存在站址誤差下的無(wú)源雷達(dá)稀疏成像*

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(中國(guó)衛(wèi)星海上測(cè)控部， 江蘇江陰 214431)

0 引言

無(wú)源雷達(dá)成像是一種利用外輻射源發(fā)射的電磁波信號(hào)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行成像的雙/多基地雷達(dá)系統(tǒng)，具有優(yōu)越的“四抗”性能，一直是雷達(dá)界的研究熱點(diǎn)。隨著通信、導(dǎo)航等技術(shù)的發(fā)展，空間中的電磁信號(hào)種類越來(lái)越豐富，目前已被證實(shí)可用的外輻射源包括調(diào)頻廣播(FM)[1]、數(shù)字地面電視(DVB-T)[2]、全球?qū)Ш叫l(wèi)星(GNSS)[3]等。然而上述信號(hào)不是為雷達(dá)系統(tǒng)專門設(shè)計(jì)，信號(hào)帶寬通常較窄，帶寬對(duì)成像分辨率的貢獻(xiàn)明顯不足，因而基于傳統(tǒng)匹配濾波成像方法通常獲得的空間分辨率較差[4]。

2004年以來(lái)，隨著壓縮感知理論的提出，可以在較低信號(hào)帶寬、較低信號(hào)采樣速率情形下獲得較好的成像性能，大大提升了無(wú)源雷達(dá)成像的應(yīng)用潛力。因此基于壓縮感知理論的無(wú)源成像技術(shù)得到廣泛研究。其中，文獻(xiàn)[5]依據(jù)目標(biāo)散射點(diǎn)自身稀疏的前提，提出了基于正交匹配追蹤技術(shù)的成像算法，在非均勻和稀疏空間譜填充情形下獲得較好的成像效果；文獻(xiàn)[6]則提出了基于兩維SL0稀疏成像算法，通過(guò)對(duì)DVB-T信號(hào)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，表明了相比經(jīng)典匹配濾波方法成像性能的提升。

然而，文獻(xiàn)[5-6]應(yīng)用稀疏重構(gòu)技術(shù)時(shí)均要求精確已知觀測(cè)矩陣。在實(shí)際雷達(dá)系統(tǒng)具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，雷達(dá)回波模型不可避免存在著相位誤差[7-8]。該誤差通常由系統(tǒng)誤差導(dǎo)致，比如在無(wú)源成像系統(tǒng)中，可能是由收發(fā)陣元的位置誤差所引起，這會(huì)使得回波模型中的觀測(cè)矩陣部分未知[9]，導(dǎo)致回波測(cè)量值與觀測(cè)矩陣之間失配，將大大減弱傳統(tǒng)稀疏重構(gòu)算法的性能。其中文獻(xiàn)[9]僅分析了接收機(jī)存在誤差下的無(wú)源成像模型，提出基于低秩矩陣恢復(fù)的稀疏成像方法，對(duì)系統(tǒng)收發(fā)構(gòu)型要求較高。

綜上，本文首先構(gòu)建了同時(shí)存在收發(fā)站址誤差下的無(wú)源成像模型，接著從確定稀疏反演角度出發(fā)，提出了基于優(yōu)化迭代技術(shù)的自適應(yīng)相位誤差校正成像方法，即在重構(gòu)目標(biāo)圖像的同時(shí)消除相位誤差對(duì)成像的影響，可以較好地克服文獻(xiàn)[5-6]成像方法的缺陷。文中所提自聚焦成像方法是在回波數(shù)據(jù)域進(jìn)行處理的，仿真表明其具有較好的適應(yīng)性和穩(wěn)健性，能夠有效地解決相位誤差造成傳統(tǒng)稀疏成像方法重構(gòu)性能下降的問(wèn)題。

1 信號(hào)模型

本文的無(wú)源雷達(dá)成像模型如圖1所示。以目標(biāo)中心作為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)第i個(gè)外輻射源假定的空間坐標(biāo)為(ri,θi)，與真實(shí)位置的誤差為Δri，其中i=1,2,…,I；同理，第j個(gè)接收雷達(dá)假定的空間坐標(biāo)為(rj,θj)，與真實(shí)位置的誤差為Δrj，其中j=1,2,…,J；目標(biāo)任一散射點(diǎn)位置用(r,θ)表示。

si(t)=ui(t)exp[j(2πfit+φi)]

(1)

式中，ui(t)為信號(hào)復(fù)包絡(luò)，Bi為信號(hào)帶寬，fi為信號(hào)載頻，φi為初相。

無(wú)源雷達(dá)的接收機(jī)通常配置兩個(gè)接收天線，分別用來(lái)接收直達(dá)波和目標(biāo)回波。接收機(jī)j獲取外輻射源i的直達(dá)波可以表示為

(2)

此時(shí)，接收機(jī)j收到外輻射源i對(duì)目標(biāo)的回波信號(hào)為

exp{j[2πfi(t-τij)+φi]}dxdy

(3)

式中，σ(x,y)為目標(biāo)后向散射系數(shù)，τij=(rik+rkj)/c為輻射源i發(fā)射的信號(hào)經(jīng)散射點(diǎn)k反射后到達(dá)接收機(jī)j的總時(shí)延，rik為輻射源i到散射點(diǎn)k的距離，rkj為散射點(diǎn)k到接收機(jī)j的距離。

將式(2)對(duì)應(yīng)的直達(dá)波與式(3)對(duì)應(yīng)的目標(biāo)回波分別去載頻之后，再對(duì)基帶信號(hào)進(jìn)行同步和混頻處理，可以得到

{ui(t-τij)exp(-j2πfiτij)}dxdy

(4)

式中，?表示復(fù)相關(guān)運(yùn)算，對(duì)t進(jìn)行Fourier變換，記Ui(f)=F{ui(t)}，Zij(f)=F{zij(t)}，式(4)轉(zhuǎn)化為

(5)

式中，f∈(-Bi/2,Bi/2)。實(shí)際成像場(chǎng)景通常滿足遠(yuǎn)場(chǎng)近似條件：

rik≈ri-(r+Δri)·Ii

rkj≈rj-(r+Δrj)·Ij

(6)

將式(6)代入式(5)，經(jīng)整理后得到

exp{j2π(fi+f)([x(cosθi+cosθj)+

y(sinθi+sinθj)]+Δri·Ii+

Δrj·Ij)/c}dxdy

(7)

然后設(shè)計(jì)濾波因子：

(8)

對(duì)式(7)進(jìn)行頻域?yàn)V波，得到相應(yīng)的回波方程為

(9)

式中：

φij=φij-2π(f+fi)(Δri·Ii+Δrj·Ij)/c

(10)

定義分布式無(wú)源雷達(dá)的空間譜填充形式：

(11)

則發(fā)射機(jī)i和接收機(jī)j構(gòu)成的接收通道對(duì)應(yīng)的回波方程最終可寫為

(12)

從式(12)可知，如果忽略相位誤差因素的影響，目標(biāo)散射系數(shù)與接收回波之間滿足Fourier變換關(guān)系。

進(jìn)一步，對(duì)成像場(chǎng)景S進(jìn)行均勻網(wǎng)格劃分，尺度為U×V，可將回波方程式(12)寫成下述矩陣形式：

y=EAσ+n

(13)

2 本文成像方法

首先，將式(13)轉(zhuǎn)化為下述優(yōu)化問(wèn)題:

(14)

式中，ξ為與噪聲功率有關(guān)的參數(shù)，g(σ)為表征目標(biāo)稀疏先驗(yàn)的函數(shù)，常見的有l(wèi)1[11]和lp范數(shù)[12]等。

然后，依據(jù)凸優(yōu)化理論將式(14)轉(zhuǎn)化為式(15)所示的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題：

(15)

最后，采用交替迭代方式依次求解σ和E，具體步驟如下(設(shè)t為迭代次數(shù))。

步驟1：目標(biāo)圖像稀疏重構(gòu)——固定E(t)，求解σ(t+1)

此時(shí)，式(15)應(yīng)轉(zhuǎn)化為

σHAH(E(t))HE(t)Aσ-yHE(t)Aσ-

(16)

(17)

式中：

(18)

由式(17)可以得到σ(t+1)為

(19)

根據(jù)矩陣求逆的性質(zhì)，式(19)可以轉(zhuǎn)化為

(20)

(21)

式中，Η=AH(E(t))HE(t)A+λpΨ-1/2。

σ(t+1,l+1)=σ(t+1,l)-ζ[H(σ(t+1,l))]-1J1(σ(t+1,l))

(22)

式中，l為新設(shè)置的內(nèi)部循環(huán)次數(shù)，ζ為對(duì)應(yīng)的迭代步長(zhǎng)。

步驟2：相位誤差校正——固定σ(t+1)，求解E(t+1)

此時(shí)，式(15)應(yīng)轉(zhuǎn)化為

minJ2(E(t+1))=

(σ(t+1))HAH(E(t+1))HE(t+1)Aσ(t+1)-

yHE(t+1)Aσ(t+1)-(σ(t+1))HAH(E(t+1))Hy+yHy

(23)

以無(wú)源雷達(dá)為例，假定φij相互獨(dú)立，定義：

(24)

由式(13)得出回波方程滿足yij=φijAσ(t+1)，將其代入式(23)，經(jīng)整理得到

minJ2(E(t+1))=

(25)

式中，Const為常數(shù)項(xiàng)。

(26)

(27)

對(duì)式(27)展開處理，經(jīng)整理得到

(28)

(29)

步驟3：參數(shù)更新

由于參數(shù)p的初值對(duì)成像結(jié)果通常有較大的影響，因此如果采用固定p的方式，則事先需要大量實(shí)驗(yàn)來(lái)確定合適的參數(shù)，這在實(shí)際應(yīng)用中極不方便。據(jù)此，本文提出一種自適應(yīng)調(diào)整參數(shù)p的方法，定義如下:

(30)

式中,NMSE為成像結(jié)果的歸一化均方誤差，ξ為較小的正數(shù)。仿真表明經(jīng)過(guò)一定的迭代次數(shù)后p可以收斂至合適的取值。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

下面通過(guò)仿真驗(yàn)證所提方法的有效性。以無(wú)源雷達(dá)為例，7顆數(shù)字電視直播衛(wèi)星的參數(shù)如表1所示，再設(shè)定4個(gè)接收機(jī)，均勻分布在(31°N～32°N)和(117°E～118°E)之間的地面上，回波通道的頻率采樣點(diǎn)數(shù)為5。

表1 7顆Ku波段數(shù)字電視直播衛(wèi)星相關(guān)參數(shù)

原始成像目標(biāo)是由5個(gè)幅值為1的散射點(diǎn)構(gòu)成，如圖2(a)所示。另外設(shè)置接收回波SNR=5 dB，相位誤差浮動(dòng)范圍在(-π/4,π/4)之間。圖2(b)～圖2 (f)分別是MF、FOCUSS[15](基于lp范數(shù)約束的稀疏成像方法)、SBL[16](基于貝葉斯學(xué)習(xí)技術(shù)的稀疏成像方法)、文獻(xiàn)[17](一種針對(duì)存在相位誤差下的合成孔徑雷達(dá)自聚焦成像方法)和本文方法的成像結(jié)果?？梢钥闯龌贔ourier重構(gòu)技術(shù)的MF方法和傳統(tǒng)基于壓縮感知理論的成像方法受相位誤差因素的影響比較大，因此成像效果較差。而文獻(xiàn)[17]和本文方法均采用了自聚焦技術(shù)，均能準(zhǔn)確地獲得目標(biāo)的空間位置，但是相比而言，本文方法在求解目標(biāo)散射系數(shù)時(shí)具有更高的計(jì)算精度。

圖3給出了SNR=15 dB時(shí)不同方法的成像結(jié)果對(duì)比，可以得到類似的結(jié)論?？傮w而言，本文方法相比其他方法具有更穩(wěn)健的成像性能，即在求解目標(biāo)空間位置及相應(yīng)的散射系數(shù)時(shí)，具有更高的準(zhǔn)確度。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)無(wú)源雷達(dá)在實(shí)際應(yīng)用時(shí)因存在收發(fā)站址誤差導(dǎo)致傳統(tǒng)基于壓縮感知理論的成像方法性能惡化問(wèn)題，提出了一種改進(jìn)的稀疏自聚焦成像技術(shù)。首先推導(dǎo)了存在站址誤差的成像模型，得出站址誤差對(duì)成像的影響可以利用等效相位誤差進(jìn)行建模的結(jié)論。接著根據(jù)凸優(yōu)化理論，從確定性反演角度出發(fā)，提出了基于優(yōu)化迭代技術(shù)的自適應(yīng)相位誤差校正成像方法。最后利用仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的有效性，并展示了相應(yīng)的成像性能提升。