基于有限差分離散的模方法定價美式債券期權(quán)

甘小艇, 徐登國, 豆銓煜

(1. 楚雄師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 云南 楚雄 675000; 2. 同濟大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 上海 200092)

隨著金融市場的不斷發(fā)展和完善, 期權(quán)作為一種能有效規(guī)避風險的金融衍生產(chǎn)品越來越受到廣大投資者的關(guān)注. 近年來, 諸如債券期權(quán)等利率衍生品的定價與對沖已吸引很多研究者的廣泛關(guān)注[1]. 與股票衍生產(chǎn)品不同, 債券期權(quán)的標的資產(chǎn)為債券, 其價格取決于利率和時間兩方面, 使得對債券期權(quán)的定價和對沖極具挑戰(zhàn)性. 與歐式期權(quán)定價不同, 美式債券期權(quán)定價問題在數(shù)學(xué)上可歸結(jié)為自由邊界問題或線性互補問題, 因此必須借助數(shù)值方法進行求解[2-3]. 目前, 針對該類問題已有許多不同的數(shù)值算法, 例如: 顯示方法[4]、投影超松弛迭代(PSOR)方法[5]、懲罰函數(shù)方法[6]和擬合有限體積方法[7-10]等.

數(shù)值方法定價美式期權(quán)的核心任務(wù)是針對離散后的線性互補問題進行快速求解[11], 而模系矩陣分裂迭代法是求解線性互補問題的一種有效方法[12]. 文獻[13]通過將線性互補問題轉(zhuǎn)化成隱式的不動點方程, 提出了模迭代方法. 文獻[14-15]通過引入不同的參數(shù), 分別提出了非定常外推模算法和改進的模迭代方法, 并在系數(shù)矩陣為對稱正定的情形下證明了算法的收斂性. 基于矩陣分裂的思想, 文獻[16]提出了模系矩陣分裂迭代法, 該方法不但包含模方法, 而且利用適當?shù)木仃嚪至堰€可得到一系列新的迭代方法, 如模系Jacobi迭代法、模系Gauss-Seidel迭代法、模系超松弛迭代法和模系加速松弛迭代法等. 由文獻[16]可知, 當合理選取參數(shù)時, 模系矩陣分裂迭代法比其他線性互補問題的數(shù)值方法(如投影方法、原始模方法和改進的模迭代法)收斂速度更快、計算效率更高. 文獻[17-18]討論了加速的模系矩陣分裂迭代法, 并給出系數(shù)矩陣為H+情形下的收斂性分析. 針對非線性互補問題, 文獻[19]考慮了加速的模系矩陣分裂迭代法; 文獻[20-22]給出了模系矩陣分裂迭代法在美式期權(quán)定價中的應(yīng)用. 本文借鑒文獻[20-22]的思想, 考慮有限差分法結(jié)合模系矩陣分裂迭代法定價美式債券期權(quán). 首先, 構(gòu)造全隱式的有限差分格式, 并給出格式的穩(wěn)定性證明; 其次, 針對離散后得到的線性互補問題, 采用模系矩陣分裂迭代法進行求解, 并建立相應(yīng)的收斂性定理. 數(shù)值實驗驗證了本文方法是穩(wěn)健且高效的.

1 美式債券期權(quán)模型

考慮基于純貼現(xiàn)美式債券期權(quán)的定價模型. 假設(shè)利率期限結(jié)構(gòu)由CIR(Cox-Ingersoll-Ross)模型確定, 即短期利率r由如下均值回歸平方根過程確定:

其中: dW是一個Wiener過程增量;θ表示短期利率的長期水平;κ>0表示回歸速度;σ2r是在σ>0條件下的方差. Cox等[23]研究表明, 面值為1美元的純貼現(xiàn)債券在其到期日s的價格P(r,t,s)為

P(r,t,s)=α(t,s)exp{-β(t,s)r},

其中:

ζ表示市場風險溢價.

假設(shè)v(r,t)為歐式債券期權(quán)的價值, 則歐式債券期權(quán)定價的數(shù)學(xué)模型可表示為如下的偏微分方程:

(1)

其中,L為偏微分算子. 通過引入時間轉(zhuǎn)換τ=T-t(t表示當前時刻,T表示期權(quán)合約的到期日), 則式(1)可變?yōu)?/p>

(2)

由于美式債券期權(quán)可在到期日前執(zhí)行, 則其定價的數(shù)學(xué)模型通?？杀硎緸槿缦滦问降木€性互補問題:

(3)

其中,Λ(r,τ)表示持有者在到期日T的收益. 當合約為看跌期權(quán)時, 問題(3)的初始條件為

v(r,0)=Λ(r,0)=max{K-P(r,T,s),0},K為執(zhí)行價格;

(4)

邊界條件為

(5)

為了在數(shù)值上求解美式債券期權(quán)的定價問題, 需將r限制在一個有限的區(qū)域[0,R]上(R的選取要足夠大). 因此, 邊界條件(5)可變?yōu)?/p>

(6)

2 有限差分離散

下面考慮美式債券期權(quán)定價模型(3)的有限差分離散, 并針對離散矩陣的性質(zhì)和差分格式的穩(wěn)定性進行分析.

首先, 對計算區(qū)域[0,R]×[0,T]進行一致網(wǎng)格剖分, 記M+1和N分別是r方向和τ方向的網(wǎng)格剖分數(shù). 將

vij≈v(ri,τj)=v(ih,jΔτ),i=0,1,…,M+1,j=0,1,…,N

(7)

其次, 在空間方向上采用二階中心差分格式逼近

(8)

并將式(8)代入偏微分方程(2)中, 則可得

(9)

其中i=1,2,…,M. 當指標i取遍i=1,2,…,M時, 可得半離散方程組

(10)

其中, 半離散矩陣S=tridiag{αi,βi,γi}, 即

這里端點值v0j和vM+1,j已知, 且

(11)

為便于理論分析, 本文在時間方向上采用隱式Euler格式, 即

(12)

將式(12)代入式(9), 可得全隱式的有限差分格式:

Δταivi-1,j+1+(1+Δτβi)vi,j+1+Δτγivi+1,j+1=vij.

(13)

當指標i取遍i=1,2,…,M時, 得到線性方程組

(I+ΔτS)v(j+1)=v(j)+Δτf,

(14)

其中: I表示單位矩陣; v(j)=(v1j,v2j,…,vMj)T; 且

在式(14)中令B=I+ΔτS和C=I, 則經(jīng)有限差分離散后, 美式債券期權(quán)定價問題(3)可變?yōu)槿缦戮€性互補問題:

(15)

其中:j=1,2,…,N; 向量g包含了收益函數(shù)Λ在網(wǎng)格點處的函數(shù)值.

特別地, 令z∶=v(j)-g, A∶=B, q∶=Bg-Cv(j-1)-Δτf, 則可得標準的線性互補問題(簡記為LCP(q,A)):

(16)

定理1令S和I+ΔτS分別是有限差分離散方程(2)得到的半離散和全離散矩陣. 當網(wǎng)格剖分h充分小, 且模型參數(shù)滿足

(17)

時, 則矩陣S和I+ΔτS均為H+-矩陣.

證明: 由S=tridiag{αi,βi,γi}易知

(18)

由模型參數(shù)假設(shè)式(17), 可知

(19)

(20)

此外, 由式(11)顯然有αi+βi+γi=ih>0, 故有βi>-αi-γi, 即|βi|>|αi|+|γi|成立. 綜上可知, 離散矩陣S具有正的對角元且嚴格對角占優(yōu), 于是由文獻[20]可知, 半離散矩陣S為H+-矩陣, 從而全離散矩陣I+ΔτS也是H+-矩陣. 證畢.

定理2有限差分離散格式(13)具有穩(wěn)定性, 即

‖v(j)‖∞≤max{‖v(0)‖∞,c1,c2},

(21)

證明: 由式(13),(18)～(20)以及三角不等式, 可得

(22)

若‖v(j+1)‖∞=|vl,j+1|, 0

(1+Δτβl)‖v(j+1)‖∞≤‖v(j)‖∞+Δτ(-αl-γl)‖v(j+1)‖∞,

從而有

(23)

若l=0或l=M+1, 則有

‖v(j+1)‖∞=|v0,j+1|或‖v(j+1)‖∞=|vM+1,j+1|.

(24)

由式(23)可知

‖v(j+1)‖∞≤‖v(j)‖∞≤‖v(j-1)‖∞≤…≤‖v(0)‖∞,

(25)

又由式(24),(25)可知, 式(21)成立. 因此, 全離散格式(13)是穩(wěn)定的.

3 模系矩陣分裂迭代法

下面簡單介紹求解線性互補問題的模系矩陣分裂迭代法, 并給出相應(yīng)的收斂性定理.

引理1[16]令A(yù)=M-N是矩陣A∈n×n的一種分裂, Ω1和Ω2是n階的對角陣, Ω和Γ是n階的正對角陣, 且滿足Ω=Ω1+Ω2. 則對LCP(q,A)問題如下結(jié)論成立:

(MΓ+Ω1)x=(NΓ-Ω2)x+(Ω-AΓ)|x|-q

(26)

的解;

2) 如果x滿足不動點方程(26), 則

z=Γ(|x|+x), w=Ω(|x|+x)

(27)

是LCP(q,A)問題的解.

(M+Ω)x=Nx+(Ω-A)|x|-λq.

(28)

引理1表明, LCP(q,A)問題(16)等價于一個不動點迭代問題, 因而可通過求解一系列不動點迭代方程組得到問題的解. 基于不動點方程(28), 可建立如下求解LCP(q,A)問題的基于矩陣分裂的模方法.

方法1(模系矩陣分裂迭代法)[16]令A(yù)=M-N是矩陣A∈n×n的一種分裂, 對給定的初始向量x0∈n, x(k+1)可由迭代方程

(M+Ω)x(k+1)=Nx(k)+(Ω-A)|x(k)|-λq

(29)

計算得到, 從而

其中Ω為正的對角陣.

令A(yù)=D-L-U, 其中D,-L,-U分別為A的對角陣、嚴格下三角矩陣和嚴格上三角矩陣. 在迭代方程(29)中取不同的M和N時, 可獲得下列一系列模系矩陣分裂方法.

1) 當M=(1/α)D-L, N=(1/α-1)D+U,λ=1時, 方法1稱為模系超松弛迭代法(MSOR):

(D+Ω-αL)x(k+1)=[(1-α)D+αU]x(k)+(Ω-αA)|x(k)|-αq,k=0,1,…,

(30)

從而z(k+1)=|x(k+1)|+x(k+1); 當α=1時, MSOR變?yōu)槟Ｏ礕auss-Seidel迭代法(MGS).

2) 當M=(1/α)(D-βL), N=(1/α)[(1-α)D+(α-β)L+αU],λ=1時, 方法1稱為模系加速的松弛迭代法(MAOR):

從而z(k+1)=|x(k+1)|+x(k+1).

下面給出MAOR算法, MSOR算法類似. 其中: tol表示容許誤差; it表示迭代步數(shù); MAXIT表示最大迭代步數(shù).

算法1MAOR算法.

給定x,Ω,α,tol,MAXIT;

Forit=1,2,…,MAXIT

z=|x|+x;

b=[(1-α)D+(α-β)L+αU]x+(Ω-αA)|x|-αq;

Res=‖min(Az+q,z)‖2;

If Res

break;

End If

Solve(D+Ω-βL)x=b;

End For

引理2[16]令A(yù)∈n×n是一個H+-矩陣, 且A=M-N是A的一個H相容分裂, 即〈A〉=〈M〉-|N|. 假設(shè)Ω是一個正對角矩陣, 如果參數(shù)矩陣Ω滿足則對任意的初始向量x0∈n, 模系矩陣分裂迭代法中的迭代序列?均收斂到LCP(q,A)問題的唯一解

4 數(shù)值實驗

下面利用數(shù)值實驗驗證本文方法求解美式債券期權(quán)的有效性. 數(shù)值實驗中, CIR模型下美式純貼現(xiàn)債券期權(quán)的模型參數(shù)為

κ=0.1,θ=0.08,σ=0.1或0.2,ζ=0,E=100,K=60,T=1,s=5,R=2,

(32)

為便于比較, 數(shù)值實驗中MSOR和MAOR算法的參數(shù)矩陣均取Ω=D, PSOR,MSOR和MAOR三種算法中的松弛因子均選取使得迭代步數(shù)最少的情形, 且收斂準則定義為

‖min{Az+q,z}‖2

(33)

其中, ‖·‖2表示向量的2范數(shù). 數(shù)值解的相對誤差定義為

(34)

其中: v表示數(shù)值解; v*表示參考精確解. 所有實驗均在CPU為2.4 GHz及內(nèi)存為4.00 GB的個人電腦, 編程語言為MATLAB R2010a的計算環(huán)境下進行. 設(shè)m和n分別表示空間和時間方向的網(wǎng)格剖分數(shù).

為了計算出數(shù)值解的相對誤差, 在精細網(wǎng)格(m,n)=(3 200,1 600)上, 采用有限差分格式并結(jié)合MSOR算法求解美式債券期權(quán)作為參考精確解. 表1和表2分別列出了不同σ取值下PSOR,MSOR和MAOR三種算法的平均迭代步數(shù)(IT)、所需的CPU時間(CPU, 單位s)和誤差(Error)的數(shù)值結(jié)果.

表1 當σ=0.1時, PSOR,MSOR和MAOR算法數(shù)值方法的計算結(jié)果

由表1和表2可見, 3種算法均隨著網(wǎng)格剖分的加密數(shù)值解變得越來越精確, 表明算法是有效的. 此外, MSOR和MAOR算法所需的CPU時間均少于PSOR算法, 其中MAOR算法耗時最少, 而MSOR算法的平均迭代步數(shù)略高于其他兩種算法. 因此有限差分方法結(jié)合模系矩陣分裂迭代法定價美式債券期權(quán)的效率高于投影方法, 其中MAOR算法的計算效率最高. 圖1和圖2分別為不同σ取值下， 基于網(wǎng)格剖分(m,n)=(400,200), 采用MSOR算法給出的美式債券期權(quán)曲面圖和最佳實施邊界以及τ=T時刻的期權(quán)值. 由圖1和圖2可見, 本文方法求得的數(shù)值解性態(tài)優(yōu)良, 沒有振蕩和跳躍發(fā)生, 表明數(shù)值方法是穩(wěn)健的.

表2 當σ=0.2時, PSOR,MSOR和MAOR算法數(shù)值方法的計算結(jié)果

圖1 當σ=0.1時, 美式債券期權(quán)曲面和最佳實施邊界(A)以及τ=T(t=0)時刻的期權(quán)值(B)Fig.1 Surface of American bond option and optimal exercise boundary (A) and option value at τ=T(t=0) (B) when σ=0.1

圖2 當σ=0.2時, 美式債券期權(quán)曲面和最佳實施邊界(A)以及τ=T(t=0)時刻的期權(quán)值(B)Fig.2 Surface of American bond option and optimal exercise boundary (A) and option value at τ=T(t=0) (B) when σ=0.2

綜上, 本文主要研究了基于CIR模型下美式債券期權(quán)的數(shù)值解法. 首先, 構(gòu)造了美式債券期權(quán)模型的全隱式有限差分格式, 并從理論上證明了滿足一定參數(shù)假設(shè)下離散矩陣為H+-矩陣, 有限差分格式具有穩(wěn)定性; 其次, 針對有限差分離散得到的一系列時間層上的線性互補問題, 采用模系矩陣分裂迭代法進行求解, 并給出了收斂性定理. 數(shù)值實驗驗證了本文方法的有效性, 模方法的計算效率高于投影方法, 其中MAOR的計算效率最高.