平衡損失函數(shù)下幾乎無偏估計的統(tǒng)計性質(zhì)

王文釤, 趙世舜

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012)

0 引 言

考慮線性模型:

y=Xβ+ε, ε～N(0,σ2I),

(1)

其中: y是n×1的觀測向量; X是秩為m的n×m矩陣; β是m×1的未知參數(shù)向量; ε是n×1的隨機誤差向量. 線性模型(1)的典則形式為y=Zα+ε. 設(shè)矩陣X′X特征根λ1≥λ2≥…≥λm>0的標(biāo)準(zhǔn)正交化特征向量為ρ1,ρ2,…,ρm, 記Q=(ρ1,ρ2,…,ρm)′, Z=XQ, α=Q′β, 則

Z′Z=Q′X′XQ=Λ=diag(λ1,λ2,…λm).

當(dāng)矩陣X存在復(fù)共線性時, X′X的病態(tài)使得(X′X)-1的部分特征值較大, 導(dǎo)致參數(shù)β的估計在m維空間某些方向上嚴(yán)重偏離實際值. 為了克服這種病態(tài)現(xiàn)象, 可引入各種有偏估計, 如文獻[1]的主成分估計、文獻[2]的嶺估計和文獻[3]的Liu估計等. 為有效降低有偏估計的偏差, Kadiyala[4]提出了幾乎無偏估計的概念, 并在此基礎(chǔ)上得到了一類幾乎無偏壓縮估計. 由于幾乎無偏估計在克服數(shù)據(jù)共線性的同時減少了估計量的偏差, 因此受到廣泛關(guān)注[5-7]. 文獻[6]在Liu估計的基礎(chǔ)上提出了幾乎無偏Liu估計; 文獻[8]討論了幾乎無偏Liu估計的預(yù)測性質(zhì). 文獻[9]在Stein嶺型主成分估計的基礎(chǔ)上, 對其進行幾乎無偏化, 得到了幾乎無偏Stein嶺型主成分估計, 并證明其在均方誤差下優(yōu)于最小二乘估計. 本文在文獻[9]工作的基礎(chǔ)上, 進一步討論幾乎無偏Stein嶺型主成分估計與幾乎無偏Liu估計在平衡損失函數(shù)下的性質(zhì).

其典則形式為

其中0

其中:k>0; 0

1 主要結(jié)果

引理1在平衡損失函數(shù)下, 幾乎無偏Liu估計與幾乎無偏Stein嶺型主成分估計的風(fēng)險差為

證明: 由于

其中:

所以

又由于

故

由于

其中:

從而

又由于

因此在平衡損失函數(shù)下, 有

證畢.

(2)

(1-p)λi(λi+1)+(λi+1)k>(1-d)(λi+k),

定理1當(dāng)λi,ai,k,p,ω,d滿足下列條件之一時, 在平衡損失函數(shù)下, 幾乎無偏Liu估計優(yōu)于幾乎無偏Stein嶺型主成分估計:

(3)

從而有

結(jié)論成立.

再由1)的證明知結(jié)論成立.

從而有

結(jié)論成立. 證畢.

定理2當(dāng)λi,ai,k,p,ω,d滿足下列條件之一時, 在平衡損失函數(shù)下, 幾乎無偏Stein嶺型主成分估計優(yōu)于幾乎無偏Liu估計:

(4)

結(jié)論成立.

從而

進而有

結(jié)論成立. 證畢.