記憶型抽象發(fā)展方程的時(shí)間依賴全局吸引子

汪 璇, 韓 英, 胡弟弟

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

0 引 言

在邊界充分光滑的有界域Ω?3中, 考慮如下記憶型抽象發(fā)展方程：

(1)

其中:α>0;A=-Δ;θ∈(1,3/2);ε(t)∈C1()是單調(diào)遞減的正函數(shù), 滿足

(2)

且存在常數(shù)L>0, 使得

(3)

設(shè)記憶核函數(shù)k′(s)<0, ?s∈+,k(∞)=1, 且μ(s)=-k′(s), 滿足:

其中k0,δ為正常數(shù). 顯然當(dāng)s→+∞時(shí),μ(s)→0. 非線性項(xiàng)g∈C1(),g(0)=0, 且滿足:

(9)

針對(duì)ε(t)為關(guān)于t的函數(shù)情形, 通常的動(dòng)力系統(tǒng)理論已不再適用于方程(1)解的漸近性態(tài)研究. 在此情形下, 文獻(xiàn)[11-12]通過(guò)修正拉回吸引子的經(jīng)典定義和理論, 建立了研究時(shí)間依賴動(dòng)力系統(tǒng)的思想框架. 得到了很多時(shí)間依賴吸引子的成果. 當(dāng)非線性項(xiàng)滿足次臨界指數(shù)增長(zhǎng)條件時(shí), Conti等[12]應(yīng)用改進(jìn)的拉回吸引子理論, 證明了線性波方程的時(shí)間依賴吸引子的存在性和正則性; 文獻(xiàn)[1]進(jìn)一步研究了同一個(gè)方程的時(shí)間依賴吸引子的漸近結(jié)構(gòu); 文獻(xiàn)[13]得到了記憶型無(wú)阻尼抽象發(fā)展方程時(shí)間依賴吸引子的存在性和正則性結(jié)果. 當(dāng)非線性項(xiàng)滿足臨界指數(shù)增長(zhǎng)條件時(shí), 文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[14]分別得到了關(guān)于Plate方程和非經(jīng)典反應(yīng)擴(kuò)散方程時(shí)間依賴全局吸引子的存在性和正則性結(jié)果. 受文獻(xiàn)[11-13]啟發(fā), 本文研究方程(1)解的漸近性. 用先驗(yàn)估計(jì)和算子分解技巧, 并結(jié)合修正的拉回吸引子理論, 得到了時(shí)間依賴吸引子的存在性和正則性結(jié)果. 為方便估計(jì), 本文中的C和Ci均表示正常數(shù).

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)H=L2(Ω), (Au,v)=b(u,v), ?u,v∈H, 其中b(u,v)為H上的雙線性型, 且是對(duì)稱的、強(qiáng)制的.A為H上的線性無(wú)界自伴算子, 其定義域D(A)?H. 設(shè){λj}j∈和{ωj}分別為A的特征值和特征向量, 因此{(lán)ωj}可構(gòu)成H的一組正交基, 且有

利用這組基定義與A同構(gòu)的冪算子族Aθ(θ∈(1,3/2))如下:

為便于估計(jì), 令Vθ=D(Aθ/2), 則V0=H=L2(Ω), V-θ=D(A-θ/2), 分別賦予空間H和Vθ相應(yīng)的內(nèi)積與范數(shù):

?u,v∈H;

則空間Vθ構(gòu)成Hilbert空間族. 并且Vθ作為H的子集在H中稠密, 映射: Vθ→H緊. 由A的無(wú)界自伴性知, Aθ也為無(wú)界自伴算子, 且對(duì)?s,r∈, 算子Ar為從D(As)到D(As-r)上的同構(gòu)映射. 因此, 當(dāng)θ1>θ2時(shí), 有緊嵌入Vθ1Vθ2, 并且有連續(xù)嵌入

(10)

以及Poincaré不等式

?v∈Vθ.

(11)

定義變量ηt(s)=ηt(x,s)=u(x,t)-u(x,t-s). 則方程(1)可轉(zhuǎn)化為如下形式:

(12)

相應(yīng)初-邊值條件為

(13)

引理2[5,16]假設(shè)μ(s)∈C1(+)∩L1(+)是一個(gè)非負(fù)函數(shù), 且滿足條件: 如果存在s0∈+, 使得μ(s0)=0, 則對(duì)所有的s≥s0, 有μ(s)=0. 進(jìn)一步, 設(shè)B0,B1,B2是Banach空間,B0,B1是自反的, 且滿足B0B1B2, 其中嵌入B0B1是緊的. 設(shè)C?+;B1)滿足:

定義1設(shè){Xt}是一個(gè)賦范空間, 雙參數(shù)算子族{U(t,τ):Xτ→Xt,t≥τ,τ∈}滿足如下性質(zhì):

1) 對(duì)任意的τ∈,U(τ,τ)=Id是Xτ上的恒等算子;

2) 對(duì)任意的σ∈和任意的t≥τ≥σ,U(t,τ)U(τ,σ)=U(t,σ).

則稱U(t,τ)是一個(gè)過(guò)程.

定義2如果對(duì)每個(gè)t∈, 均存在一個(gè)常數(shù)R>0, 使得Ct?{z∈Xt: ‖z‖Xt≤R}=Bt(R), ?t∈. 則稱有界集Ct?Xt的集合族C={Ct}t∈是一致有界的.

定義3如果集合族B={Bt}t∈一致有界, 且對(duì)任意的R>0, 均存在常數(shù)t0(t,R)≤t, 使得τ≤t0?U(t,τ)Bτ(R)?Bt, 則稱B是拉回吸收的.

定義4如果對(duì)任意的R>0, 存在常數(shù)t0(t,R)≤t, 使得τ≤t-t0?U(t,τ)Bτ(R)?Bt, 則稱一致有界集族B={Bt}t∈是過(guò)程U(t,τ)的時(shí)間依賴吸收集.

時(shí)間依賴吸收集的存在性即相應(yīng)過(guò)程的耗散性.

定義5過(guò)程U(t,τ) 的時(shí)間依賴吸引子是滿足如下性質(zhì)的最小族A={At}t∈:

1) 每個(gè)At在Xt是緊的;

2) A是拉回吸引的, 即對(duì)每個(gè)一致有界族C={Ct}t∈, 極限成立, 其中表示集合B和C的Hausdorff半距離.

定理1[12]過(guò)程U(t,τ)是漸近緊的, 即集合

K={K={Kt}t∈:Kt?Xt是緊的, K是拉回吸引的}

是非空的, 則時(shí)間依賴吸引子A存在且唯一.

定義6如果?t≥τ,U(t,τ)Aτ=At, 則稱時(shí)間依賴吸引子A={At}t∈是不變的.

2 主要結(jié)果

2.1 適定性

首先, 關(guān)于問(wèn)題(12)-(13)的弱解定義如下:

成立, 則稱z(t)為方程(12)在區(qū)間I上滿足初值條件z(τ)=(u(τ),ut(τ),ητ(s))∈Hτ的弱解.

應(yīng)用Galerkin方法[5], 可得方程(12)-(13)解的存在唯一性結(jié)果:

定理2假設(shè)條件(2)～(6)成立, 且g∈C(Vθ;H)滿足式(7)～(9),f∈V-θ, 則對(duì)于任意給定的T>τ和初值z(mì)(τ)=(u(τ),ut(τ),ητ(s)), 方程(12)-(13)存在唯一弱解z(t)=(u(t),ut(t),ηt(s)), 滿足z(t)∈C([τ,T];Ht)∩L∞([τ,T];Ht).

根據(jù)定理2, 可以定義如下過(guò)程U(t,τ): Hτ→Ht, 即U(t,τ)z(τ)=(u(t),ut(t),ηt(s)), 其中z(τ)∈Hτ,z(t)=(u(t),ut(t),ηt(s))是方程(12)-(13)關(guān)于初值z(mì)(τ)的唯一解.

2.2 時(shí)間依賴吸收集

引理3在定理3的假設(shè)條件下, 設(shè)U(t,τ)z(τ)是方程(12)的解, 則存在正常數(shù)C2=C2(R), 使得

‖U(t,τ)z(τ)‖Ht≤C2, ?t≥τ.

(14)

證明: 設(shè)0<ρ<1, 用2ut+2ρu與方程(12)在H中做內(nèi)積, 有

關(guān)于阻尼項(xiàng), 有

〈αut,2ut+2ρu〉=2α‖ut‖2+2ρα〈u,ut〉.

(16)

根據(jù)引理1、方程(12)及Young不等式, 可得

(17)

由式(15)～(18)可得

對(duì)合適的常數(shù)C>0, 定義泛函

根據(jù)H?lder不等式和Young不等式, 并結(jié)合條件(3)和式(11), 可得:

(21)

(22)

(23)

2〈G(u),1〉≥-(1-ν)‖u‖θ-C.

(24)

由式(20)～(24)可得

則

(25)

易知N(t)≥0.

由H?lder不等式和Young不等式, 并結(jié)合條件(3)和式(11), 得

(26)

對(duì)于式(19), 由式(20)和式(26), 并利用條件(9), 可得

(27)

取ρ足夠小, 使得

(28)

定理3假設(shè)條件(2)～(6)及式(7)～(9)成立, 過(guò)程U(t,τ)(t≥τ∈)為問(wèn)題(12)-(13)對(duì)應(yīng)的過(guò)程, 對(duì)于給定初值z(mì)i(τ)∈Hτ, 滿足‖zi(τ)‖Hτ≤R(i=1,2), 則存在正常數(shù)C1=C1(R)>0, 使得

‖U(t,τ)z1(τ)-U(t,τ)z2(τ)‖Ht≤eC1(t-τ)‖z1(τ)-z2(τ)‖Hτ, ?t≥τ

(29)

成立.

證明: 對(duì)于給定的初值z(mì)i(τ), 根據(jù)引理3可知:

‖U(t,τ)zi(τ)‖Ht≤R0.

(30)

(31)

(32)

當(dāng)θ∈(1,3/2)時(shí), 6/(3-2θ)≥6/θ, 應(yīng)用式(10), 并結(jié)合條件(7)和式(30), 有

將式(33)代入式(32), 有

在區(qū)間[τ,T]上應(yīng)用Gronwall引理, 可得式(29)成立.

記 Bt(R)={z(t)∈Ht: ‖z(t)‖Ht≤R}, 由引理3直接可得如下時(shí)間依賴吸收集的存在性定理:

定理4假設(shè)條件(2)～(6)及式(7)～(9)成立, 則對(duì)應(yīng)于問(wèn)題(12)-(13)的過(guò)程U(t,τ)存在時(shí)間依賴吸收集B={Bt(R0)}.

2.3 時(shí)間依賴全局吸引子的存在性

若式(7),(8)成立, 將非線性項(xiàng)g分解為g=g0+g1, 其中g(shù)0,g1∈C2(), 且存在正常數(shù)k0,k1, 滿足:

‖f-f‖<.

(38)

設(shè)B={Bt(R0)}t∈是由定理4所得的一個(gè)時(shí)間依賴吸收集, 且τ∈固定, 則對(duì)任意的z(τ)∈Bτ(R0), 可以將過(guò)程U(t,τ)分解為U(t,τ)z(τ)=U0(t,τ)z(τ)+U1(t,τ)z(τ), 其中：

z1(t)=U0(t,τ)z(τ)=(v(t),vt(t),ζt(s));z2(t)=U1(t,τ)z(τ)=(w(t),wt(t),ξt(s)).

分別滿足

(39)

(40)

利用Faedo-Galerkin逼近方法, 易得方程(39),(40)解的存在唯一性, 進(jìn)一步可得如下耗散性結(jié)果.

引理4若條件(3)～(9)和條件(34)～(36)成立, 則存在常數(shù)C3>0及任意小的正常數(shù)與單調(diào)遞增函數(shù)Q(·), 使得

‖U0(t,τ)z(τ)‖Ht≤Ce-C3(t-τ)Q(‖z(τ)‖Hτ)+, ?t≥τ.

(41)

證明: 設(shè)0<ρ<1, 用2vt+2ρv與方程(39)在H中做內(nèi)積, 有

對(duì)合適的常數(shù)C>0, 定義泛函

根據(jù)H?lder不等式和Young不等式, 并結(jié)合條件(3)得

類(lèi)似可得

(44)

將式(43)代入式(42), 且由式(38), 可得

(45)

引理5若條件(3)～(9) 和條件(34)～(37)成立, 則存在C4=C4(B)>0, 使得

(46)

其中0<σ≤min{3θ-3,3/2-θ,1}.

證明: 設(shè)0<ρ<1, 用2Aσwt+2ρAσw與方程(40)在H中做內(nèi)積, 類(lèi)似于引理3的證明有

對(duì)合適的常數(shù)C>0,

根據(jù)H?lder不等式和Young不等式, 并結(jié)合條件(3)和式(11), 可得

因?yàn)?×(3/(θ-σ))≤6/(3-2θ), 應(yīng)用嵌入不等式(10), 再由式(45)和式(7), 可得

類(lèi)似可得

(49)

因?yàn)?×(3/(θ-σ))≤6/(3-2θ), 由條件(7)和嵌入不等式(10), 可得

(50)

(51)

設(shè)B是定理3中得到的一個(gè)時(shí)間依賴吸收集, 可得如下結(jié)論:

引理6[10]假設(shè)非線性項(xiàng)g滿足條件(7),(8), 外力項(xiàng)f∈V-θ, 且條件(4)和(6)成立, 對(duì)任意給定的T>τ和任意的>0, 令KT=ΠU1(T,τ)B, 則存在一個(gè)正常數(shù)N1=N1(‖B‖Ht), 使得:

引理7若條件(4)～(7)和條件(34)～(37)成立, 令{U1(t,τ)}t≥τ是方程(40)的解過(guò)程, 則對(duì)任意的T>τ,U1(t,τ)B在Ht中是相對(duì)緊的.

由定理1、定理4、引理4, 引理5和引理7可得到如下結(jié)果:

定理5方程(12)-(13)生成的過(guò)程U(t,τ)在Ht中有一個(gè)不變的時(shí)間依賴全局吸引子A={At}t∈.

因此, 過(guò)程U(t,τ)是漸近緊的, 從而證明了U(t,τ)存在時(shí)間依賴全局吸引子A={At}t∈. 最后, 由文獻(xiàn)[12]中的定理5.6和過(guò)程U(t,τ)t≥τ的連續(xù)性, 可得A的不變性.

2.4 時(shí)間依賴吸引子的正則性

在K中, 對(duì)所有的t∈, A的最小性即保證了At?為了證明At在上的有界性類(lèi)似于引理5的證明, 固定τ∈, 對(duì)zτ∈At, 將U(t,τ)z(τ)分解為

U(t,τ)z(τ)=U3(t,τ)z(τ)+U4(t,τ)z(τ),

其中:U3(t,τ)z(τ)=(v(t),vt(t),ζt(s));U4(t,τ)z(τ)=(w(t),wt(t),ξt(s)). 分別滿足

(52)

(53)

作為引理4的一個(gè)特例, 可得

‖U3(t,τ)zτ‖Ht≤Ce-C(t-τ)Q(‖z(τ)‖Hτ)+ε, ?t≥τ.

(54)

引理8在定理3的假設(shè)條件下, 存在常數(shù)C5=C5(A )>0, 使得一致有界集

對(duì)合適的常數(shù)C>0,

由H?lder不等式和Young不等式, 并結(jié)合條件(3)和式(11), 得

類(lèi)似可得

(56)

取ρ足夠小, 則

(57)

定理6在K中, 對(duì)所有的t∈,At在上是有界的, 且與t無(wú)關(guān).