在函數(shù)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想實(shí)踐例談

□ 海南省澄邁縣澄邁中學(xué) 王上興

數(shù)學(xué)思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的靈魂，是知識轉(zhuǎn)化為能力的途徑，也是解決數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)問題的根本。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重知識的傳授不是一個(gè)完整的教學(xué)，而是要重視數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。只注重知識的傳授不利于學(xué)生對知識的靈活運(yùn)用，使學(xué)生知識停留在初級階段。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形轉(zhuǎn)數(shù)”、“以數(shù)構(gòu)形”的方式，使得一些抽象的數(shù)字問題得到直觀化、形象化的轉(zhuǎn)變，這有助于提高學(xué)生思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，可以讓學(xué)生把握數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有兩條線：一條是明線，即數(shù)學(xué)知識；一條是暗線，即數(shù)學(xué)思想方法。優(yōu)秀的例子、習(xí)題所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識無疑是重要的，但其蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想對學(xué)生能力培養(yǎng)更顯重要?？墒侨绾稳ネ诰騼?yōu)秀例題和習(xí)題呢？本文結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，闡述了一些自己的觀點(diǎn)，對于挖掘優(yōu)秀例題和習(xí)題有很大的幫助。

一、挖掘教材，逐步培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合意識

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)問題的概括和抽象，從某個(gè)角度來看，“數(shù)”與“形”是相互獨(dú)立的。但是在某種條件之下，它們是可以相互轉(zhuǎn)化。要讓學(xué)生形成運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的意識，首先要在教學(xué)過程中讓學(xué)生不斷地經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)過程，就是說見得多了才能加深印象。教學(xué)過程中如果將蘊(yùn)含于教材中的內(nèi)容重新整理，挖掘教學(xué)內(nèi)容的潛在價(jià)值，經(jīng)過恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥和灌輸，可以促使學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識逐步形成，為今后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題做好準(zhǔn)備.

新課標(biāo)指出“初中數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間幾何圖形的一門學(xué)科”。在學(xué)習(xí)函數(shù)之前，學(xué)生已接觸過用幾何圖形表示數(shù)量關(guān)系，也曾從觀察圖形得出數(shù)量關(guān)系，但這些對于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，而函數(shù)便是展示數(shù)形結(jié)合的一種很好的體現(xiàn)。若在求解函數(shù)的問題中，學(xué)生的“數(shù)形結(jié)合”意識十分清晰，他們就能通過以“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”、以“數(shù)”構(gòu)“形”的方式解決函數(shù)中的問題；若學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的意識十分模糊，他們就沒意識到運(yùn)用數(shù)形結(jié)合可以解決問題，也不會判定哪些問題中可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合？自然也不懂得怎樣把“代數(shù)”化為“幾何”來求解或把“幾何”看作“代數(shù)”來求解，這些都需要教師在教學(xué)中進(jìn)行恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，并用語言表述題目所隱含的數(shù)形結(jié)合的思想，使學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識逐步清晰。而初中教材有關(guān)函數(shù)的內(nèi)容總是將同一個(gè)函數(shù)的數(shù)量關(guān)系 (解析式）和幾何圖形（圖象）放在一起進(jìn)行研究，將某個(gè)問題從數(shù)與形的層面呈現(xiàn)出來，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識。在此基礎(chǔ)上，教師如能善于運(yùn)用教材，充分挖掘、適當(dāng)引導(dǎo)，更加有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識的形成。例如：我在《二次函數(shù)y=ax2圖象》教學(xué)時(shí)，利用以下這道題進(jìn)行教學(xué)。

例1、已知一個(gè)正方形的邊長是xcm，面積為ycm2

（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)y=25時(shí)，邊長x是多少？

（3）畫出此函數(shù)的圖象。

分析：（1）根據(jù)正方形面積求解方法，即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)y=25時(shí)，即y=25入函數(shù)解析式中，可求出正方形的邊長x的值

（3）因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)的實(shí)際問題，所以畫二次函數(shù)的圖象在第一象限即可；

解：（1）∵ 正方形邊長為x，其面積為y，

∴y=x2，

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=x2；

（2）∵ 正方形面積為25

∴x2=25，

解得：x=5或 x=-5（舍去），

∴正方形的邊長是5cm；

（3）如圖所示：

在函數(shù)圖象概念學(xué)習(xí)時(shí)，先讓學(xué)生分析一個(gè)邊長為x的正方形與其面積S之間的數(shù)量關(guān)系（解析式）S=x2（x＞0），再通過列表、描點(diǎn)、連線畫出圖形，然后利用坐標(biāo)平面的關(guān)系，最后繪制函數(shù)圖像的概念。在重點(diǎn)學(xué)習(xí)函數(shù)圖象畫法的同時(shí)，我們可以簡要地給學(xué)生強(qiáng)調(diào)：（1）“數(shù)量”是可以用“圖形”來表示的；（2）函數(shù)（數(shù)量關(guān)系）都只能用一個(gè)函數(shù)圖象（圖形）表示這兩個(gè)事實(shí)，加深學(xué)生數(shù)與形之間可以緊密相連的印象。

在中學(xué)階段，教材中的幾種函數(shù)基本上都是按照這種順序來安排的，即從函數(shù)的概念到函數(shù)的圖像，由函數(shù)的圖像到函數(shù)的性質(zhì)，再到函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用。那這幾種函數(shù)分別是：正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，這四種函數(shù)都可以以“數(shù)形結(jié)合”的形式存在。教師在教學(xué)過程中，只要把握時(shí)機(jī)適當(dāng)點(diǎn)拔，在教學(xué)過程中蘊(yùn)含于教材的內(nèi)容重新整理，挖掘潛在的價(jià)值。讓他們今后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想去解決問題打好基礎(chǔ)。

二、結(jié)合應(yīng)用，認(rèn)識數(shù)形對應(yīng)關(guān)系

在函數(shù)教學(xué)內(nèi)容中，每一個(gè)函數(shù)都可以畫出它的圖像，圖像是函數(shù)解析式的一種直觀表示，函數(shù)解析式都是圖像上點(diǎn)坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系；在函數(shù)解析式中，函數(shù)中的自變量為坐標(biāo)中的橫坐標(biāo)，自變量對應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，兩者組成的點(diǎn)卻在函數(shù)的圖象上，反之函數(shù)圖象上的每一點(diǎn)的坐標(biāo)分別是函數(shù)自變量x的某一個(gè)值及其相應(yīng)的函數(shù)值y。因此，函數(shù)的“數(shù)”（函數(shù)解析式）和“形”（圖象）是一種對應(yīng)關(guān)系，是某變化過程中兩個(gè)量間自變量和函數(shù)間依賴關(guān)系的兩種不同的表示形式。有了函數(shù)的圖象就能寫出函數(shù)的表達(dá)式，有了函數(shù)關(guān)系式同樣可以畫出函數(shù)的圖象，說明了數(shù)與形之間有著對應(yīng)關(guān)系。例如，一次函數(shù)圖象是一條直線，坐標(biāo)平面上的直線也可以用一次函數(shù)來表示（垂直于x軸的直線除外）。因此，一次函數(shù)與坐標(biāo)平面上的直線就存在著某種對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系在其它函數(shù)中依然存在，我可以運(yùn)用它解決有關(guān)問題。

例如2、李小明每月的費(fèi)用是由他在家上個(gè)月的工作時(shí)間收入加上父母給的基本生活費(fèi)用構(gòu)成。如果李小明每月在家庭勞動(dòng)時(shí)間是X小時(shí)，該月李小明將獲得的總費(fèi)為y元，則y（元）和x（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式的圖象如圖所示。

（1）請根據(jù)所給圖象，求出李小明每月的基本生活費(fèi)是多少元；他的父母又是如何給李小明勞動(dòng)獎(jiǎng)勵(lì)的？

（2）當(dāng)0≤x≤20時(shí)，求函數(shù)解析式；

（3）若李小明5月份要有250元費(fèi)用，則李小明4月份要做家務(wù)多少時(shí)間？

圖1

分析：（1）根圖象的信息，李小明每月的基本生活費(fèi)為150元，他受到獎(jiǎng)勵(lì)方法是：若他的家庭勞動(dòng)時(shí)間不超過20小時(shí)/月，可獲得2.5元/小時(shí)；如果李小明在家庭勞動(dòng)時(shí)間超過20小時(shí)/月，那么20小時(shí)內(nèi)獎(jiǎng)勵(lì)不變,超過的部分可獲得4元/小時(shí)；

（2）根據(jù)所給函數(shù)圖象可知，當(dāng)0≤x≤20時(shí)，可設(shè)函數(shù)圖象的解析式為y=kx+b。由于點(diǎn)（0，150）與點(diǎn)（20，200）在函數(shù)y=kx+b圖象上,可求得函數(shù)的解析式為y=2.5x+150；

（3）當(dāng)x＞20時(shí)，根據(jù)函數(shù)圖象可設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為y=kx+b。由于點(diǎn)（20,200）和點(diǎn)（30,240）在函數(shù)y=kx+b圖象上,可求得函數(shù)的解析式為y=4x+120,當(dāng) y=250 時(shí),即 4x+120=250,解得 x=32.5

由此可以看出，我們可以根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)圖象，同樣也可以根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，兩者是一種對應(yīng)關(guān)系。

三、以“形”求“數(shù)”，體驗(yàn)直觀有效地解決問題

初中函數(shù)教學(xué)基本遵循這樣的模式：實(shí)際問題分析特征得出函數(shù)概念，通過描點(diǎn)法畫出圖象，分析自變量值x的變化圖象上點(diǎn)分布，x值的變化對點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)趨勢（圖形特征），即對函數(shù)值y的正負(fù)與大小的影響歸納函數(shù)的性質(zhì)（數(shù)量關(guān)系）。它指明了一種解決問題的方向：用代數(shù)運(yùn)算的方法解決代數(shù)問題有時(shí)非常艱難，如果將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形，觀察其幾何特征就可以得出代數(shù)結(jié)論，也就是說，代數(shù)問題不一定要運(yùn)算才能得出結(jié)果，有時(shí)“看看”也可以求解.

例3、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是A（4，0），對稱軸為x=2，求關(guān)于的一元二次方程的解。

分析：要解決本道題，只要畫一個(gè)簡單的二次函數(shù)的圖象。如圖2，點(diǎn)A（4，0）是函數(shù)圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，且對稱軸為x=1，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性，則可求點(diǎn)B（-2，0）。所以，二次函數(shù)圖像與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)解，即x1=-2或x2=4。

圖2

四、以數(shù)求形，感受解決問題的樂趣

一般情況下，幾何問題需要運(yùn)用幾何的定義、性質(zhì)、公理和定理推理論證才能得出結(jié)論。由于初中學(xué)生知識面較窄，有的問題很難直接通過推理論證解決，特別是隨著幾何圖形研究的深入，幾何問題也越來越復(fù)雜，依靠幾何方法往往難于入手解決。但是，如果有些問題具有函數(shù)背景或者是可以轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題，就可以運(yùn)用函數(shù)圖象計(jì)算得出幾何結(jié)論。

例4、如圖3所示，已知直線AD與坐標(biāo)軸分別交于A、D兩點(diǎn)，一次函數(shù)y-2x-1的圖象與直線AD相交于點(diǎn)C，求直線AD、BC與y軸圍成的三角形的面積。

分析：求三角形的面積需要知道三角形的一邊的長和對應(yīng)的高，從圖形上看兩個(gè)量都沒有，我們只能另尋蹊徑。注意到BC是一次函數(shù)的圖象，直線AD經(jīng)過二已知點(diǎn)A、D，對應(yīng)的一次函數(shù)解析式可求，所以可以先求出C點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)再求面積.

又BC對應(yīng)的函數(shù)為y=2x+1②，

設(shè)點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（xC，yC），則在①、②中，當(dāng) x=xC時(shí)，都有 y=yC，得

在 y=2x-1 中，令 x=0，則 yB=-1，

圖2

在本題中求三角形面積所需的邊長和高都不是根據(jù)三角形的幾何性質(zhì)求得，而是將問題轉(zhuǎn)為求一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)問題，利用坐標(biāo)算出邊長與高，這說明幾何中有些證明類的問題照樣可以通過計(jì)算得出幾何結(jié)論。

例5、如圖4所示，已知直線y=x+1與二次函數(shù)y=（x-1）2的圖象交于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與A、B不重合），過M作MN⊥x軸，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)N點(diǎn)，E為對稱軸與直線AB的交點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形CNME是平行四形？若存在，請寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請給出理由。

解：存在.設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為yM和yN。

∵ yM-m+1，yN=m2-2m+1

∴ MN=yM-yN-（m+1）-（m2-2m+1）=-m2+3m，其中0＜m＜3。

∵二次函數(shù)y=（x-1）2的對稱軸為x=1，點(diǎn)E在直線y=x+1上，

∴ 點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（1，2），則 CE=2。

要使四邊形CNME是平行四邊形，必需有MN=CE，即

∴-m2+3m=2，化簡得m2-3m+2=0。解之得m2-1

當(dāng) m1=2 時(shí)，yM=2+1=3，yN=4-4+1=1，MN=-4+6=2，

當(dāng) m2=1時(shí)，yM=1+1=3，yE=1-2+1=0，點(diǎn) N 的坐標(biāo)為（1,0），與C點(diǎn)重合，

不合題意，舍去。

∵當(dāng)m=2時(shí)，yN=1，yE=3，點(diǎn)N在點(diǎn)E的上方 ∴點(diǎn)P在線段AB上

∴當(dāng)M（2，3）時(shí)，四邊形CNME是平行四邊形。

上述例子說明，要判斷四邊形DCEP是否可以是平行四邊形，只要先算算PE是否能和DC相等，這樣就先設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，用表示PE，再列方程求m，最后驗(yàn)證m是不是能m=2或m=1。整個(gè)解答過程都是計(jì)算，只用一個(gè)平行四邊形的判定定理，說明“算算”也可以得出幾何結(jié)論。

總而言之，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想去解決初中的函數(shù)問題非常重要，所以教師在初中函數(shù)教學(xué)中應(yīng)有意識的強(qiáng)調(diào)與滲透，使知識與數(shù)學(xué)思想的教學(xué)融為一體，讓學(xué)生更深入的掌握數(shù)學(xué)知識。教師只要認(rèn)真?zhèn)湔n，在具體的教學(xué)過程中精心組織課堂，對學(xué)生有目的地進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想的滲透，并充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，就能提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想去分析和解決問題的能力。