基于分?jǐn)?shù)階和非局部全變差模型的圖像去模糊

向雨晴，楊曉梅

(四川大學(xué) 電氣信息學(xué)院，四川 成都 610065)

0 引 言

作為一種基礎(chǔ)的圖像復(fù)原技術(shù)，圖像去模糊廣泛應(yīng)用于各個(gè)圖像領(lǐng)域。圖像模糊過(guò)程在數(shù)學(xué)上可看成模糊核和原始清晰圖像卷積運(yùn)算后加噪聲的操作，可表示為

f=h*x+n

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式中：f表示退化圖像，x表示原始清晰圖像，h表示模糊核，*表示卷積運(yùn)算，n表示附加噪聲。本文討論的是已知f、h求x的非盲去模糊逆問(wèn)題，基于正則化的全變差(TV)方法經(jīng)常用于求解此類(lèi)問(wèn)題。L.Rudin等提出基于TV的圖像ROF去噪模型，其強(qiáng)大的邊緣保護(hù)能力使之應(yīng)用到去模糊及圖像重建等領(lǐng)域[1,2]，但該模型會(huì)使圖像產(chǎn)生階梯效應(yīng)，對(duì)紋理細(xì)節(jié)的恢復(fù)也并不具有優(yōu)勢(shì)。

為了更好地利用圖像本身的先驗(yàn)信息，文獻(xiàn)[3]提出基于非局部全變差(NLTV)正則化的圖像重建模型，更好地恢復(fù)了圖像紋理細(xì)節(jié)。為減少階梯效應(yīng)和避免高階全變差(HOTV)模型的邊緣過(guò)平滑的缺點(diǎn)，基于TV的衍生形式——分?jǐn)?shù)階全變差(FOTV)模型得到提出和應(yīng)用[4,5]?？紤]到綜合利用NLTV和FOTV的優(yōu)勢(shì)，本文運(yùn)用全局梯度提取法(GGES)[6,7]把圖像分成平滑和細(xì)節(jié)兩部分，分別對(duì)其進(jìn)行FOTV和NLTV正則化約束，提出了一種結(jié)合這兩種TV正則化方法的非盲去模糊模型，它一方面減少了階梯效應(yīng)和邊緣過(guò)平滑的現(xiàn)象，另一方面能很好地保留圖像的紋理細(xì)節(jié)，比單獨(dú)運(yùn)用FOTV或NLTV的模型更具優(yōu)勢(shì)，且對(duì)不同級(jí)別的噪聲具有一定的魯棒性。

1 FOTV和NLTV的非盲去模糊模型

1.1 基于FOTV的非盲去模糊模型

分?jǐn)?shù)階有界變差是傳統(tǒng)的有界變差空間的推廣和延伸，其在形式上和傳統(tǒng)的TV模型并無(wú)差異，只是有界變差空間建立在分?jǐn)?shù)階梯度模值的基礎(chǔ)上，其首先被用于圖像去噪和超分辨率重建方面。基于FOTV的圖像非盲去模糊重建模型為

(2)

(3)

關(guān)于α取值對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階微分算子的幅頻特性曲線如圖1所示。

圖1 分?jǐn)?shù)階微分幅頻特性曲線

由圖1可知，不同階次(α>1)的分?jǐn)?shù)階微分算子對(duì)信號(hào)均有提高的作用，且頻率越高，提高作用呈非線性增長(zhǎng)；對(duì)于高頻信號(hào)，分?jǐn)?shù)階階次越大提高效果越明顯，對(duì)于低頻信號(hào)，階次越小提高效果越佳。當(dāng)階次等于1，此時(shí)的FOTV模型即為傳統(tǒng)的TV形式；當(dāng)階次取大于2的整數(shù)，則演變成HOTV的形式。傳統(tǒng)的TV正則化模型去模糊時(shí)通常伴隨階梯效應(yīng)，而HOTV可以消除階梯效應(yīng)但又會(huì)產(chǎn)生邊緣過(guò)平滑這一負(fù)效應(yīng)[8]；當(dāng)階次取稍大于1的分?jǐn)?shù)，F(xiàn)OTV正則化模型可以消除階梯效應(yīng)的同時(shí)避免邊緣過(guò)平滑?；诖耍Y(jié)合實(shí)驗(yàn)對(duì)于平滑區(qū)選取1.2的分?jǐn)?shù)階全變差進(jìn)行優(yōu)化求解。圖像像素x(i,j) 在本文的分?jǐn)?shù)階差分定義為G-L定義[9]取前K項(xiàng)近似，其水平和垂直方向的表達(dá)式分別為

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(5)

(6)

1.2 基于NLTV的非盲去模糊模型

自然圖像中存在高度冗余的相似性信息，即存在著許多相似特性的區(qū)域，且其常常以周期形式出現(xiàn)。根據(jù)紋理細(xì)節(jié)具有的冗余相似性，利用圖像本身的信息來(lái)用于合成圖像的紋理細(xì)節(jié)，基于非局部相似性的NLTV進(jìn)而成為圖像修復(fù)和重建的另一種方法。圖像非盲去模糊的NLTV模型如下

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其中，μ表示正則項(xiàng)系數(shù)，w(x(m，n)，x(i，j))表示以兩個(gè)像素點(diǎn)x(i，j)、x(m，n)為中心的兩個(gè)區(qū)域圖像間的相似性權(quán)重，其大小取決這兩像素鄰域相似性大小，兩像素鄰域相似性越大則其相似性權(quán)重也越大，且其取值在0到1之間。

1.3 結(jié)合FOTV和NLTV非盲去模糊模型

綜合NLTV和FOTV模型各自的優(yōu)勢(shì)，將之運(yùn)用到圖像去模糊重建中是本文研究的起點(diǎn)。本文首先采用GGES將圖像x分解成平滑、邊緣和紋理3個(gè)部分，其中邊緣和平滑區(qū)域作為xs，紋理細(xì)節(jié)作為xd，以barbara圖像為例，分解結(jié)果如圖2所示。用FOTV約束xs作為一個(gè)正則項(xiàng)，用NLTV模型約束xd作為另一個(gè)正則項(xiàng)，加上圖像數(shù)據(jù)保真項(xiàng)得到本文的數(shù)學(xué)模型如下

(9)

圖2 GGES分解barbara結(jié)果注：(a)原始圖；(b)原始圖xs部分；(c)原始圖xd部分；(d)模糊噪聲圖；(e)模糊噪聲圖xs部分；(f)模糊噪聲圖xd部分

(10)

2 求解算法

對(duì)于上式兩個(gè)正則項(xiàng)都是不可微的凸函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，本文采用ADMM[2,10]和BOS[3]算法分別對(duì)xs和xd進(jìn)行逐步求解。

2.1 ADMM求解xs

(11)

利用式(11)的約束條件，采用懲罰方法將兩者的差的L2范數(shù)的平方作為懲罰項(xiàng)，從而將上述有約束的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題

(12)

(13)

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由于上式等號(hào)右邊都是二次項(xiàng)，通過(guò)對(duì)xs求導(dǎo)，得到關(guān)于xs導(dǎo)數(shù)為0方程

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式中：°表示點(diǎn)乘，F(xiàn)、F-1分別代表傅里葉變換和傅里葉反變換。

(17)

采用軟閾值方法[11]求解d1k+1

(18)

2.2 BOS求解xd

(19)

為了加速求解xd，運(yùn)用變量分裂的思想引入輔助變量v，令v=xd， 根據(jù)BOS迭代策略上述問(wèn)題轉(zhuǎn)為

(20)

2.3 算法總結(jié)

先后對(duì)兩個(gè)子問(wèn)題的求解，得到表1的FNLTV算法。

表1 FNLTV算法

3 實(shí) 驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)

本文實(shí)驗(yàn)選取了4幅包含了平滑、邊緣和紋理細(xì)節(jié)部分大小為256×256像素的經(jīng)典數(shù)字圖像：barbara、lena、fingerprint、cameraman。實(shí)驗(yàn)原始圖像如圖3所示。

圖3 原始實(shí)驗(yàn)圖注：(a)barbara；(b)lena；(c)cameraman；(d)fingerprint

本文所有實(shí)驗(yàn)基于Matalb R2012b 8.0.0.783完成，實(shí)驗(yàn)的計(jì)算機(jī)處理器為Intel I3-2350M (2.30 GHz)，RAM為2 GB，實(shí)驗(yàn)附加噪聲設(shè)置為加性高斯噪聲，且分為3個(gè)不同級(jí)別。實(shí)驗(yàn)選取了4種比較常見(jiàn)的模糊核BK(blur kernel)：角度為135，長(zhǎng)度為15的運(yùn)動(dòng)(motion)模糊BK1；尺寸為21×21，標(biāo)準(zhǔn)差為2的高斯(Gaussian)模糊BK2；尺寸為5的圓盤(pán)(disk)模糊BK3；尺寸為9的均勻(ave-rage)模糊BK4。本文算法的參數(shù)眾多：tol、α、K、λ、β、μ、δ，經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)，將參數(shù)設(shè)置成如下：tol=0.001、α=1.2、K=17、δ=1.1；FOTV和NLTV的正則項(xiàng)參數(shù)和懲罰項(xiàng)參數(shù)在噪聲水平不同的情況下也要隨之變化。根據(jù)實(shí)驗(yàn)調(diào)試結(jié)果，λ、β和μ的選取情況見(jiàn)表2。

3.2 實(shí)驗(yàn)效果

為了直觀且有針對(duì)性地具體地驗(yàn)證本文算法的有效性，采用文獻(xiàn)[9]提出的階次為1.2的FTVd算法、文獻(xiàn)[12]提出的TVd算法和以及文獻(xiàn)[3]提出的NLTV-pbos，簡(jiǎn)稱(chēng)NLTV算法作為3種對(duì)比算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。以lena 圖像在噪聲級(jí)別為30 dB時(shí)去高斯模糊的情況作為例子，在視覺(jué)上驗(yàn)證本文算法相對(duì)于單一的分?jǐn)?shù)階全變差模型和傳統(tǒng)的全變差模型的優(yōu)越性，對(duì)比了3種算法的去模糊效果和細(xì)節(jié)圖，如圖4、圖5所示。

表2 不同噪聲級(jí)別實(shí)驗(yàn)參數(shù)選取

圖4 lena對(duì)比實(shí)驗(yàn)注：(a)lena原始圖；(b)高斯模糊圖；(c)TVd復(fù)原圖(psnr=21.75)；(d)FOTV復(fù)原圖(psnr=22.61)；(e)NLTV復(fù)原圖(psnr=21.21)；(f)本文算法圖(psnr=22.71)

圖5 lena細(xì)節(jié)圖注：(a)原始細(xì)節(jié)；(b)高斯模糊細(xì)節(jié)；(c)TVd復(fù)原細(xì)節(jié)；(d)FTVd復(fù)原細(xì)節(jié)；(e)NLTV復(fù)原細(xì)節(jié)；(f)本文算法細(xì)節(jié)

由圖4、圖5可知，NLTV復(fù)原圖較暗，效果最差；本文算法沒(méi)有明顯的階梯效應(yīng)，較FTVd算法效果提高不明顯，但根據(jù)細(xì)節(jié)圖本文算法恢復(fù)的頭發(fā)細(xì)節(jié)更多，也去除了更多的噪聲。

3.3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

為了客觀地驗(yàn)證本文算法的有效性，以峰值信噪比PSNR(peak signal-to-noise ratio)為指標(biāo)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，對(duì)4幅實(shí)驗(yàn)圖像進(jìn)行噪聲級(jí)別分別為BSNR=40 dB、30 dB、20 dB時(shí)4種模糊核的去模糊實(shí)驗(yàn)，得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表3～表5。

表3 BSNR=40 dB時(shí)不同圖像各算法非盲去模糊PSNR(dB)對(duì)比

表4 BSNR=30 dB時(shí)不同圖像各算法非盲去模糊PSNR(dB)對(duì)比

表5 BSNR=20 dB時(shí)不同圖像各算法非盲去模糊PSNR(dB)對(duì)比

根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)比其它3種算法，對(duì)于3種不同級(jí)別的附加噪聲4種去模糊效果來(lái)看，本文算法具有一定程度的優(yōu)勢(shì)，尤其是去高斯模糊，均具有最佳PSNR值，具體表現(xiàn)為：當(dāng)BSNR=40 dB時(shí)，lena和barbara圖的4種去模糊效果本文算法都比較優(yōu)秀，總能具有最佳PSNR值，對(duì)于紋理細(xì)節(jié)相對(duì)較多的fingerprint圖，本文算法只對(duì)去高斯模糊具有最優(yōu)的PSNR值，其它3種去模糊效果不如FTVd效果好；對(duì)于紋理細(xì)節(jié)相對(duì)較少的cameraman圖，本文算法去高斯模糊PSNR值最佳，其它3種模糊傳統(tǒng)TV表現(xiàn)最佳；當(dāng)BSNR=30 dB、20 dB時(shí)，4幅圖像4種去模糊效果本文算法都表現(xiàn)較好，基本能具有最佳的PSNR值。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文算法一定程度地結(jié)合了FOTV和NLTV模型在圖像非盲去模糊重建方面的優(yōu)勢(shì)，一方面利用了FOTV算法消除階梯效應(yīng)的特性，分?jǐn)?shù)階次的適當(dāng)選取避免了過(guò)平滑現(xiàn)象，同時(shí)還保留了TV模型強(qiáng)大的邊緣保護(hù)能力；另一方面利用了NLTV算法保留紋理細(xì)節(jié)的優(yōu)勢(shì)，充分運(yùn)用了圖像本身結(jié)構(gòu)信息。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，對(duì)比單獨(dú)的FOTV和NLTV算法，雖然不是對(duì)所有圖像均表現(xiàn)了絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)，但總體上本文算法優(yōu)勢(shì)明顯，階梯效應(yīng)和過(guò)平滑效應(yīng)均得到一定的避免，且較好地恢復(fù)了圖像的紋理細(xì)節(jié)。但由于本文算法涉及兩種TV模型，正則化參數(shù)和懲罰參數(shù)眾多，因此程序調(diào)試的周期相對(duì)比較長(zhǎng)，這也是本文的最大不足之處，需要做進(jìn)一步的參數(shù)自適應(yīng)的研究和改進(jìn)。