頻率分集陣列“點(diǎn)”型發(fā)射方向圖綜合方法*

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(南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院， 江蘇南京 210094)

0 引言

頻率分集陣列(Frequency Diversity Array，F(xiàn)DA)由Antonik等于2006年提出[1-2]。FDA和傳統(tǒng)陣列的不同之處在于每個(gè)陣元發(fā)射信號(hào)都有著相比于載頻很小的頻移而不是相移。文獻(xiàn)[3-4]利用實(shí)驗(yàn)證實(shí)了陣列波束指向與距離和陣元間線性頻率偏移量有關(guān)，利用這種頻率偏移就可以使發(fā)射方向圖成為一個(gè)關(guān)于距離-角度-時(shí)間的函數(shù)[5]，且由于不需要移相器因而功耗更小[6]。

早先基于線性頻率偏移的FDA[7-10]綜合得出的距離-角度相關(guān)發(fā)射方向圖是“S”型，且存在周期性，故能量集中度并不理想。為了設(shè)計(jì)出聚焦度更高的“點(diǎn)”型發(fā)射方向圖，文獻(xiàn)[11]提出一種利用對(duì)數(shù)形式的頻率偏移的FDA方案，能使方向圖在目標(biāo)位置達(dá)到最大值，但這種方法的“點(diǎn)”型發(fā)射方向圖在角度維和距離維分辨率并不理想，尤其是在距離維上分辨率低。文獻(xiàn)[12]在其基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種多載頻和非線性頻率偏移相結(jié)合的方向圖綜合優(yōu)化方法，仿真結(jié)果表明該方法能將能量聚焦至目標(biāo)處，呈現(xiàn)出“點(diǎn)”型方向圖，不存在周期性旁瓣值，不足之處是每個(gè)陣元的發(fā)射功率差距較大，且就分辨率而言仍有優(yōu)化的空間。

本文基于文獻(xiàn)[12]對(duì)陣列結(jié)構(gòu)和信號(hào)設(shè)計(jì)進(jìn)行研究，采用指數(shù)形式頻率偏移量，理論分析綜合算法并推導(dǎo)加權(quán)矩陣表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)“點(diǎn)”型方向圖綜合。為提升分辨率并抑制旁瓣提出一種改進(jìn)型的多重頻率變量綜合方法，利用凸優(yōu)化算法對(duì)加權(quán)矩陣進(jìn)行設(shè)計(jì)，在確保方向圖于不感興趣區(qū)域的功率達(dá)到最小的條件下，使得每個(gè)陣元發(fā)射功率相近。

1 “點(diǎn)”型角度-距離相關(guān)發(fā)射方向圖模型

1.1 陣列結(jié)構(gòu)與信號(hào)設(shè)計(jì)

如圖1所示，假設(shè)天線結(jié)構(gòu)每個(gè)陣元之間的間隔為d。P為在遠(yuǎn)場(chǎng)的觀察點(diǎn)，Rn為第n個(gè)陣元到P點(diǎn)的距離。設(shè)中心陣元為參考點(diǎn)，θ為方位角。信號(hào)設(shè)計(jì)采用與傳統(tǒng)FDA不同的頻率偏移量函數(shù)，同時(shí)每個(gè)陣元含有多個(gè)信號(hào)分量。

設(shè)fn,m為第n個(gè)陣元中第m個(gè)頻率分量，可表示成如下形式：

fn,m=f0+Δfn+Δfm

-N≤n≤N,0≤m≤M

(1)

式中，f0為載頻，一共有2N+1個(gè)陣元，每個(gè)陣元發(fā)射M+1個(gè)分量，各頻率間隔滿足指數(shù)形式，Δfn和Δfm分別定義為

Δfn=Δf×e|n|, -N≤n≤N

Δfm=Δf×em, 0≤m≤M

(2)

式中，Δf滿足Δf?f0，采用指數(shù)形式非線性函數(shù)的目的是為了消除方向圖的周期性，盡可能降低旁瓣。

第n個(gè)陣元中的第m個(gè)被傳輸?shù)男盘?hào)分量可以表示為

xn,m(t)=wn,mej2πfn,mt

-N≤n≤N,0≤m≤M

(3)

式中,wn,m為第n個(gè)陣元中第m個(gè)信號(hào)分量的權(quán)重，傳播到觀察點(diǎn)(R,θ)處的信號(hào)可表示為

-N≤n≤N,0≤m≤M

(4)

假設(shè)目標(biāo)在遠(yuǎn)場(chǎng)，則每個(gè)陣元的方位角都近似相同，即

Rn≈R-ndsinθ

(5)

那么在(R,θ)處的所有信號(hào)疊加的結(jié)果為

(6)

將式(1)和式(2)代入式(6)中可得

(7)

由于f0?Δf(e|n|+em)，則式(7)可以進(jìn)一步近似為

(8)

1.2 “點(diǎn)”型發(fā)射方向圖綜合算法

由式(8)可得出在遠(yuǎn)場(chǎng)(R,θ)處的發(fā)射信號(hào)輻射功率，即FDA陣列發(fā)射方向圖可以表示為

B(t;R,θ)=

(9)

此方向圖是時(shí)間-距離-角度相關(guān)，為分析距離-角度相關(guān)方向圖，現(xiàn)將t值固定，為方便分析令t=0。從式(9)中可以明顯看出當(dāng)t=0時(shí)，R=0,θ=0則方向圖值取得最大，為了使得在目標(biāo)點(diǎn)(Rt,θt) 處達(dá)到最大可以定義權(quán)重wn,m為

(10)

將式(10)代入式(9)后方向圖可表示為

(11)

上述研究對(duì)文獻(xiàn)[12]中“點(diǎn)”型發(fā)射方向圖綜合算法進(jìn)行理論分析，利用公式推導(dǎo)得出第n個(gè)陣元中第m個(gè)子信號(hào)的加權(quán)量wn,m的表達(dá)式，通過(guò)計(jì)算實(shí)現(xiàn)“點(diǎn)”型方向圖的綜合，可以獲得與文獻(xiàn)[12]相同的聚焦效果。

2 改進(jìn)型“點(diǎn)”型發(fā)射方向圖綜合算法

由于1.2節(jié)中描述的綜合算法的加權(quán)矩陣是權(quán)1矩陣，因此聚焦分辨率并沒(méi)有提升。下面對(duì)加權(quán)矩陣進(jìn)行設(shè)計(jì)，利用凸優(yōu)化理論優(yōu)化加權(quán)量wn,m，并控制其值的大小，令其小于一個(gè)固定值，即

|wn,m|≤τ

(12)

定義一個(gè)[(M+1)(2N+1)]×1維的向量：

a(R,θ)=[a-N(R,θ),…，

an(R,θ),…，aN(R,θ)]T

(13)

式中，an(R,θ)是一個(gè)1×(M+1)維的向量：

(14)

綜合上文所述，首先對(duì)空域進(jìn)行分隔，令Ξt表示波束需要聚焦的空域,Ξs為旁瓣區(qū)域。為方便分析，對(duì)這兩個(gè)空域進(jìn)行離散化處理，離散點(diǎn)分別為(Rt,θt)和(Rs,θs)，個(gè)數(shù)分別為T(mén)和S，(R′,θ′) 是目標(biāo)點(diǎn)P。隨后對(duì)于輻射至旁瓣區(qū)域Ξs的功率約束，使其最小，結(jié)合式(12)～式(14)可以得到基于凸優(yōu)化理論的優(yōu)化模型：

(15)

WHa(Rt,θt)=(M+1)(2N+1),t=1,…,T

|wn,m|≤τ， -N≤n≤N,0≤m≤M

式中，W表示[(M+1)(2N+1)]×1的加權(quán)矩陣：

W=[w-N,0,w-N,1,…,wn,0,wn,1,…,wn,M,…,wN,0,wN,1,…,wN,M]T

(16)

最后利用Matlab仿真軟件中的凸優(yōu)化工具CVX可實(shí)現(xiàn)對(duì)提出模型的求解。

3 仿真驗(yàn)證

利用Matlab軟件對(duì)提出的方法進(jìn)行驗(yàn)證。假設(shè)FDA的發(fā)射陣元數(shù)為17，每個(gè)陣元之間的間距為最大波長(zhǎng)的一半。每個(gè)陣元發(fā)射信號(hào)均包含8個(gè)基信號(hào)，載波頻率f0為8 GHz，頻率偏移量Δf=3 kHz。為分析距離-角度相關(guān)方向圖，取t=0，R=[0∶10∶1 000]km，θ=[0°∶1°∶90°]。假設(shè)目標(biāo)點(diǎn)在(520 km,25°)處，則不感興趣區(qū)域即旁瓣區(qū)域設(shè)置為：Rs=[0∶10∶490]∪[540∶10∶1 000]km和θs=[0°∶1°∶22°]∪[28°∶1°∶90°]，總共離散化9 191個(gè)點(diǎn)，旁瓣區(qū)域離散化點(diǎn)數(shù)為9 166，加權(quán)矩陣值控制量取τ=3。

圖2(a)是文獻(xiàn)[12]中得出的綜合結(jié)果，圖2(b)是本文使用指數(shù)形式頻偏量并用理論推導(dǎo)加權(quán)矩陣的發(fā)射方向圖綜合結(jié)果,圖2(c)和圖2(d)分別是改進(jìn)型利用凸優(yōu)化理論所得發(fā)射方向圖的歸一化和轉(zhuǎn)換成dB值后的三維視圖，圖2(e)為文獻(xiàn)[12]得出的三維視圖?？梢钥闯鼍劢咕全@得了明顯提升，且旁瓣更低。

為清晰看出本文方法的精度優(yōu)勢(shì)，作出在目標(biāo)點(diǎn)(520 km,25°)處的二維成像圖，圖3(a)和圖3(b)分別為25°和520 km處的成像圖。同時(shí)作出在24°和510 km處的成像結(jié)果圖3(c)和圖3(d)進(jìn)行比較，角度維和距離維聚焦精度分別在1°和10 km以內(nèi)。

表1展示的是本文提出的算法所得的加權(quán)矩陣，每個(gè)基信號(hào)的幅度值都控制在一定范圍內(nèi)。圖4(a)是本文計(jì)算得出的歸一化后單個(gè)陣元發(fā)射功率分布圖，從圖4(a)可以看出本文所得的加權(quán)矩陣可以使陣列天線的每個(gè)陣元發(fā)射功率相近，有益于發(fā)射功率的利用，相較于文獻(xiàn)[12]中單個(gè)陣元功率分布(圖4(b))結(jié)果更優(yōu)。

表1 改進(jìn)型優(yōu)化算法加權(quán)矩陣W

4 結(jié)束語(yǔ)

基于多載頻對(duì)數(shù)頻偏綜合算法在分辨率和陣元間發(fā)射功率均衡性方面存在的不足，本文理論分析了以指數(shù)形式頻率偏移量為基礎(chǔ)、加權(quán)矩陣為權(quán)1矩陣的綜合算法，利用公式推導(dǎo)出加權(quán)矩陣的表達(dá)式并實(shí)現(xiàn)聚焦。同時(shí)提出改進(jìn)型利用凸優(yōu)化理論優(yōu)化加權(quán)矩陣的綜合算法，使得每個(gè)陣元的發(fā)射功率更加均勻，提升了聚焦精度，進(jìn)一步降低了輻射至不感興趣區(qū)域的功率，算法有效性得到提升。