但當存在線振動時，其引起的導航誤差明顯變大，不能忽略，必須采取相應措施予以補償。與角速度有關的二次項誤差雖然與靜態(tài)環(huán)境下誤差傳播特性不一致，但是其引起的導航誤差偏小，在振動狀態(tài)下依然可以忽略。

3 高階振動誤差辨識與補償

陀螺的輸出誤差是由輸入角速度激勵產(chǎn)生的，而加速度計的輸出誤差是由輸入加速度激勵產(chǎn)生的。在不同運動的激勵信號下，可以實現(xiàn)各個誤差的分離與辨識。工程中通常忽略高階誤差項，采用不包含加速度計二次項的33階誤差模型對慣導系統(tǒng)的各項誤差進行辨識。當系統(tǒng)的二次項誤差不能忽略，就會影響33階誤差模型對器件誤差的估計。為了驗證考慮加速度計二次項誤差的36階誤差模型的準確性，將包含有加速度計二次項誤差的高階誤差模型（36階）與不包含二次項的線性誤差模型（33階）進行對比。

3.1 基于高階誤差模型的Kalman濾波器設計

上節(jié)的仿真表明，在線振動環(huán)境下，陀螺的二次項誤差可以忽略，但是加速度計的二次項誤差能夠引起顯著的導航誤差，不能忽略不計，必須采取相應措施予以補償。因此，在建模時應將加速度計二次項誤差考慮在內。將光纖陀螺與加速度計的誤差模型重寫如下：

式（5）簡化為[17]：

bg＝為光纖陀螺零偏誤差，為光纖陀螺的隨機誤差，δkg為陀螺的標度因數(shù)與安裝誤差矩陣。其中，為標度因數(shù)誤差，為陀螺的安裝誤差。

式（6）簡化為：

離散線性系統(tǒng)的Kalman濾波狀態(tài)方程可表示為[18]：

其中，Xk是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，Wk－1是系統(tǒng)過程噪聲序列，F(xiàn)k，k-1是系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣，Gk-1是噪聲輸入矩陣。

含有高階誤差項的系統(tǒng)Kalman濾波模型的狀態(tài)向量為：

狀態(tài)向量X包含9個導航誤差，器件誤差包含陀螺加速度計的零偏誤差、標度因數(shù)誤差、安裝誤差以及加速度計的二次項誤差，共36個狀態(tài)量。

系統(tǒng)噪聲為：

將陀螺加速度計激勵噪聲等效為Gauss白噪聲，系統(tǒng)矩陣A（t）為：

其中，δθ為角位置誤差，v為導航坐標系下的速度，R為地球半徑，δv1為速度誤差，h為高度，ψ為姿態(tài)誤差角，為地球自轉角速率，為導航坐標系相對于地球坐標系的角速率，▽n為加速度計零偏，fn、fb分別為載體在導航系和載體系下的比力，為姿態(tài)矩陣，εn為陀螺器件誤差，gn為重力加速度。

根據(jù)陀螺與加速度計的誤差模型可知，當Kalman濾波估計出慣性器件的確定性誤差參數(shù)時，可以按照下式對慣性器件誤差進行補償：

離散線性系統(tǒng)的Kalman濾波量測方程可表示為：

其中，Zk是系統(tǒng)的量測序列，Vk是量測噪聲序列，Wk－1和Vk是互不相關的白噪聲序列，Hk是量測矩陣。為MWD慣導系統(tǒng)解算出的速度向量，是MWD慣導系統(tǒng)的實際速度，是MWD慣導系是MWD慣導系統(tǒng)的實際位置信息。

3.2 標定路徑設置

各誤差項在觀測量中的反應不同，通過改變運動激勵各項誤差，可以提高各誤差項的可觀測程度。激勵信號的改變在實驗室可以通過轉臺實現(xiàn)，轉臺旋轉為陀螺提供不同的角速度輸入，以此激勵陀螺的誤差項；轉臺的姿態(tài)變化使加速度計上的重力加速度分量輸入不同，以此激勵加速度計的誤差項，最優(yōu)的激勵方式可以實現(xiàn)各誤差項的分離與辨識。標定路徑設計如表1所示，初始狀態(tài)為東北天。

在仿真數(shù)據(jù)中加入各項誤差，陀螺零偏為0.02（°）/h，加速度計零偏為 100μg，陀螺標度因數(shù)誤差為 1×10－5，陀螺的安裝失準角誤差為1×10－5rad，加速度計標度因數(shù)誤差為 5×10－5，加速度計的安裝失準角誤差為5×10－5rad，加速度計二次項誤差為1×10－6s2/m。比較考慮了加速度計二次項誤差的36階誤差模型與沒有考慮加速度計二次項誤差的33階誤差模型對各項誤差的辨識的準確性。

表1 標定路徑設計Table 1 Trajectory of the calibration

3.3 高階誤差模型與線性誤差模型對比

由圖4可知，基于33階的誤差模型的加速度計零偏估計值相對真值偏大，東向陀螺估計值依然偏大，北向陀螺估值沒有收斂。但是，36階模統(tǒng)得到的位置信息，型可以準確估計出傳感器零偏。由圖5、圖6可知，不考慮二次項誤差的33階濾波器不太穩(wěn)定，標度因數(shù)誤差與安裝失準角誤差估計不準確。

為進一步證明加速度計二次項誤差的必要性，表2列出了濾波器各個參數(shù)的估計值與估計比率。

由表2可知，33階濾波器估計性能出現(xiàn)了惡化。只有天向陀螺的零偏誤差與東向加速度計的標度因數(shù)誤差項的估計比率達到了90%以上，其他參數(shù)估計比率均不理想，并且有7個誤差項是估計錯誤或者不能估計。但是，考慮了二次項誤差的36階濾波器可以辨識二次項誤差與零偏誤差并將它們分離。其中，加速度計二次項誤差估計比率達到了99%，說明了考慮高階誤差項的誤差模型的必要性。

綜上所述，考慮了加速度計二次項誤差的36階誤差模型優(yōu)于33階濾波器，誤差估計結果更加準確。

表2 33階濾波器與36階濾波器估計結果對比Table 2 Estimation results of the 33 dimension KF and 36 dimension KF

續(xù)表

4 線振動仿真試驗驗證

基于2.1節(jié)中的振動模型，利用軌跡發(fā)生器生成振動數(shù)據(jù)。首先靜止10min，然后振動70min，最后靜止10min。加入誤差項如表2第2列所示，在此基礎上在傳感器數(shù)據(jù)中加入Gauss白噪聲。將36階濾波器分離出的誤差值補償進數(shù)據(jù)，一組僅僅補償線性誤差，另一組不僅補償一次項誤差，而且補償二次項誤差。進行純慣導驗證，對比兩組不同補償數(shù)據(jù)在振動中的導航結果。

首先利用仿真數(shù)據(jù)前5min進行初始對準，對準結果為：航向角0.096938°，傾斜角0.008627°，工具面角－0.00286°。不補償二次項的導航結果如圖7所示，補償了二次項誤差的導航結果如圖8所示。9個導航參數(shù)中，速度和位置受線振動影響很大，而線振動又會激勵二次項誤差，因此二次項誤差是線振動中的主要誤差。不補償二次項時，東向速度誤差與北向速度誤差在振動狀態(tài)下最大達到50m/s，東向位置與北向位置最大誤差達到90000m。其中，姿態(tài)角最大誤差約為0.7°。而補償了二次項誤差后的導航結果遠遠優(yōu)于未補償二次項誤差的導航結果。其中，最大速度誤差減小至2.2m/s，緯度誤差減小至1000m，經(jīng)度誤差減小至2200m，高度誤差也由100m減小至10m，姿態(tài)誤差最大值減小至0.01°。由此可見，補償二次項對提高振動中導航精度具有重要的作用。

5 結論

本文提出加速度有關的二次項誤差對導航精度的影響，建立適用于振動環(huán)境下的高階器件誤差模型，研究了高階誤差模型在振動和靜態(tài)情況下的傳播特性。通過理論分析和仿真計算，得到以下結論：

1）振動環(huán)境下，加速度有關的二次項誤差將嚴重影響MWD慣導系統(tǒng)導航精度，必須采取相應措施予以補償。

2）提出包含加速度計二次項誤差的36階高階濾波與傳統(tǒng)33階濾波器相比，更能有效估計器件誤差，可以辨識二次項誤差與零偏誤差并將它們分離。其中，加速度計二次項誤差估計比率達到了99%，證明了高階誤差項的誤差模型的準確性。

3）36階濾波器辨識出的誤差補償后的導航驗證結果表明：補償了二次項誤差之后的導航精度得到明顯提高，速度誤差由50m/s減小至2.2m/s，位置誤差由90000m減小至2000m，姿態(tài)誤差由0.7°減小至 0.01°。